Augustin-Louis Cauchy revolucionó las matemáticas al establecer las bases del análisis matemático de manera rigurosa, incluyendo la primera demostración del teorema del valor intermedio. Sus esfuerzos iniciaron el camino hacia un mayor rigor en las matemáticas que culminó en el siglo XX con Nicolas Bourbaki y su grupo, quienes revisaron los fundamentos de las matemáticas con un enfoque absoluto en el rigor.

1. Rigor en el análisis

2. Augustin-Louis Cauchy
Muchos historiadores de la matemática afirman que el rigor en matemáticas nació
con Augustin-Louis Cauchy. Todo un revolucionario, Cauchy trató de establecer
una base rigurosa para el análisis matemático. Un buen ejemplo fue su
demostración del teorema del valor intermedio, que afirma que toda función real
f(x) continua en un intervalo [a,b] asume cada valor posible entre f(a) y f(b) en ese
intervalo. Parece obvio gracias a la idea intuitiva de continuidad y de hecho hasta
Cauchy nadie pensó que fuera necesario demostrarlo, pero hoy en día todos los
estudiantes de matemáticas se pelean con su demostración rigurosa (aunque sin
saberlo, como homenaje en memoria de Cauchy). Por cierto, Cauchy enseñó la
demostración de este teorema por primera vez en el curso que impartió en la École
Royale Polytechnique en 1816. Su libro de texto de 1821, admirado por más de una
generación de matemáticos, presenta dos demostraciones diferentes; la más
famosa, la que todos los estudiantes de matemáticas aprenden, fue relegada a un
apéndice. Nos lo recuerda Michael J. Barany, “Stuck in the Middle: Cauchy’s
Intermediate Value Theorem and the History of Analytic Rigor,” Notices of the AMS

3. La Revolución Francesa, bajo las consignas de libertad, igualdad y fraternidad, fue acompañada de
una revolución matemática. Por primera vez, la élite de los ingenieros militares y civiles comenzó a
recibir una formación matemática en París que comprendía las matemáticas más avanzadas del
momento. Estos ingenieros aplicaron las matemáticas que estudiaron a los problemas más acuciantes
del mundo moderno: infraestructuras, la navegación, la minería, la energía e incluso a la guerra. El
buque insignia de esta revolución fue la École Polytechnique (que fue rebautizada como École Royale
Polytechnique tras la derrota de Napoleón y el regreso de la monarquía). En esta institución Cauchy
dejó su huella como estudiante y como profesor.
Cauchy fue un profesor impopular tanto entre los estudiantes como entre sus compañeros de facultad.
Sus clases eran muy densas y difíciles de seguir, muchas veces prolongaba la clase más allá de su
horario oficial y además realizaba continuas revisiones del temario. Para Cauchy las matemáticas del
siglo XVIII eran una disciplina que había perdido el norte. Todo un siglo de innovaciones matemáticas
maravillosas que habían sido logradas a costa del rigor. Matemáticos como Euler manejaban series que
no eran convergentes y expresiones formales sin sentido que producían conclusiones absurdas. No
estaban claros conceptos tan básicos como el de infinito, el de límite, los números imaginarios y muchos
más. Cauchy admiraba la formulación axiomática de la geometría realizada por Euclides. El álgebra
presentaba un estado similar, pero era considerada por los matemáticos del siglo XVIII como una
herramienta, versátil, pero de poca utilidad a la hora de resolver problemas prácticos. Por el contrario,
el análisis era muy útil en todo tipo de problemas prácticos, pero carecía de un formulación rigurosa.
Cauchy quería que el status de la geometría y del álgebra fuera extendido al análisis. Por ello decidió
revisar todo el análisis desde el punto de vista de la geometría y apoyado por el álgebra como
herramienta.

4. Por supuesto, el “Curso de Análisis” de Cauchy, como suele ocurrir con todo trabajo pionero,
carece de rigor en muchos aspectos. Por ejemplo, Cauchy asume que todas las funciones
continuas son diferenciables. Sin embargo, lo importante del proyecto de reforma del análisis
iniciado por Cauchy, que trata de llevar el rigor al análisis de la mano de la geometría y del
álgebra, es que inició un camino hacia el rigor cuya culminación fue el motor de gran parte
de la matemática de todo el siglo XIX, con la honrosa excepción del genial Henri Poincaré que
vio en el rigor un corsé del que había que deshacerse.
El cénit del rigor en las matemáticas llegó en el siglo XX con Nicolas Bourbaki, el nombre
colectivo de un grupo de matemáticos franceses que, en los años 1930, se pusieron a revisar
todos los fundamentos de las matemáticas con una exigencia absoluta en el rigor tratando de
combatir la corriente que había nacido con Poincaré. Matemáticos como Jean Dieudonné,
André Weil, Henri Cartan, Claude Chevalley, y otros antiguos alumnos de la Escuela Normal
Superior de París recogieron el guante de Cauchy e impusieron a toda la matemática el
concepto de rigor matemático como definición de la labor del matemático.
Un matemático es una máquina de demostrar teoremas con absoluto rigor. La máxima
revolucionaria de Bourbaki es Vive la rigueur!