Este documento presenta los principales teoremas relacionados con el círculo y la circunferencia. Incluye teoremas sobre ángulos como el ángulo del centro, ángulo inscrito e igualdad de ángulos inscritos. También cubre teoremas sobre trazos como las secantes, tangente y secante, tangentes y cuerdas. El objetivo es aplicar estos teoremas fundamentales en la resolución de ejercicios.

1. CLASE Nº 12
Circunferencia y Círculo II

2. Aprendizajes esperados:
• Aplicar los teoremas fundamentales relativos a
Círculo y Circunferencia en la resolución de
ejercicios.

3. Contenidos
1.Teoremas fundamentales - Ángulos
1.1 Ángulo del centro y ángulo inscrito
1.2 Igualdad de ángulos inscritos
1.3 Triángulo inscrito en una semicircunferencia
1.4 Cuadrilátero inscrito en una circunferencia
1.5 Teorema del ángulo exterior
1.6 Teorema del ángulo interior

4. 2. Teoremas fundamentales - Trazos
2.1 Teorema de las secantes
2.2 Teorema de la tangente y la secante
2.3 Teorema de las tangentes
2.4 Teorema de las cuerdas
2.5 Cuadrilátero circunscrito a una circunferencia

5. 1. Teoremas fundamentales (ángulos)
1.1 Ángulo del centro y ángulo inscrito
Ángulo del centro: Tiene el vértice en el centro de la
circunferencia, y mide lo mismo que el arco que subtiende.
Ejemplo:
Si el arco AB = 40º, entonces a = 40º
40°
O: centro de la circunferencia

6. Ángulo inscrito: Tiene el vértice en la circunferencia, y
mide la mitad del arco que subtiende.
Ejemplo:
Si el arco AB = 50º, entonces a = 25º
50°

7. Corolario:
Si un ángulo inscrito y un ángulo del
centro subtienden el mismo arco,
entonces el ángulo del centro es el
doble del ángulo inscrito.
2a
Además, se cumple que:
a = g + d

8. Ejemplo:
En la figura, si arco AB mide 70°, entonces el ángulo del
centro AOB también mide 70° y el ángulo inscrito ACB
mide 35°.
70°
O: centro de la circunferencia

9. 1.2 Igualdad de ángulos inscritos
Si dos o más ángulos inscritos subtienden el mismo
arco, éstos son iguales.
a = b = g

10. 1.3 Triángulo inscrito en una semicircunferencia
Todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es
rectángulo con hipotenusa igual al diámetro.
180°
O: centro de la circunferencia

11. 1.4 Cuadrilátero inscrito en una circunferencia
En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia,
los ángulos opuestos son suplementarios.
a + b = 180°
g + d = 180°
Ejemplo:

12. 1.5 Teorema del ángulo exterior
Si a es ángulo exterior de la circunferencia,
entonces:

13. 1.6 Teorema del ángulo interior
Si a es ángulo interior de la circunferencia,
entonces:

14. 2. Teoremas fundamentales (trazos)
2.1 Teorema de las secantes
Sean PA y PB dos secantes, entonces:
PA ∙ PD = PB ∙ PC

15. Ejemplo:
En la figura, determinar PD si PA = 12, PB = 20 y PC = 6.
PA y PB secantes.
12
20
x
6
PA ∙ PD = PB ∙ PC
12 ∙ PD = 20 ∙ 6
12 ∙ PD = 120
PD= 10

16. 2.2 Teorema de la tangente y secante
Sean PA una tangente y PC una secante, entonces:
(PA)2 = PC ∙ PD

17. 2.3 Teorema de las tangentes
Sean PA y PC dos tangentes, entonces:
PA = PC

18. 2.4 Teorema de las cuerdas
Sean AB y CD dos cuerdas, entonces:
AP ∙ PB = CP ∙ PD

19. 2.5 Cuadrilátero circunscrito
Sea ABCD cuadrilátero circunscrito a la circunferencia,
entonces:
a + c = b + d
5 + c = 7 + 8
c = 10
Ejemplo:

20. Los contenidos revisados anteriormente los puedes
encontrar en tu libro, desde la página 260 a la 267.