El documento discute la necesidad de cuantificadores universales y existenciales en lógica y matemáticas para hacer afirmaciones sobre conjuntos y propiedades de elementos. Explica que el cálculo proposicional no es suficientemente fuerte y presenta ejemplos del uso de cuantificadores universales para decir que una propiedad se cumple para todo elemento de un conjunto, y cómo esto se puede transformar a una forma equivalente usando un cuantificador existencial.

2. Cualquier teoría científica aspira a enunciar leyes, postulados, definiciones,
teoremas, etc... Con una validez m ́as o menos universal y, en cualquier caso, bien
precisada. A menudo interesa afirmar que todos los individuos de un cierto campo
tienen la propiedad p o que algunos la tienen. El cálculo proposicional no es
suficientemente fuerte para hacer todas las afirmaciones que se necesitan en
matemáticas. Por ejemplo, afirmaciones como “x = 5” ́o “x>y” no son proposiciones
ya que no son necesariamente verdaderas o falsas.

3. En lógica, se usa el símbolo, denominado cuantificador
universal, antepuesto a una variable para decir que "para todo"
elemento de un cierto conjunto se cumple la proposición dada a
continuación
Si tenemos dos conjuntos diferentes A y B, y A es
un subconjunto de B:
Todo elemento x de A pertenece a B:
Al ser A y B conjuntos diferentes como indica el diagrama,
podemos decir que no todos los elementos y de B pertenecen
a A, siendo esto una garantía suficiente para que dos conjuntos
cualesquiera puedan ser diferentes:
Es decir: no para todo elemento y de B se cumple
que y también pertenezca a A
Ejemplo:

4. Dada una expresión P(x), según el cuantificador universal se puede
transformar en otra equivalente con el cuantificador existencial:
que podríamos leer: si para todo x se cumple P(x) no existe un x que
no cumpla P(x).
Según el ejemplo anterior:
Para todo x que pertenece a A, se cumple que x pertenece a B. Que
podemos expresar:
No existe un x de A, que cumpla que x no esté en B.
De esta manera se da la relación entre los cuantificadores Universales y los
Cuantificadores Existenciales