I. Este documento presenta una lista de productos notables en álgebra que pueden escribirse sin usar algoritmos generales de multiplicación o potenciación. Estos incluyen cuadrados, productos de Stevin, cubos, equivalencias de Argand, Lagrange y Gauss. II. Se proporcionan ejemplos de cómo usar estas fórmulas, como (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(a + c)(b + c), y (a2 + b2

1. Legendre
de
.Equiv





x A
y B
z C
ALGEBRAALGEBRA 4to Año de Secundaria
PRODUCTOS NOTABLESPRODUCTOS NOTABLES
Son resultados de multiplicaciones y/o potenciaciones
características que pueden ser escritos sin hacer uso de los
algoritmos generales de las operaciones mencionados.
I. CUADRADOS
(A + B)(A – B) ≡ A
2
– B
2
(A + B)
2
≡ A
2
+ 2AB + B
2
≡ A
2
+ B
2
+ 2AB
(A − B)
2
≡ A
2
− 2AB + B
2
≡ A
2
+ B
2
− 2AB
En general: (A − B)
PAR
<> (B – A)
PAR
(A + B)
2
+ (A – B)
2
≡ 2(A
2
+ B
2
)
(A + B)
2
− (A – B)
2
≡ 4AB
(A + B)
4
− (A – B)
4
≡ 8AB(A
2
+ B
2
)
(A + B + C)
2
≡ A
2
+ B
2
+C
2
+ 2AB + 2AC + 2BC
(A + B + C + D)
2
≡ A
2
+B
2
+C
2
+D
2
+2AB+2AC +2AD + 2BC
+2BD + 2CD
II. PRODUCTOS DE STEVIN
• (x + a)(x + b) ≡ x
2
+ (a + b)x + ab
• (x + a)(x + b)(x + c) ≡ x
3
+ (a + b + c)x
2
+ (ab + ac + bc)x
+ abc
• (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) ≡ x
4
+ (a + b + c + d)x
3
+ (ab +
ac + ad + bc + bd + cd)x
2
+ (abc + abd + acd + bcd)x +
abcd
III. CUBOS
(A + B)
3
≡ A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3
≡ A
3
+ B
3
+ 3AB(A + B)
(A − B)
3
≡ A
3
− 3A
2
B + 3AB
2
− B
3
≡ A
3
− B
3
− 3AB(A − B)
(A + B)
3
+ (A – B)
3
≡ 2A
3
+ 6AB
2
(A + B)
3
− (A – B)
3
≡ 6A
2
B + 2B
3
(A + B)
6
− (A – B)
6
≡ 4AB(A
2
+ 3B
2
)(3A
2
+ B
2
)
• (A + B)(A
2
– AB + B
2
) ≡ A
3
+ B
3
(A – B)(A
2
+ AB + B
2
) ≡ A
3
– B
3
• (A + B + C)
3
≡ A
3
+ B
3
+ C
3
+ 3A
2
B + 3A
2
C + 3B
2
A + 3B
2
C
+ 3C
2
A + 3C
2
B + 6ABC
(A + B + C)
3
≡ A
3
+ B
3
+ C
3
+ 3(A+B)(A+C) (B + C)
IV. (EQUIVALENCIA DE ARGAND)
(A
2
+ AB + B
2
)(A
2
– AB + B
2
) ≡ A
4
+ A
2
B
2
+ B
4
V. EQUIVALENCIAS DE LAGRANGE
(Ax + By)
2
+ (Bx – Ay)
2
≡ (A
2
+ B
2
)(x
2
+ y
2
)
x A
y B
(Ax+By+cz)
2
+ (Bx–Ay)
2
+(Cx–Az)
2
+(Cy–Bz)
2
≡ (A
2
+ B
2
+ C
2
)(x
2
+ y
2
+ z
2
)
VI. EQUIVALENCIAS DE GAUSS
• A
3
+ B
3
+ C
3
– 3ABC ≡ (A + B + C)(A
2
+ B
2
+ C
2
– AB –
AC – BC)
A
3
+ B
3
+ C
3
– 3ABC ≡
2
1
(A+B+C)[(A – B)
2
+ (A – C)
2
+
(B – C)
2
]
VII. OTRAS EQUIVALENCIAS:
• (A + B + C)
3
≡ A
3
+ B
3
+ C
3
+ 3(A + B + C)(AB + AC
+ BC) – 3ABC
• (A + B + C)
3
+ 2(A
3
+ B
3
+ C
3
) ≡ 3(A + B + C)(A
2
+ B
2
+ C
2
) + 6ABC
• (A+B+C)(AB+AC+BC)–(A+B)(A+C)(B+C)≡ABC
VIII. EQUIVALENCIAS CONDICION CERO:
Sea A + B + C = 0
• A
2
+ B
2
+ C
2
= 2(AB + AC + BC)
• A
3
+ B
3
+ C
3
= 3ABC
• A
4
+ B
4
+ C
4
=
2
2)2C2B2A( ++
=2(A
2
B
2
+ A
2
C
2
+ B
2
C
2
)
EN CLASE
1. Sabiendo que a+b = 5 y a.b = 3. Calcula el valor de a² + b²
2. Calcula 8 84
)15)(15)(1²5(241 ++++
3. SI (2x-y-z)² - (2x-y+z)² = [ ]²)²2(2 zxy +− Halla Q =
z
yx
yz
zx
2
2
2
2
2
−
+





