Informatica

1. Tema 3: Estadística Inferencial
“Conceptos de variable aleatoria y
probabilidad”
Disciplina: Informática Médica
Asignatura: Informática Médica II
PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN DE MEDICINA
INTEGRAL COMUNITARIA (PNFMIC)

2. Fenómenos Aleatorios
Fenómeno empírico caracterizado por la propiedad
de que su observación, bajo un conjunto de
condiciones dadas no siempre conduce al mismo
resultado, sino que pueden ocurrir diferentes
resultados.
Es imposible predecir con certeza absoluta el
resultado del mismo antes de realizarlo bajo un
conjunto de condiciones dadas (el resultado
depende del azar), sin embargo puede lograrse
una estimación con un grado de confiabilidad.

3. Fenómenos Aleatorios
Ejemplos de Fenómenos Aleatorios
1. Estatura adulta del hijo de una pareja.
Aunque tengamos toda la información antropométrica, de salud y
socio-económica de ambos miembros de la pareja, resulta
imposible conocer con exactitud cual será la talla final de un hijo.
2. Niveles de lípidos en el suero de un sujeto sano del sexo
masculino.
No hay ningún mecanismo o procedimiento que nos permita
conocer esas cifras, como no sea la extracción de una muestra
de sangre y la valoración directa del nivel de dichas sustancias
en el suero obtenido.
Ni todos los hijos (de igual sexo) de una pareja tienen la misma
talla, ni todos los hombres sanos tienen lipidogramas iguales.
Estas diferencias son el producto de factores que no podemos
controlar o que no conocemos que influyen sobre esas
características (talla adulta y nivel de lípidos), y que los
resultados sean diferentes a pesar de realizar las observaciones
en igualdad de condiciones.

4. Variable Aleatoria
Una variable es aleatoria si toma diferentes valores como
resultado de un experimento o fenómeno aleatorio. Puede
ser discreta o continua. Si puede tomar sólo un número
limitado de valores, entonces es una variable aleatoria
discreta, por ejemplo, el sexo de un recién nacido. En el
otro extremo, si puede tomar cualquier valor dentro de un
intervalo dado, entonces se trata de una variable aleatoria
continua, por ejemplo, la talla, y en general variables que
expresan tiempo, medidas de longitud, peso, etc
Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o
una magnitud que cambia de una presentación a otra, sin
seguir una secuencia predecible. Los valores de una
variable aleatoria son los valores numéricos
correspondientes a cada posible resultado de un
experimento aleatorio.

5. Fenómenos Determinísticos
Los fenómenos determinísticos son aquellos que
ocurren inevitablemente cuando están presentes un
conjunto de condiciones. No ocurren cuando están
presentes determinadas condiciones.
Ejemplos:
• Ebullición del agua ocurre a más de 100 0C
• Congelación del agua ocurre 0 0C
Para los fenómenos determinísticos es posible
encontrar leyes que expliquen la aparición de los
resultados dado un conjunto de condiciones iniciales a
la realización del experimento.
El espacio recorrido es producto de la velocidad por el
tiempo, e = v · t.

6. Fenómeno Aleatorio
Fenómeno Aleatorio: Fenómeno empírico caracterizado
por la propiedad de que su observación, bajo un
conjunto de condiciones dadas no siempre conduce al
mismos resultado, (no existe regularidad determinística),
sino que pueden ocurrir diferentes resultados, de
manera tal que existe Regularidad Estadística.
Regularidad Estadística: La estabilización para un
número grande de pruebas del por ciento de ocurrencia
de cada uno de los resultados del experimento.
Para realizar el estudio de un fenómeno aleatorio, es
necesario realizar un experimento; del cual obtendremos
diferentes resultados. Cada uno de estos resultados se
denomina Punto Muestral.

7. Fenómeno Aleatorio
Espacio Muestral: De un fenómeno aleatorio es el conjunto de todos
los puntos muestrales del experimento. Es decir todos los
resultados posibles de un fenómeno aleatorio.
Espacio muestral = S
Fenómeno Aleatorio = FA
Ejemplos:
• Lanzamiento de una moneda
– Resultados: Cara o Cruz S = 2
• Lanzamiento de un dado
– Resultados: 6 caras S = 6
• Seis bolas: 4 rojas (R) y 2 blancas (B)
– Según el color S = {R, B} o sea S = 2
– Según el número S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} o sea S = 6
Estos son S finitos, también los hay infinitos. Un ejemplo:
– Los números reales.
Eventos o Sucesos: Es una colección de puntos muestrales del
espacio muestral, o sea un conjunto de descripciones del
experimento.

