refuerzo geometria

1. Preparaci´on. Geometr´ıa
1. Teor´ıa
Esto lo has de estudiar de forma que cuando se te pregunte lo sepas
con claridad y sin ambig¨uedades.
• Definir las razones trigonom´etricas. relaci´on entre las razones
trigonom´etricas de diferentes cuadrantes.
• Vectores fijos y vectores libres en el plano. M´odulo, direcci´on y
sentido.
2. Pr´actica
• Representaci´on las razones trigonom´etricas.
• Resolver ecuaciones trigonom´etricas.
• Resoluci´on de tri´angulos.
• Uso de las f´ormulas trigonom´etricas.
• Hallar el m´odulo de un vector y el ´angulo entre dos vectores.
• Escribir las diversas ecuaciones de una recta y saber deducir de
ellas un vector de direcci´on y un vector normal.
• Resolver problemas sencillos de geometr´ıa plana: paralelismo,
perpendicularidad y posiciones relativas.
• Calcular la distancia de un punto a una recta y la distancia
entre dos rectas.
• Resoluci´on de Problemas.
Ejercicio 1. De α sabemos que tan α = −0,7 y que cos α < 0.
Representa α y las razones trigonom´etricas. Calcula las razones
trigonom´etricas y determina α con la calculadora.
Ejercicio 2. Desde un punto A del suelo se observa una torre, PQ, y
se la ve bajo un ´angulo 31◦. Se avanza 40 m en direcci´on a la torre,
ahora se ve bajo un ´angulo 58◦. Halla la altura h de la torre y la
distancia de A al pie, Q, de la torre.
Ejercicio 3. Dos puntos A y B est´an en lados opuestos de un r´ıo. El
punto C est´a a 350 m de A, en el mismo lado del r´ıo que A. En ACB,
C = 52◦, A = 67◦. Halla la distancia entre A y B.
Ejercicio 4. Sean A, B y C los ´angulos de un tri´angulo cualesquiera.
Prueba que:
a) sen A = sen(B + C) b) cos A + cos(B + C) = 0
Ejercicio 5. Simplifica la expresi´on: 1
cos x
− cos x − tan2 x cos x.
Ejercicio 6. Demuestra las identidades:
a) cos x
1+sen x
= sen x
b) sen4 x − cos4 x = sen2 x − cos2 x
Ejercicio 7. ABC es un tri´angulo tal que AB = 6, AC = 10 y
BC = 8, M es el punto medio de AC. BMNL es un cuadrado y MN
corta a BC en un punto P.
A
B
C
M
N
L
P
Determina el ´area de MPC.
Ejercicio 8. Halla las razones trigonom´etricas de los ´angulos de 15◦,
75◦, 105◦ y 245◦ haciendo uso de las relaciones entre las razones
trigonom´etricas de diferentes cuadrantes y del conocimiento de las
razones trigonom´etricas de 30◦, 60◦ y 45◦.
Ejercicio 9. Resuelve las ecuaciones:
a) sen2 x + cos2 x = 1
b) tan2 x + 3 = 4 tan x
c) sen x + cos x =
√
2
d) 4 sen4 x + 8 sen x + 3 = 0
e) 1 + sen x = 2 cos x
Ejercicio 10. Halla el radio de la circunferencia circunscrita al
tri´angulo cuyos lados miden 13 m, 14 m y 15 m.
Ejercicio 11. Uno de los lados de un tri´angulo es doble que otro, y el
´angulo comprendido vale 60◦. Halla los otros dos ´angulos.
Ejercicio 12. ABCD es un cuadrado de lado unidad, M es el punto
medio del lado BC. Con centro C y pasando por M se traza una
circunferencia que corta a AC en el punto Q.
A B
CD
M
Q
Resuelve el tri´angulo AQM.
Ejercicio 13. Determina dos vectores unitarios en la direcci´on del
vector #»v = (−1, 7). Determina dos vectores perpendiculares a #»v y cuyo
m´odulo sea 2.
Ejercicio 14. Halla la recta que pasa por el punto (−3, 1) y es
paralela a la recta determinada por los dos puntos (0, −2) y (5, 2).
Ejercicio 15. Determina la ecuaci´on de la recta que pasa por el punto
de intersecci´on de las rectas: 5x − 3y = −2 y 8x + 7y = 44 y es
perpendicular a la recta que est´a definida por la ecuaci´on: y = 2
3
x + 1.
Ejercicio 16. La diagonal menor de un rombo ABCD mide lo mismo
que su lado y tiene por extremos los puntos A(−3, −2) y C(1, 2). Halla
los v´ertices B y D y el per´ımetro del rombo.
Ejercicio 17. Dados los puntos A(4, −2) y B(10, 0), hallar el punto
de la bisectriz del II y IV cuadrantes que equidista de ambos puntos.
Ejercicio 18. Dados los puntos A(2, 1), B(−3, 5) y C(4, m), calcular
el valor de m para que el tri´angulo ABC tenga de ´area 6.
Ejercicio 19. Dados los puntos A(0, −1) y B(1, 2), hallar las
coordenadas de todos los puntos P situados sobre la recta x + y = 2
tales que las rectas PA y PB sean perpendiculares.
Ejercicio 20. Hallar el ´area y los ´angulos del cuadril´atero de v´ertices
A(0, 3), B(3, 8), C(8, 6) y D(8, 2).
Ejercicio 21. Un trapecio rect´angulo ABCD cuyo lado oblicuo es
CD. Se sabe que A = (1, 2), B = (−1, 7) y la ecuaci´on de la recta CD
es x + y − 1 = 0. Calcular los v´ertices C y D y el ´area del trapecio.
Ejercicio 22. En el plano y referidos a una referencia ortonormal, se
dan los puntos A(−1, −1), B(1, 6) y C(4, 2).
a) Representar los puntos.
b) Calcula las coordenadas de los vectores
# »
AB,
# »
AC y
# »
BC.
c) Calcula las distancias d(A, B), d(A, C) y d(B, C).
d) ¿Es rect´angulo el tri´angulo ABC?
e) Calcula el ´area del tri´angulo ABC.
f) Determina la ecuaci´on de la mediana que parte de B (r1).
g) Determina la ecuaci´on de la mediatriz del lado AC (r2).
h) Determina la ecuaci´on de la altura que parte de B (r3).
i) Determina el punto com´un de r2 y r3.
j) Determina un punto D, de forma que ABCD sea un paralelogramo.
Ejercicio 23. Halla el sim´etrico de A(2, 7) respecto a B(−1, −7).
Ejercicio 24. Halla el sim´etrico de A(7, 8) respecto a 2x + y − 3 = 0.
Ejercicio 25. Determina la recta sim´etrica de la recta
r : 2x + 3y − 1 = 0 con respecto a la recta s : x − y = 1.
Ejercicio 26 (1). Determina las rectas que pasando por A(0, 2)
determinan el mismo ´angulo con las rectas de ecuaciones
x + 2y − 3 = 0 y 2x + y + 5 = 0.
Ejercicio 27. Hallar la recta que forma un ´angulo de 120◦ con el
semieje de abscisas positivo y que dista 2 unidades del origen.
Ejercicio 28. Si A(−1, −1), B(1, 6) y C(4, 2) son los v´ertices de un
tri´angulo. Determina el centro y el radio de la circunferencia
circunscrita.