1) La serie de Fourier describe cualquier función periódica como una suma de ondas seno y coseno. 2) El análisis de Fourier convierte una señal periódica en una suma de componentes de frecuencia, llamadas armónicos. 3) Existen dos formas de expresar la serie de Fourier: mediante los parámetros an y bn, o mediante el parámetro cn, lo que describe el espectro con un solo término.

1. YRUANY RANGEL
CI. 20397530
ANÁLISIS DE FOURIER
Cualquier función periódicapuede ser descrita por una serie de
Fourier. Se denomina señal periódicaaquella que verifica la
propiedad: f (t) = f (t+ T0 ) t0 ≠ 0 siendo t0 el periodo de la señal. Una
señal periódicase extiende desde t= -∞ a t = ∞. La expresiónen
serie de una onda periódicaviene dada por una componente continua
y un número finito de términos en sen y cos correspondientes a la
componente fundamental y armónicos de la función.
A0 = 𝑓( 𝑥) = 𝑎0 + ∑ (𝑎 𝑛 cos
𝑛𝜋𝑥
𝐿
+ 𝑏 𝑛 sin
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)
∞
𝑛=1
Coeficientes de Fourier
 a0 =
𝟏
𝒕𝒐
∫
𝒕𝟎
𝟐
𝒕𝟎
𝟐
 an =
𝟐
𝒕𝒐
∫
𝒕𝟎
𝟐
𝒕𝟎
𝟐
𝒇( 𝒕) 𝒄𝒐𝒔( 𝒏) 𝒘𝒕dt
 b0 =
𝟏
𝒕𝒐
∫
𝒕𝟎
𝟐
𝒕𝟎
𝟐
𝒇( 𝒕) 𝒔𝒆𝒏( 𝒏) 𝒘𝒕 dt
Serie de Fourier exponencial

2. La distribución de las amplitudes de las componentesde una
señal es función de la frecuenciay se llama espectro.La forma
trigonométrica de la serie de F. produce el espectro de f(t) en
dos parámetros - an - y - bn - . La ventaja de la forma
exponencial reside en que describe el espectro enun solo
término - cn -.
Se define el parámetro - cn - como : cn=
𝑎𝑛−𝑏𝑛𝑗
2
Teniendo en
cuenta que cos(-x) = cos(x) y sen(-x) = -sen(x).
La primera sumatoria comienza con n = 0 con lo que se incluye
el término c0 ya que e 0 =1. Para la segundasumatoria se puede
reemplazar c-n por cn y cambiar los límites del sumatorio desde
n = -1 hasta n = -∞ :
Serie de Fourier exponencial
La distribución de las amplitudes de las componentesde una señal es
función de la frecuenciay se llama espectro.La forma trigonométrica
de la serie de F. produce el espectro de f(t) en dos parámetros - an - y
- bn - . La ventaja de la forma exponencial reside en que describe el
espectro en un solo término - cn - .
Se define el parámetro - cn – como:
cn=
𝑎𝑛−𝑏𝑛𝑗
2
EJEMPLO:
1.)Serie de Fourier de la función
f(x)= sen(x𝜋) 0<x<1 f(x) es impar ∑ 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜋/𝑙)∞
𝑛=1 an=0 ,
an=0
bn= ∫ 𝑠𝑒𝑛 ( 𝜋x)sen( 𝜋x) 𝑑𝑥
1
0
= ∫ 𝑠𝑒𝑛´2 ( 𝜋x)sen( 𝜋x) 𝑑𝑥
1
0
=

3. ∫ [
1−cos(2x𝜋)
2
]𝑑𝑥
1
0
u= 𝜋𝑥;
𝑑𝑢
2𝜋
= dx
1
2
∫ 𝑑𝑥
1
0
= -
1
2
∫ cos(2𝜋x)𝑑𝑥
1
0
= -
1
2
∫ 𝑑𝑥
1
0
-
1
4𝜋
∫ cos(𝑢)𝑑𝑢
1
0
1
2
[ 𝑥] ( 𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 0 𝑎 1) − [ 𝑠𝑒𝑛(2𝜋x)]( 𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 0 𝑎 1) =
1
2
F(x) = ∑
1
2
𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜋x)∞
𝑛+1
2.)Encuentre la transformada de la place de la función f(t)=1
Usando los teoremas básicos L { k } = k/s L { k1} = 1/s
3) use la definiciónpara encontrar L { f(t) } f(t) {4 0<t<2; t≥ 2
{0
L{f(t)}= ∫ 𝑒´ − 5𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
∞
0
= ∫ 𝑒´ − 5 ∗ 4𝑑𝑡
2
0
+ ∫ 𝑒´ − 5𝑡 ∗ 0𝑑𝑡
∞
2
=
4∫ 𝑒´ − 5𝑡 𝑑𝑡
2
0
u=-5t
Du= -5* t2
dt
= -
4
5
∫ 𝑒´𝑢 𝑑𝑢
2
0
= -
4
5
[e´-∞] (evaluado de 0 a 2) = -
4
5
[-
1
𝑒´2𝑠
− 1 ]