El documento describe los diferentes tipos de números reales, incluyendo números naturales, enteros, racionales e irracionales. Explica que los números reales (R) son la unión de números racionales e irracionales, y que los números naturales (N) están contenidos en los enteros (Z) los cuales a su vez están contenidos en los racionales (Q) y estos en los reales (R). También define las operaciones básicas de suma y multiplicación en los números reales.
La radicación es la operación matemática contraria a la potenciación, que involucra encontrar el número que elevado a un exponente (índice) da como resultado el radicando. La raíz es el resultado de la operación, mientras que el radicando es el número dentro del signo radical. Las leyes de los signos en la radicación establecen que las raíces de índice par pueden tener dos soluciones positiva o negativa, mientras que las raíces de índice impar tienen el mismo signo que el radicando.
Este documento describe diferentes tipos de cocientes notables que pueden escribirse sin realizar la división siguiendo reglas fijas. Explica que el número de términos del cociente es igual al exponente que se repite en el dividendo y que hay cuatro casos posibles dependiendo de si el exponente es par o impar y si los términos del divisor son pares o impares. Finalmente, incluye algunos ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento explica las fracciones algebraicas, incluyendo su definición, reglas, simplificación, signos, sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y fracciones compuestas. Define una fracción algebraica como una fracción común donde las letras pueden aparecer en el numerador, denominador o ambos. Explica cómo simplificar, sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones algebraicas siguiendo las mismas reglas que las fracciones aritméticas.
1. Se indica el orden de una matriz escribiendo el número de filas x el número de columnas.
2. Una matriz es cuadrada cuando el número de filas es igual al número de columnas.
3. La suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada se identifica como la traza.
1) El documento habla sobre sistemas de numeración, incluyendo principios como el orden, la base y la posición. 2) Explica cómo representar números en diferentes bases usando división sucesiva. 3) Da ejemplos de cómo descomponer números usando su valor posicional.
Este documento presenta información sobre números irracionales. Define números irracionales como aquellos cuyo decimal no termina ni se repite. Clasifica números irracionales en algebraicos y trascendentes. Explica cómo ubicar números irracionales como π y √2 en la recta numérica usando el teorema de Pitágoras. También cubre operaciones básicas como multiplicación, división y potenciación con números irracionales.
Este documento trata sobre expresiones algebraicas y polinomios. Define expresiones algebraicas racionales, irracionales, enteras y fraccionarias. Explica que un polinomio es una expresión algebraica racional entera compuesta de variables relacionadas por suma, resta y multiplicación con exponentes naturales o iguales a cero. Describe los diferentes tipos de polinomios según la cantidad de términos, incluyendo monomios, binomios, trinomios y cuatrinomios.
El documento clasifica y define los diferentes tipos de números reales, incluyendo números naturales, enteros, racionales e irracionales. También explica cómo representar números en la recta real usando intervalos, semirrectas y notación científica, y cómo calcular el valor absoluto de un número.
La radicación es la operación matemática contraria a la potenciación, que involucra encontrar el número que elevado a un exponente (índice) da como resultado el radicando. La raíz es el resultado de la operación, mientras que el radicando es el número dentro del signo radical. Las leyes de los signos en la radicación establecen que las raíces de índice par pueden tener dos soluciones positiva o negativa, mientras que las raíces de índice impar tienen el mismo signo que el radicando.
Este documento describe diferentes tipos de cocientes notables que pueden escribirse sin realizar la división siguiendo reglas fijas. Explica que el número de términos del cociente es igual al exponente que se repite en el dividendo y que hay cuatro casos posibles dependiendo de si el exponente es par o impar y si los términos del divisor son pares o impares. Finalmente, incluye algunos ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento explica las fracciones algebraicas, incluyendo su definición, reglas, simplificación, signos, sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y fracciones compuestas. Define una fracción algebraica como una fracción común donde las letras pueden aparecer en el numerador, denominador o ambos. Explica cómo simplificar, sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones algebraicas siguiendo las mismas reglas que las fracciones aritméticas.
1. Se indica el orden de una matriz escribiendo el número de filas x el número de columnas.
2. Una matriz es cuadrada cuando el número de filas es igual al número de columnas.
3. La suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada se identifica como la traza.
1) El documento habla sobre sistemas de numeración, incluyendo principios como el orden, la base y la posición. 2) Explica cómo representar números en diferentes bases usando división sucesiva. 3) Da ejemplos de cómo descomponer números usando su valor posicional.
Este documento presenta información sobre números irracionales. Define números irracionales como aquellos cuyo decimal no termina ni se repite. Clasifica números irracionales en algebraicos y trascendentes. Explica cómo ubicar números irracionales como π y √2 en la recta numérica usando el teorema de Pitágoras. También cubre operaciones básicas como multiplicación, división y potenciación con números irracionales.
Este documento trata sobre expresiones algebraicas y polinomios. Define expresiones algebraicas racionales, irracionales, enteras y fraccionarias. Explica que un polinomio es una expresión algebraica racional entera compuesta de variables relacionadas por suma, resta y multiplicación con exponentes naturales o iguales a cero. Describe los diferentes tipos de polinomios según la cantidad de términos, incluyendo monomios, binomios, trinomios y cuatrinomios.
