Clase 7 capacitancia y dielectricos

1. Clase 7 13/Febrero/2015

2.  Se analizan dispositivos que almacenan carga eléctrica. Los capacitores se
analizan por lo común en una variedad muy amplia de circuitos eléctricos. Por
ejemplo se usan para sintonizar la frecuencia de receptores y radios, como filtros
en suministro de energía eléctrica, para eliminar chispas en los sistemas de
incendio de automóviles y como dispositivos de almacenamiento de energía.
 Un capacitor se componen de dos conductores separados por un aislante. Se vera
que la capacitancia de un capacitor dado depende de su geometría y del material
llamado dieléctrico que separa a los conductores.

3.  Considere dos conductores que
tienen cargas de igual magnitud
pero de signo opuesto, como se
muestra en la figura.
 Un capacitor consiste de dos
conductores que conducen cargas
de igual magnitud pero de signos
opuestos.

4.  Tal combinación de dos conductores se denomina capacitor. Los
conductores se conocen como placas. Debido a la presencia de las
cargas existe una diferencia de potencial ∆𝑉 entre los conductores.
Puesto que la unidad de diferencia de potencial es el volt, una
diferencia de potencial suele ser llamada voltaje. Se usara ese termino
para describir la diferencia de potencial a través de un elemento de
circuito o entre dos puntos en el espacio.
 ¿Qué determina cuanta carga está sobre las placas del capacitor para
un voltaje determinado? En otras palabras, ¿Cuál es la capacidad del
dispositivo para almacenar carga aun valor particular de ∆𝑉?

5.  Los experimentos muestran que la cantidad de carga 𝑄 sobre un
capacitor es linealmente proporcional a la diferencia de potencial entre
los conductores; es decir, 𝑄 𝛼 ∆𝑉. La constante de proporcionalidad de
pende de la forma de separación de los conductores. Esta relación se
puede escribir como Q = C∆V si se define a la capacitancia como sigue:
 La capacitancia 𝐶 de un capacitor es la razón entre la magnitud de la
carga en cualquiera de los dos conductores y la magnitud de la
diferencia de potencial entre ellos:
𝐶 =
𝑄
∆𝑉
𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎

6.  Nota. La capacitancia siempre es una cantidad positiva, porque la
diferencia de potencial aumenta linealmente con la carga almacenada,
la proporción 𝑄/∆𝑉 es constante para un capacitor dado.
 La capacitancia se expresa en el SI con las unidades coulomb por volt.
La unidad de la capacitancia del SI es el farad (F)
1𝐹 =
1𝐶
𝑉

7.  El farad es una unidad de capacitancia muy grande. En la práctica los
dispositivos comunes tienen capacitancias que varían de microfarads
(10−6
𝐹) a picofarads, para propósitos prácticos los capacitores casi
siempre se marcan con "𝑚𝐹" para microfarads o, de manera
equivalente, "𝑝𝐹“ para picofarads.

8.  Considere un capacitor
formado a partir de un par
de placas como se muestra
en la figura
Un capacitor de placas paralelas consta
de dos placas conductoras paralelas,
cada una de área A, separadas por una
distancia d. Cuando el capacitor se
carga, las placas transportan iguales
cantidades de carga. Una placa conduce
carga positiva y la otra conduce carga
negativa.

9.  Cada placa esta conectada a la terminal de una batería que actúa como una fuente
de diferencia de potencial. Si el capacitor esta inicialmente descargado, la batería
establece un campo eléctrico en los alambres conectores cuando se realizan las
conexiones.
 Centremos la atención sobre la placa conectada a la terminal negativa de la
batería. El campo eléctrico aplica una fuerza sobre los electrones en el alambre
afuera de esta placa, esta fuerza provoca que los electrones se muevan hacia la
placa.
 Este movimiento continua hasta que la placa, el alambre y la terminal están todos
en el mismo potencial eléctrico.

10.  Una vez alcanzado el punto de equilibrio, ya no existe mas una diferencia de
potencial entre la terminal y la placa, y como resultado no existe un campo
eléctrico en el alambre, por tanto el movimiento de los electrones se detiene. La
placa ahora porta una carga negativa.
 Un proceso similar ocurre en la otra placa del capacitor, con los electrones
moviéndose desde la placa hacia el alambre, dejando la placa cargada
positivamente.
 En esta configuración final la diferencia de potencial a través de las placas es la
misma que existe entre las terminales de la batería.