8. Fenómeno Aleatorio
Por ejemplo:
Lanzamiento de 3 monedas, los resultados serían en la
combinación de caras y cruces.
S1= XXX S5= OXX
S2= XXO S6= OXO
S3= XOX S7= OOX
S4= XOO S8= OOO
Como vemos hay 8 puntos muestrales y varios eventos.
Observemos algunos ejemplos de eventos:
• Evento A: Que la primera tirada sea cruz
A = {S1, S2, S3, S4}
• Evento B: Que al menos 2 de las 3 tiradas sean cruces:
B = {S1, S2, S3, S5}

9. Regularidad Estadística
Un ejemplo de experimento aleatorio puede ser el
lanzamiento de una moneda. Si disponemos de una
moneda (sin ningún tipo de sesgo, bien balanceada)
tenemos un espacio muestral definido por dos
resultados posibles: Cara o Cruz. El espacio muestral
(S) matemáticamente se denota así S = {“Cara”(C),
“Cruz”(+)}. Si lanzamos la moneda n veces y se
obtienen nc caras, la frecuencia relativa (f) del suceso
C es: fc = nc / n. (Número de ocurrencia del suceso
(número de caras) entre el número total de pruebas
realizadas (lanzamientos))

10. Regularidad Estadística
Si esta experiencia la realizan varias personas, las
frecuencias relativas obtenidas no coinciden, pero
oscilan alrededor de un número fijo. En el siglo XVIII
Buffon repitió el experimento del lanzamiento de una
moneda 4.040 veces y obtuvo una frecuencia de
sucesos de cara fc = 0,5069. En el siglo XX Pearson
realizó el mismo experimento 24.000 veces, obteniendo
un frecuencia de fc = 0,5005. Las probabilidades se
ajustan a fc = 0,5, el límite cuando se realiza infinitas
repeticiones del lanzamiento.

11. Regularidad Estadística
En esta gráfica podemos apreciar la repetición 100 veces del
lanzamiento de una moneda, simulado por una computadora.
Podemos observar que a medida que aumenta el número de
lanzamientos de la moneda la frecuencia relativa se estabiliza
alrededor de un valor (0.5).

12. Regularidad Estadística
Observamos que si se realiza un gran número de
repeticiones, las frecuencias relativas de aparición de
los sucesos presentan regularidad estadística (Ley de
Regularidad Estadística, ésta es la base empírica de la
Teoría de la Probabilidad).
La estabilidad de las frecuencias relativas y el valor
alrededor del cual oscilan sólo se pueden determinar
experimentalmente, este número puede darse como
una medida de la posibilidad de ocurrencia de un
suceso, por lo que le llamaremos “probabilidad” de tal
suceso. Así que obtenemos como probabilidad de un
determinado suceso el número en torno al cual oscila
su frecuencia relativa f, es decir, el valor límite de f al
repetir un número infinito de veces un experimento.
(Ley de Regularidad Estadística).

13. Probabilidades
La probabilidad es un valor, independiente del observador, que
indica aproximadamente con qué frecuencia se producirá el suceso
considerado en el transcurso de una larga serie de pruebas.
Probabilidad Clásica o “A Priori”: Si un evento A esta formado
por “m“ casos especiales dentro de un grupo de “n” eventos
mutuamente excluyentes y con igual probabilidad de ocurrencia o
éxito, la probabilidad del evento A es:
P(A)= m
n
Por ejemplo si tenemos un dado simétrico y balanceado (sin
sesgo):
•La probabilidad de obtener un 3 es P(A)= 1/6
•La probabilidad de obtener un número par es P(A)= 3/6 = ½
Como se puede apreciar este concepto es muy riguroso, no ocurre
con frecuencia en fenómenos biológicos.

14. Probabilidades
Definición frecuencial o estadística de probabilidad:
Frecuencia relativa: Cociente del número de ocurrencias del
evento entre el número total de pruebas realizadas. n(A)
n
Estadística de probabilidad:
La probabilidad de un evento A no es más que el valor de su
frecuencia relativa, cuando el número de pruebas tiende a infinito
(∞)
n(A)
P(A) = Lim ------
n→∞ n
Puede aplicarse donde los resultados no son equiprobables o
mutuamente excluyentes por tanto es más general y muy utilizada
en la vida práctica.

