resolucion de sistemas por el método de Gauss

1. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS UTILIZANDO EL MÉTODO DE GAUSS

2. EJEMPLO RESUELVE EL PROBLEMA POR EL MÉTODO DE GAUSS : En una reunión hay 60 personas entre altas, medianas y bajas. Se sabe que las bajas y medianas duplican el número de altas. También se sabe que altas y el doble de las medianas son el doble de las bajas. ¿Cuál es el número de personas altas, medianas y bajas?

3. 1.PLANTAMIENTO X=Nº personas altas. Y=Nº personas medianas. Z=Nº personas bajas. x+y+z = 60 y + z = 2x x + 2y = 2z

4. 2.SISTEMA EN FORMA STANDARD Hemos de poner el sistema en forma standard: incognitas en la parte izquierda , números a la derecha: x + y + z = 60 - 2x + y + z = 0 x + 2y – 2z = 0

5. 3.APLICAR EL MÉTODO DE GAUSS Consiste en transformar el sistema mediante operaciones elementales en las ecuaciones, hasta obtener un sistema sencillo de resolver del tipo, en el cual se han anulado algunas incognitas: a 1 x + b 1 y + c 1 z =d 1 b 2 y + c 2 z = d 2 c 3 z = d 3

6. 3.APLICAR EL MÉTODO DE GAUSS 1º Eliminamos la x de la 2ª y 3ª ecuación: ( 1ª) x + y + z = 60 (1ª) x + y + z = 60 (2ª)- 2x + y + z = 0 (2ª) + 2·(1ª)-----> (2ª) 0 +3y+ 3z= 120 (3ª)x + 2y – 2z = 0 (3ª) – (1ª) ------> (3ª) 0 + y – 3z = - 60

7. 3.APLICAR EL MÉTODO DE GAUSS 2º. Eliminamos otra incognita en la 3ª ecuación: (en este caso viene bien eliminar z) (1ª) x + y + z = 60 x + y + z = 60 (2ª) 0 +3y+ 3z = 120 0 +3y+ 3z = 120 (3ª) 0 + y – 3z = - 60 (3ª) + (2ª) ------> 0 + 4y + 0 = 60

8. 3.APLICAR EL MÉTODO DE GAUSS Este sistema se resuelve fácilmente, despejando y en la 3ª ecuación, luego z en la 2ª y por último x en la 1ª. x + y + z = 60 ------------> x = 60 – 15 – 25 = 20 0 +3y+ 3z = 120 ------------> 3·15 + 3z = 120 ----> z =75/3 = 25 0 + 4y + 0 = 60 ------------> y = 60/4 = 15

9. 4. RESUMEN Por tanto, mediante el método de Gauss se transforma el sistema inicial, en otro cuya resolución es muy sencilla.