11.  Suponga que se tiene un capacitor especificado de 4𝑝𝐹 de carga por cada volt de
diferencia de potencia entre los dos conductores. Si una batería de 9 Volts se
conecta a través de este capacitor, uno de los conductores terminará con una carga
neta de −36 𝑝𝐶 y el otro finalizara con una carga neta de +36 𝑝𝐶.

12.  Problema 1
 A) ¿Cuánta carga existe en cada placa de un capacitor de 4𝜇𝐹 cuando se conecta a
una batería de 12𝑉? B) Si este mismo capacitor se conecta a una batería de 1.50V,
¿que carga se almacena?

13.  Solución
 Datos:
 𝐶 = 4𝜇𝐹; ∆𝑉 = 12𝑉
 Inciso a
 Sabemos que: 𝐶 =
𝑄
∆𝑉
⟹ 𝑄 = 𝐶 ∙ ∆𝑉 = 4 × 10−6
× 12
 ∴ 𝑄 = 48𝜇𝐶

14.  Solución
 Datos:
 𝐶 = 4𝜇𝐹; ∆𝑉 = 1.50𝑉
 Inciso b
 Sabemos que: 𝐶 =
𝑄
∆𝑉
⟹ 𝑄 = 𝐶 ∙ ∆𝑉 = 4 × 10−6
× 1.5
 ∴ 𝑄 = 6𝜇𝐶

15.  Problema 2
 Dos conductores con cargas netas de +10𝜇𝐶 𝑦 − 10𝜇𝐶 tienen una diferencia de
potencial de 10V. Determine a) la capacitancia del sistema y b) la diferencia del
potencial entre los dos conductores si las cargas en cada uno se incrementan hasta
+ 100𝜇𝐶 𝑦 − 100𝑢𝐶.

16.  Solución
 Datos:
 𝑄1 = +10𝜇𝐹 𝑄2 = −10𝜇𝐹 ∆𝑉 = 10𝑉
 Inciso a
 Sabemos que: 𝐶 =
𝑄
∆𝑉
=
10×10−6
10
 ∴ 𝐶 = 1𝜇𝐹

17.  Solución
 Datos:
 𝑄1 = +100𝜇𝐹 𝑄2 = −100𝜇𝐹 ∆𝑉 = 10𝑉
 Inciso b
 Sabemos que: ∆𝑉 =
𝑄
𝐶
=
100×10−6
1×10−6
 ∴ ∆𝑉 = 100V

18.  La capacitancia de un par de conductores con cargas opuestas se pueden calcular
de la siguiente manera: se supone una carga de magnitud 𝑄, y la diferencia de
potencial se calcula mediante las técnica antes vistas. Por lo tanto se usa la
expresión 𝐶 = 𝑄/∆𝑉 para evaluar la capacitancia. Como se podría esperar, el
calculo se efectúa con relativa facilidad si la geometría del capacitor es simple.

19.  Se puede calcular la capacitancia de un conductor esférico aislado de radio 𝑅 y
carga 𝑄 si se supone que el segundo conductor que forma el capacitor es una esfera
hueca concéntrica de radio infinito. El potencial eléctrico de la esfera de radio 𝑅 es
simplemente
𝑘 𝑒 𝑄
𝑅
, 𝑦 𝑉 = 0, se establece por lo tanto lo siguiente:
 Esta expresión muestra que la capacitancia de una esfera cargada aislada es
proporcional a su radio y es independiente tanto de la carga sobre la esfera como
de la diferencia de potencial.
𝐶 =
𝑄
∆𝑉
=
𝑄
𝐾𝑒 𝑄/𝑅
=
𝑅
𝑘 𝑒
= 4𝜋𝜖0 𝑅

20.  La capacitancia de un par de conductores depende de la geometría de los mismos.
Se ilustra esto con tres geometrías familiares, es decir, placas paralelas, cilindros
concéntricos y esferas concéntricas.

21. Geometría Capacitancia observaciones
Esfera cargada aislada de radio
𝑅 (segundo conductor cargado
supuesto al infinito: que se
encuentra alejado una distancia
muy grande con respecto a un
punto de referencia)
𝐶 = 4𝜋𝜖0 𝑅 Esta expresión muestra que la capacitancia de una esfera cargada
aislada es proporcional a su radio y es independiente tanto de la
carga sobre la esfera como de la diferencia de potencial.
Capacitor de placas paralelas
con área de placa A y
separación de placa d
𝐶 = 𝜖0
𝐴
𝑑
La capacitancia de un capacitor de placas paralelas es proporcional
al área de sus placas e inversamente proporcional a la separación
de estas.
Capacitor cilíndrico de longitud 𝐿 y
radios interior y exterior a y b
respectivamente.
𝐶 =
𝐿
2𝑘 𝑒 𝑙𝑛
𝑎
𝑏
Un ejemplo de este tipo de arreglo geométrico es un cable coaxial, el
cual consta de dos conductores cilíndricos concéntricos separados de
un aislante. El cable conduce señales eléctricas en los conductores
interior e exterior. Tal geometría es especialmente útil para
proteger las señales de cualquier influencia externa
Capacitor esférico con radios
interior y exterior a y b
respectivamente
𝐶 =
𝑎𝑏
𝑘 𝑒 𝑏 − 𝑎