El documento clasifica y define los diferentes tipos de números reales, incluyendo números naturales, enteros, racionales e irracionales. También explica cómo representar números en la recta real usando intervalos, semirrectas y notación científica, y cómo calcular el valor absoluto de un número.
Este documento explica las progresiones aritméticas, que son sucesiones de números donde la diferencia entre cualquier par de términos consecutivos es la misma. Define los conceptos de primer término, término n-ésimo, diferencia común y suma de los primeros términos. Luego presenta ejemplos y ejercicios sobre cómo calcular estos valores para diferentes progresiones aritméticas.
Los números decimales son los que vienen después de la coma en un número, como 2,8 donde 2 es el entero y 8 el decimal. Usamos números decimales casi a diario, como en calificaciones. Una décima divide la unidad en 10 partes iguales y una centésima la divide en 100 partes. Para sumar, restar, multiplicar y dividir números decimales debemos alinear las comas y seguir las mismas reglas que para los números enteros, pero manteniendo el número de decimales en el resultado.
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre productos notables que involucran binomios, trinomios y expresiones algebraicas. Los ejercicios cubren temas como calcular cuadrados de binomios, productos de binomios, expresar expresiones en forma de producto, y simplificar expresiones algebraicas usando propiedades de productos notables.
1) El documento habla sobre los sistemas de numeración, incluyendo los principios de orden, base y posicional.
2) Explica cómo representar números en diferentes bases usando el método de divisiones sucesivas.
3) Describe la descomposición polinómica, que consiste en expresar un numeral como la suma de los valores posicionales de sus cifras.
Este documento explica el concepto de par ordenado y cómo ubicarlos en un plano cartesiano. Un par ordenado consiste en dos elementos donde el orden es importante, como (a, b). Estos puntos se representan en un plano cartesiano con la coordenada x en el eje horizontal y y en el eje vertical. Aunque a veces es fácil confundirse sobre qué número corresponde a cada eje, la práctica ayuda a mejorar en la correcta ubicación de pares ordenados.
Este documento describe las principales librerías de la biblioteca estándar de C++, incluyendo stdio.h, stdlib.h, string.h y time.h, y sus funciones clave para entrada/salida, conversión de tipos, manipulación de cadenas y manejo de fecha y hora. También cubre librerías como assert.h, ctype.h, errno.h, limits.h y math.h y sus macros y funciones para diagnóstico, comprobación de tipos, manejo de errores y operaciones matemáticas.
Los números racionales son números que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros y pertenecen al conjunto Q. Entre los números racionales se encuentran las fracciones, que dividen una cantidad entre otra, y los decimales, que son el resultado de una división inexacta. Las fracciones pueden ser propias, improprias, mixtas o aparentes.
Este documento presenta un resumen de las propiedades de los números reales. Introduce los diferentes conjuntos numéricos, incluyendo los números naturales, enteros, racionales, reales y complejos. Explica propiedades como la asociativa, conmutativa, distributiva, identidad e inversa para la suma y multiplicación. Además, ofrece ejemplos de cómo aplicar estas propiedades y simplificar expresiones.
Este documento explica los números naturales y las potencias. Define los números naturales como los números que se usan para contar elementos de un conjunto. Explica que las potencias son productos de factores iguales donde la base se multiplica por sí misma el número de veces indicado por el exponente. Describe las reglas para elevar números positivos y negativos a potencias, así como las reglas para multiplicar, dividir y elevar potencias a otras potencias.
El documento explica los números decimales. Se define que son aquellos números que tienen una parte inferior a la unidad escrita después de una coma. Un número decimal se compone de dos partes, la entera y la decimal, separadas por una coma. Se describen también las unidades decimales como la décima, centésima y milésima. Finalmente, se explican operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división con números decimales.
Este documento describe los pasos para factorizar una expresión usando la diferencia de cuadrados. Explica que primero se identifican los términos con la misma base y se agrupan. Luego se factoriza cada grupo como la suma o resta de dos binomios. Finalmente, se comprueba el resultado factorizado cancelando términos iguales con signos opuestos.
Las palabras reservadas en C++ son identificadores predefinidos con significados especiales que no pueden usarse como nombres de variables u otros identificadores, excepto con el prefijo @. Algunas palabras clave comunes incluyen class, int, float, if, else, while, do, for, switch, case, default, void, enum, struct, union, typedef, const, volatile, static, extern, auto, register, sizeof, break y continue.
Este documento describe los diferentes tipos de números reales e incluye las siguientes definiciones clave:
1) Los números reales (R) son la unión de los números racionales e irracionales.
2) Los números irracionales tienen expresiones decimales infinitas no periódicas.
3) Los números racionales pueden expresarse como fracciones de números enteros.