15. Ejemplo de estudio:
Tenemos un grupo de pacientes con Hepatitis B a los cuales se les
realizan estudios sanguíneos de serología y además de proporción de
T4/T8. Con los siguientes resultados:
Probabilidades
Tipos de eventos y reglas
Estado de Seropotivos o
Seronegativo
Hepatitis B
Proporción
T4/T8 Baja
Proporción T4/T8
Normal
Total
Seronegativos 4 27 31
Seropositivos < 24 meses 5 2 7
Seropositivos > 24 meses 11 1 12
Total 20 30 50

16. Probabilidades
Tipos de eventos y sus reglas:
A. Evento Complementario
Se considera como el evento que no ocurre o sea un evento
opuesto.
El evento complementario de “ser seronegativo” es “no ser
seronegativo” o sea “ser seropositivo”.
A partir de la fórmula original
m
P(A) = ----- y
n
7 + 12
P(complemento de seronegativo)= P(seropositivos)= ------------ = 0.38
50

17. Probabilidades
Tipos de eventos y sus reglas:
B. Eventos mutuamente excluyentes y regla de adición:
Son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno impide la de
los demás.
Un paciente con Hepatitis no puede ser seropositivo > 24 meses.
La probabilidad de que ocurran eventos mutuamente excluyentes
es la probabilidad de que ocurra uno u otro y se obtiene sumando
y se obtiene sumando la probabilidad de los dos eventos lo que
se conoce por regla de adición.
Según nuestro ejemplo.
P(seropositivos<24 meses) = 7/50 = 0.14
P(seropositivos>24 meses) = 12/50 = 0.26
La regla de adición sería 0.14 + 0.26 = 0.40
O sea 0.40 es la probabilidad que ocurran estos eventos
mutuamente excluyentes.

18. Probabilidades
Tipos de eventos y sus reglas:
C. Eventos independientes y regla de multiplicación:
Evento independiente es aquel cuyo resultado no tiene efecto en
el del otro.
Supongamos que los pacientes con resultados seronegativos a la
Hepatitis B se dividen en 11 hombres y 20 mujeres, por tanto
podemos calcular la probabilidad del tipo de sexo.
P(hombre) = 11 / 50 = 0.22 y P(mujer) = 20 / 50 = 0.40
No existe dependencia de la seropositividad y el sexo, por tanto
son eventos independientes y su probabilidad se calcula
multiplicando las probabilidades que nos propongamos (regla de
multiplicación), veamos un ejemplo:
• Probabilidad de que sea hombre y seronegativo
P(hombre y seronegativo) = P(hombre) x P(seronegativo)
P(hombre) = 11 / 50 = 0.22
P(seronegativo) = 31 / 50 = 0.62
P(hombre y seronegativo) = 0.22 x 0.62 = 0.14

19. Probabilidades
Clásica Frecuencial
Definición Si un evento A esta formado
por “m“ casos especiales
dentro de un grupo de “n”
eventos mutuamente
excluyentes y con igual
probabilidad de ocurrencia o
éxito.
La probabilidad de un
evento A no es más que el
valor de su frecuencia
relativa, cuando el número
de pruebas tiende a infinito
(∞), donde los resultados no
son equiprobables o
mutuamente excluyentes.
Aplicable Es muy rigurosa, no ocurre con
frecuencia en fenómenos
biológicos.
Más general y muy utilizada
en la vida práctica.
Fórmula m
P(A) = ---
n
n(A)
P(A) = Lim ------
n→∞ n
¿Cómo
ocurre?
Se obtiene sin efectuar el
experimento
Se obtiene después de
haberlo efectuado un gran
número de veces

20. Probabilidades
Algunas características de las probabilidades son:
1. La probabilidad de un suceso es mayor o igual que cero
2. La probabilidad del suceso seguro es uno.
Propiedades deducidas de sus características:
1. La probabilidad del suceso imposible es cero.
2. La probabilidad de un suceso sumada a su contrario
(complemento) da uno.
3. La probabilidad de un suceso es un número real, menor o igual
que uno.
El concepto de probabilidad clásica se aplica a eventos
mutuamente excluyentes y con igual probabilidad de ocurrencia
o éxito.
La diferencia entre probabilidad clásica y frecuencial radica
en que la primera se obtiene sin efectuar el experimento, y
la segunda después de haberlo efectuado un gran número
de veces.