1. Instituto Tecnológico de Estudios Superiores
de la Región Carbonífera
“Dr. Rogelio Montemayor Seguy”
Caso aplicado:
Flujo vehicular
 Francisco Javier Rodriguez Núñez
 Sandra Rubí Medrano Morales
 Cinthia Edurne Sánchez Nieto
 José Angel Nava Díaz

2. Modelación
Proceso de
Problema solución
de contexto
Problema
matemático
Solución
Interpretación
Transferencia
de resultados

3. Introducción
El siguiente problema se deriva del fenómeno
causado por el flujo de vehículos en determinada calle.
Existen diversos modelos que se utilizan para la
interpretación de estos problemas, por ejemplo: los
macroscópicos.
Los modelos macroscópicos se enfocan en captar
las relaciones globales del flujo de tráfico, tales como
velocidad de los vehículos, flujo vehicular y densidad de
tráfico. Por su naturaleza, son modelos continuos, que
hacen uso extensivo de ecuaciones diferenciales.
Incluye a los modelos de gases cinéticos y los
hidrodinámicos. Dirk Helbing, M. Treiber y L. A. Pipes son
algunos de los investigadores de mayor renombre en
esta área. Dentro de los modelos macroscópicos existen
modelos puramente empíricos, denominados modelos
de capacidad y nivel de servicio, que renuncian al
planteamiento preciso de ecuaciones diferenciales y se
limitan a establecer relaciones empíricas entre las
principales variables bajo control del diseñador.

4. Problema de contexto
Se pretende encontrar la cantidad de flujo
vehicular que existe en las calles que rodean la
“Plazita de La Madre” en la Cd. de Sabinas. Las
calles Ocampo, Acuña, Fco. Villa y Gustavo
Espinoza corren en dos sentidos. Un grupo de
estudiantes recopilaron la información veridica
del sistema de ecuaciones lineales que son los
siguentes:
o Nodo 1e: G. Espinoza = 4, Ocampo = 8
o Nodo 1s: G. Espinoza = 1, Ocampo = 15
o Nodo 2e: Fco. Villa = 2, G. Espinoza = 1
o Nodo 2s: Fco. Villa = 6, G. Espinoza = 0
o Nodo 3e: Acuña = 22, Fco. Villa = 9
o Nodo 3s: Acuña = 25, Fco. Villa = 8
o Nodo 4e: Ocampo = 20, Acuña = 31
o Nodo 4s: Ocampo = 14, Acuña = 27

5. Ae As He Hs
Ocampo
X1 Ge
Bs 1 4 Gs
Be X5
X4
X6
E
A
s
c
p
u
i
ñ
n
a
o
z
a
X2 X8
Cs X7 Fe
2 3 Fs
Ce X3
Fco. Villa
Ds De Es Ee

6. Ocampo y Espinoza Acuña y Ocampo
Espinoza y Fco. Villa Fco. Villa y Acuña

7. Modelación
El sistema de ecuaciones lineales
quedaría de esta maera:
o 1. X1 + Ae + Be + X6 = X5 + As + Bs + X2
o 2. X2 + Ce + De + X7 = X6 + Cs + Ds + X3
o 3. X3 + Ee + Fe + X8 = X7 + Es + Fs + X4
o 4. X4 + Ge + He + X5 = X8 + Gs + Hs+ X1
Despejando tenemos las sig. ecuaciones:
o 1. X1 – X2 – X5 + X6 = – Ae – Be + As + Bs
o 2. X2 – X3 – X6 + X7 = – Ce – De + Cs + Ds
o 3. X3 – X4 – X7 + X8 = – Ee – Fe + Es + Fs
o 4. –X1 + X4 + X5 – X8 = – Ge – He+ Gs + Hs

8. Problema matemático
Sustituímos en el sistema los valores de
entrada y de salida conocidos, y nos queda el
sistema de esta manera:
 1. X1 – X2 – X5 + X6 = – ( 4) – ( 8) + ( 1) + (15) = 4
 2. X2 – X3 – X6 + X7 = – ( 2) – ( 1) + ( 6) + ( 0) = 3
 3. X3 – X4 – X7 + X8 = – (22) – ( 9) + (25) + ( 8) = 2
 4. –X1 + X4 + X5 – X8 = – (20) – (31) + (14) + (27) = – 10
o 1. X1 – X2 – X5 + X6 = 4
o 2. X2 – X3 – X6 + X7 = 3
o 3. X3 – X4 – X7 + X8 = 2
o 4. –X1 + X4 + X5 – X8 = – 10

9. Proceso de solución
Utilizando el método de Gauss-Jordan
procedemos a resolver el sistema:
1 -1 0 0 -1 1 0 0 4 (1)
0 1 -1 0 0 -1 1 0 3
0 0 1 -1 0 0 -1 1 2
-1 0 0 1 1 0 0 -1 -10
R1 * (1) + R4 = R4
1 -1 0 0 -1 1 0 0 4
0 1 -1 0 0 -1 1 0 3 (1)(1)
0 0 1 -1 0 0 -1 1 2
0 -1 0 1 0 1 0 -1 -6

10. Continuación...
Proceso de solución
 R2 * (1) + R1 = R1
 R2 * (1) + R4 = R4
1 0 -1 0 -1 0 1 0 7
0 1 -1 0 0 -1 1 0 3
0 0 1 -1 0 0 -1 1 2 (1)(1)(1)
0 0 -1 1 0 0 1 -1 -3
 R3 * (1) + R1 = R1
 R3 * (1) + R2 = R2
 R3 * (1) + R4 = R4
1 0 0 -1 -1 0 0 1 9
0 1 0 -1 0 -1 0 1 5
0 0 1 -1 0 0 -1 1 2
0 0 0 0 0 0 0 0 -1

11. Solución
Al despejar la última incógnita tenemos:
X8(0) = -1
X8 = -1/0, por lo tanto su valor es
indeterminado.
De acuerdo a los resultados obtenidos se
llega a la conclusión que el sistema no tiene
solución y por lo tanto es incompatible.
Es decir las incógnitas anteriores a X8
dependen de un número indeterminado y por
lo tanto también son indeterminadas.

12. Transferencia de resultados
Las incógnitas pertenecen a las calles
siguientes:
o X1 = Melchor Ocampo (vuelta)
o X2 = Gustavo Espinoza (vuelta)
o X3 = Fco. Villa (vuelta)
o X4 = Jesús Acuña (vuelta)
o X5 = Melchor Ocampo (ida)
o X6 = Gustavo Espinoza (ida)
o X7 = Fco. Villa (ida)
o X8 = Jesús Acuña (ida)

13. Interpretación
Se puede concluir que las calles que
rodean la “Plazita de la Madre” no dependen
una de la otra y no es posible determinar la
cantidad de tráfico vehicular que circula en
esa área en particular.

14. ¡Gracias!