El documento define un círculo unitario como un círculo con centro en el origen y radio igual a 1. Explica que si un punto P pertenece al círculo unitario, el seno del ángulo central es igual a la coordenada y de P y el coseno es igual a la coordenada x. Luego generaliza estas definiciones para círculos de cualquier radio, utilizando un triángulo recto imaginario. Finalmente, presenta ejemplos de cálculo de las seis funciones trigonométricas para puntos dados en círculos de

1. Circulo Unitario
Inga Ingrid Flores

2. • Un círculo con
centro en el
origen de un
sistema de
coordenadas
rectangulares
y con radio
igual a 1 se
llama un
círculo
unitario.

3. • Si el punto
P(x,y) pertenece
al círculo
unitario, y el
segmento OP es
un radio,
entonces OP
intercepta un
arco dirigido q
va desde el eje
de x hasta P
(arco S).

4. • El arco
interceptado,
arco S, tiene
la misma
medida que el
ángulo central
ϴ.

5. En el círculo unitario
definimos
• sin(s) = sin(ϴ) como
la distancia, y, vertical
desde P hasta el eje
de x.
• Similarmente,
definimos
cos(s)=cos(ϴ) como
la distancia horizontal
desde el origen hasta
la coordenada en x
del punto P.
Arco s

6. • Si el círculo NO
es unitario,
entonces NO es
de radio 1.
• En este caso, se
determina el
seno y el coseno
del ángulo
central utilizando
el triángulo recto
imaginario que
se forma y las
razones que
estudiamos para
el triángulo recto.
Radio = 3

7. hipotenusa
opuesto

)
sin(
hipotenusa
adyacente

)
cos(
Utilizando el triángulo
recto imaginario
podemos traducir estas
razones a:
r
y

)
sin(
r
x

)
cos(

Vimos anteriormente que
en un triángulo recto:

8. Similarmente podemos
usar el triángulo recto
imaginario que se forma
dentro del círculo para
determinar las otras 4
razones
trigonométricas:
x
y
ady
op


)
tan(
y
x
op
ady


)
cot(
x
r
ady
hip


)
sec(
y
r
op
hip


)
csc(

9. 2
2
)
sin( 

r
y

2
2
)
cos( 

r
x

 
2
,
2
P
1
2
2
)
tan( 


x
y

Ejemplo 1: Dado un círculo con radio igual a 2,
y el punto P, hallar los valores de las 6 razones
trigonométricos.

10. Ejemplo 1: Dado un círculo con radio igual a 2,
y el punto P, hallar los valores de las 6 razones
trigonométricos.
2
2
)
csc( 

y
r

2
2
)
sec( 

x
r

1
2
2
)
cot( 


y
x

 
2
,
2
P
2
2
2
2


2
2
2
2



11. EJEMPLO 2: El punto P(x,y) se muestra en una
circunferencia unitaria. Encuentre los valores de las
razones trigonométricas del ángulo central que se
muestra.






5
4
,
5
3
P

Sabemos que:
•el radio es 1
•x=
•y=
•Por lo tanto,
5
4
)
sin( 

x
y
5
3
5
4
5
3
)
cos( 

3
4
)
tan( 

x
y


12. EJEMPLO 2: El punto P(x,y) se muestra en una
circunferencia unitaria. Encuentre los valores de las
razones trigonométricas del ángulo central que se
muestra.






5
4
,
5
3
P

Las relaciones recíprocas son:
4
5
)
csc( 

x
y
3
5
)
sec( 

4
3
)
cot( 

y
x


13. Práctica
• Hallar los valores de las 6 razones
trigonométricas en los siguientes círculos.






13
12
,
13
5
P
 
8
,
15
P
Radio = 1 Radio = 17

14. Soluciones
• Hallar los valores de las 6 razones
trigonométricas en los siguientes círculos.






13
12
,
13
5
P
Radio = 1
 
8
,
15
P
Radio = 17
 
13
5
cos 

 
13
12
sin 

 
5
12
tan 

 
5
13
sec 

 
12
13
csc 

 
12
5
cot 

 
17
15
cos 

 
17
8
sin 

 
15
8
tan 

 
15
17
sec 

 
8
17
csc 

 
8
15
cot 