22. Un capacitor cilíndrico consta de un
conductor cilíndrico solido de radio a
y longitud L rodeado por un cascaron
cilíndrico coaxial de radio b. La
segunda figura es la vista
transversal. Las líneas punteadas
representan la forma de la superficie
gaussiana cilíndrica de radio y
longitud L.

23. Key = Tecla
Movable plate = Placa móvil
Soft insulator = Aislante suave
Fixed plate =Placa fija
La capacitancia de un capacitor de
placas paralelas es proporcional al
área de sus placas e inversamente
proporcional a la separación de estas.

24. Un capacitor esférico consta de una
esfera interior de radio a rodeada por
un cascarón esférico concéntrico de
radio b. El campo eléctrico entre las
esferas esta dirigido radialmente hacia
afuera cuando la esfera interior tiene
carga positiva.

25.  Problema 3
 Una esfera conductora cargada y aislada de 12cm de radio crea un campo eléctrico
de 4.90 × 104 𝑁/𝐶 a una distancia de 21 cm de su centro. A) ¿Cuál es su densidad
de carga superficial? B) ¿Cuál es su capacitancia?

26.  Solución
 Datos
 𝑅 = 0.12𝑚, 𝑟 = 0.21𝑚, 𝐸 = 4.9 × 104
𝑁/𝐶
𝑟
𝑅
Esfera
Conductora

27.  Solución
 Datos
 𝑅 = 0.12𝑚, 𝑟 = 0.21𝑚, 𝐸 = 4.9 × 104 𝑁/𝐶
 Inciso a
 Por Gauss tenemos que: Φ = 𝐸 ∙ 𝑑𝐴 =
𝑄
𝜖 𝑜
 ⇒ 𝐸 × 4𝜋𝑟2 =
𝜎 4𝜋𝑅2
𝜖 𝑜
 ⇒ 𝜎 =
𝐸𝜖 𝑜 𝑟2
𝑅2 =
4.9×104 8.85×10−12 0.21 2
0.12 2 = 1.33𝜇𝐶/𝑚2

28.  Solución
 Datos
 𝑅 = 0.12𝑚, 𝑟 = 0.21𝑚, 𝐸 = 4.9 × 104 𝑁/𝐶
 Inciso b
 Sabemos que la capacitancia para una esfera conductora es:
 𝐶 = 4𝜋𝜖 𝑜 𝑅
 𝐶 = 4𝜋 × 8.85 × 10−12
0.12
 𝐶 = 13.3𝑝𝐹

29.  Problema 4
 A) Si una gota de liquido tiene una capacitancia de 1𝑝𝐹, ¿Cuál es su radio? B) Si
otra gota tiene un radio de 2 mm. ¿Cuál es su capacitancia? C) ¿Cuál es la carga
en la gota mas pequeña si su potencial es de 100V?

30.  Solución
 Inciso a
 Datos
 𝐶 = 1𝑝𝐹 𝑅 =?
 Considerando a la gota del liquido como una esfera, entonces:
 𝐶 = 4𝜋𝜖0 𝑅
 ⟹ 1 × 10−12
= 4𝜋 8.85 × 10−12
𝑅
 ∴ 𝑅 = 8.96 × 10−3
𝑚

31.  Solución
 Inciso b
 Datos
 𝑆𝑖 𝑅 = 2 × 10−3
𝑚 𝐶 =?
 Sabemos que para una esfera
 𝐶 = 4𝜋𝜖0 𝑅
 ⇒ 𝐶 = 4𝜋 × 8.85 × 10−12
2 × 10−3
 ∴ 𝐶 = 0.224𝑝𝐹

32.  Solución
 Inciso c
 Datos
 𝑁𝑜𝑠 𝑝𝑖𝑑𝑒𝑛 𝑞 =? 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑔𝑜𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 2 × 10−3
𝑚 ∆𝑉 = 100𝑉
 Entonces como: 𝐶 =
𝑄
∆𝑉
⟹ 0.224 × 10−12
=
𝑄
100
 ∴ 𝑄 = 22.4𝑝𝐶