Este documento describe las diferentes formas de representar la ecuación de una línea recta en geometría analítica, incluyendo la forma punto-pendiente, dos puntos, pendiente-ordenada en el origen, y dos intersecciones. También explica cómo transformar entre la forma general cartesiana y la forma normal usando funciones trigonométricas.

1. INTRODUCCIÓN.<br />La línea recta es un tema principal de la geometría analítica, que nos ayudara a conocer métodos específicos para identificar una ecuación y se establecerán propiedades particulares para cada uno; empezamos por el análisis de la ecuación de la línea recta.<br />“La línea recta es el lugar geométrica de un conjunto infinito de puntos, tales que tomados 2 puntos cualquiera, la pendiente del segundo segmento que las une es siempre una constante.”<br />MP1P2=MP1P3=MP2P3=cotte<br />Formas de la ecuación de la línea recta.<br />Geométricamente una recta queda terminada cuando se conoce uno de sus puntos y su dirección; analíticamente la ecuación de la recta queda perfectamente determinada si se conocen las coordenadas de uno de sus puntos y su ángulo de inclinación, por lo tanto su pendiente. <br />Ecuación punto pendiente:<br />Esta ecuación se utiliza cuando conocemos un punto y la pendiente.<br />Y-y1=M(x-x1)<br />Ecuación que pasa por los dos puntos:<br />Esta ecuación se utiliza solamente cuando se conoce dos puntos.<br />Y-Y1=Y1-Y2X1-X2(X-X1)<br />Ecuación de la recta cuando se conoce la intercesión con eje Y y su pendiente: <br />El punto de intercesión con el eje Y lo llamamos ordenada en el origen y de lo presenta con la letra (b) minúscula. Esta tercera forma también se llama pendiente ordenada en el origen.<br />Y=mx+b<br />Ecuación de la recta cuando es conoce las intersecciones con eje de las abscisas y con el eje de las ordenadas:<br />Las intersecciones con el eje de las abscisas se llaman “abscisa con el origen” y es representada con la letra “a” y la intersección con el eje de las ordenadas se llama ordenadas en el origen y se presenta con la letra “b”.<br />xa + yb = 1<br />Ecuación de la línea recta que pasa por dos puntos, aplicando determinantes:<br />Esta ecuación solo se la utiliza cuando se conoce dos puntos en las coordenadas y se debe aplicar determinantes.<br />Forma Cartesiana Ordinaria de la Recta <br />La forma cartesiana ordinaria de la recta tiene la forma:<br />AX + BY + C = 0<br />Esta forma también se llama forma general de línea recta en donde A o B deben ser diferentes que cero.<br />Forma Normal de la ecuación de la línea recta<br />Si consideramos una recta cualquiera P trazada en el sistema cartesiano y desde el origen trazamos una recta perpendicular a L que se conoce con el nombre de normal y se la designa con la p minúscula. El ángulo de inclinación de la normal se lo representa con el signo griego omega “w”.<br />Mp=senwcosw<br />De la recta L por lo tanto se conoce el punto P1 y su pendiente; estos valores se reemplaza en la <br />Formula punto pendiente.<br />P (P1 Pcosw, psenw)<br />M=coswsenw<br />Y – Y1 = M(x-x1)<br /> Y – psenw = -coswsenw x- pcos2w<br /> Ysenw – psen 2w = -xcosw + pcos2w <br /> Xcosw + Ysenw - psen2w – pcos2w =0<br /> Xcosw + Ysenw – (psen2w + pcos2w) = 0<br /> Xcosw + Ysenw – p (sen2w + cos2w) = 0<br />Por trigonometría<br />Sen2w + cos2w = 1<br />Xcosw + Ysenw – p(1) = 0<br />Entonces la formula normal nos quedaría de la siguiente manera:<br />Xcosw + Ysenw –p = 0<br />Transformación de la Forma General a la Normal<br />Sean las ecuaciones de una recta cualquiera en su forma normal y en su forma general:<br /> FN: Xcosw + Ysenw –p= 0<br /> FG: AX + BY C= 0<br />Como ambas ecuaciones pertenecen a la misma recta por tanto los coeficientes son iguales o proporcionales y dicha proporción se expresa de la siguiente manera:<br /> coswA = senwB = -pC (Constante de proporcionalidad)<br />Al separar cada término de esta proporción y eliminar denominadores tenemos:<br />coswA = K = cosw = AK<br />senwB = K = senw= BK<br />-PC = K = -P = CK<br />Elevando al cuadrado las igualdades 1 y 2, sustituyendo 1,2 y el 3; y finalmente de nuevo sustituyendo. Obtendremos la formula general transformada:<br /> AX+BY+C± A2+ B2 = 0 (Forma General Transformada)<br />Por lo tanto transformar la forma cartesiana a la forma normal de la ecuación de una recta se divide todos los términos de la forma cartesiana para:<br />± A2+B2<br />Si C ≠ 0, el radical se forma con signo contrario a C.<br />Si C ≠0, el radical se forma con signo de B.<br />Si C ≠ 0, el radical se forma con el signo de A.<br />Signos de las Funciones Trigonométricas en los diferentes Cuadrantes<br />Cuadrante o FunciónIIIIIIIVSeno++__Coseno+__+Tangente+_+_Cotangente+_+_Secante+_-+Cosecante++__<br />PARA RECORDAR:<br />En el IC, el valor de W es directo.<br />En el IIC, el valor de W es= 1800 – W<br />En el IIIC, el valor de W es= 1800 + W<br />En el IVC, el valor de W es=3600 + W<br /> <br /> <br />