−
−
4. Sabiendo que a+b+c=8 y a² + b² + c² = 24, calcula el valor de ab + bc+ ac
5. Si a+b+c= 0 simplifica Q =
²²²
)²()²()²(
cba
cacbba
++
+++++
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2. ALGEBRAALGEBRA 4to Año de Secundaria
Profesor Jorge La Chira

3. ALGEBRAALGEBRA 4to Año de Secundaria
Profesor Jorge La Chira
4
5
6
7

4. ALGEBRAALGEBRA 4to Año de Secundaria
PRODUCTOS NOTABLES IPRODUCTOS NOTABLES I
1. Si se cumple que:
yxyx +
=+
411
Halle el valor de:
;
)(
33
3
yx
yx
+
+
A) 1 B) 2 C) ½ D) 3 E) 4
2. Si: 4(x4
+1)= 5x2
; Entonces el valor de 2
)
1
(
x
x −
será:
A)-5/4 B)-3/4 C)-4/3 D) 1¾ E)1
3. Sabiendo que: a + b = 3, ab = 4
Hallar el valor de N = (a+b)4
-(a-b)4
A) 92 B) 94 C) 64 D) 32 E) 96
4. Sabiendo que: n+ 1
1
=
n
Hallar el valor de:
nn
nn
R
+
−−+
= 2
44
)1()1(
A) 2 B) 4 C) 6 D) -2 E) 8
5. Reduzca:
[ ]
22
2
)
22
(16
22
)(
2
)(4
ba
bababa +−−++
A) 64 B) 32 C) 50 D) 16 E)1
6. Reduzca:
26
56
1
45
1
34
1
23
1
−
+
+
+
+
+
+
+
A) 1 B) 2 C) 3 D)4 E) 5
7. Si: x+ 5
4
=
x
; x > 7
Calcule: x2
- 2
16
x
A) 9 B) 12 C) 13 D) 15 E)18
8. Dado: 0.;1 ≠=+ ba
a
b
b
a
Determine:
22
44
ba
ba +
A) -1 B) 2 C) 3 D) 1 E) -2
9. Calcule:: B – A si:
322
322
322
322
16 257.17.5.3)12)(12(
+
−
+
−
+
=
+−+=Α
B
E)1
5
2D)
5
1C)
3
1B)
5
12A)
10. Si:
c b
a
Reducir:
ab
cbacba ))(( −+++
A)2 B) 1 C) b D) a E) ab
11. Si: 62=+
a
b
b
a
; Calcular:
3
1
)(





 +
ab
ba
A) 1 B) 3 C) 2 D) 0 E) 4
12. Si se cumple:
X2
+ 12y = (y+6)2
; Indicar el valor de:
[ ]10 3
))(()
22
2
44
( yxyxyxxx −+−+
A) 1 B) 3 C) 6 D) 12 E) 36
13. Dado los números reales “x” e “y” que cumplen en la
siguiente igualdad:
2x2
+y2
-2xy = 4x – 4
Indique el equivalente de:
X
Y 23
−
A) -1 B) 1 C) 3
6 D) 5 E) 6
14. Si: a2
+b2
= 73
Ab = 24; a > b > 0
Hallar: T = a2
– b2
A) 35 B) 45 C) 75 D) 65 E) 55
15. Si: a + b = 7
ab = 4
Hallar: R = (a2
+ b2
)2
A) 1444 B) 1521 C) 1600
D) 1681 E) 1764
16. Efectuar:
J=(x+1)(x2
+1)(x4
+1)(x8
+1)(x16
+1)-x32
Sabiendo que: x = 2
A) -1 B) 1 C) 2 D) 0 E) X64
-1
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