Este documento presenta ejercicios resueltos sobre números decimales. Incluye conversiones entre expresiones decimales y su lectura, determinación de unidades, décimas, centésimas y milésimas, comparación y ordenación de números decimales, y representación en la recta numérica. Los ejercicios cubren conceptos básicos de números decimales como adición, sustracción y comparación de valores decimales.
Este documento explica las potencias y sus propiedades. Define la potenciación como multiplicar un número por sí mismo varias veces y presenta la notación exponencial. Luego, detalla seis propiedades clave de las potencias: 1) cualquier número elevado a la potencia cero es igual a uno; 2) elevado a la potencia uno es igual a sí mismo; 3) el producto de potencias de la misma base es la suma de los exponentes; 4) dividir potencias de la misma base es restar los exponentes; 5) elevar una potencia a un exponente es multiplicar los exponent
El documento habla sobre la proporcionalidad inversa, donde cuando la variable independiente aumenta, la variable dependiente disminuye en la misma proporción, y viceversa. Explica que para resolver ejercicios de proporcionalidad inversa se puede usar la razón de proporcionalidad o una regla de tres. También define brevemente la proporcionalidad directa.
Este documento presenta información sobre gráficas de ecuaciones lineales. Define conceptos como función lineal, pendiente, dominio y contradominio. Explica que una ecuación lineal representa una recta en el plano de coordenadas y da ejemplos de ecuaciones lineales horizontales y verticales. Concluye que las ecuaciones lineales tienen aplicaciones significativas para entender fenómenos del mundo real.
Este documento describe las propiedades y operaciones básicas con números enteros, incluyendo la suma, resta, multiplicación, división, opuestos, valor absoluto, potencias y raíz cuadrada. Explica las reglas y prioridades para realizar operaciones combinadas con números enteros.
1) El documento introduce expresiones algebraicas y monomios. 2) Explica cómo se suman, restan, multiplican y dividen monomios. 3) Incluye ejercicios para practicar estas operaciones con monomios.
El documento describe los diferentes tipos de números reales, incluyendo números naturales, enteros, racionales e irracionales. Explica que los números reales (R) son la unión de los números racionales (Q) e irracionales (I). También define las operaciones básicas como suma y multiplicación en R y sus propiedades.
Clasificación de los numeros naturales.pptxSamyPRJ
El documento presenta una introducción a los sistemas numéricos que conforman los números reales, incluyendo números naturales, enteros, racionales e irracionales. Explica las propiedades de las operaciones básicas de suma y multiplicación sobre estos conjuntos numéricos. También define la resta como una suma y la división como una multiplicación.
Este documento explica las progresiones aritméticas, que son sucesiones de números donde la diferencia entre cualquier par de términos consecutivos es la misma. Define los conceptos de primer término, término n-ésimo, diferencia común y suma de los primeros términos. Luego presenta ejemplos y ejercicios sobre cómo calcular estos valores para diferentes progresiones aritméticas.
Los números decimales son los que vienen después de la coma en un número, como 2,8 donde 2 es el entero y 8 el decimal. Usamos números decimales casi a diario, como en calificaciones. Una décima divide la unidad en 10 partes iguales y una centésima la divide en 100 partes. Para sumar, restar, multiplicar y dividir números decimales debemos alinear las comas y seguir las mismas reglas que para los números enteros, pero manteniendo el número de decimales en el resultado.
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre productos notables que involucran binomios, trinomios y expresiones algebraicas. Los ejercicios cubren temas como calcular cuadrados de binomios, productos de binomios, expresar expresiones en forma de producto, y simplificar expresiones algebraicas usando propiedades de productos notables.
1) El documento habla sobre los sistemas de numeración, incluyendo los principios de orden, base y posicional.
2) Explica cómo representar números en diferentes bases usando el método de divisiones sucesivas.
3) Describe la descomposición polinómica, que consiste en expresar un numeral como la suma de los valores posicionales de sus cifras.
Este documento explica el concepto de par ordenado y cómo ubicarlos en un plano cartesiano. Un par ordenado consiste en dos elementos donde el orden es importante, como (a, b). Estos puntos se representan en un plano cartesiano con la coordenada x en el eje horizontal y y en el eje vertical. Aunque a veces es fácil confundirse sobre qué número corresponde a cada eje, la práctica ayuda a mejorar en la correcta ubicación de pares ordenados.
Este documento describe las principales librerías de la biblioteca estándar de C++, incluyendo stdio.h, stdlib.h, string.h y time.h, y sus funciones clave para entrada/salida, conversión de tipos, manipulación de cadenas y manejo de fecha y hora. También cubre librerías como assert.h, ctype.h, errno.h, limits.h y math.h y sus macros y funciones para diagnóstico, comprobación de tipos, manejo de errores y operaciones matemáticas.
Los números racionales son números que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros y pertenecen al conjunto Q. Entre los números racionales se encuentran las fracciones, que dividen una cantidad entre otra, y los decimales, que son el resultado de una división inexacta. Las fracciones pueden ser propias, improprias, mixtas o aparentes.
Este documento presenta un resumen de las propiedades de los números reales. Introduce los diferentes conjuntos numéricos, incluyendo los números naturales, enteros, racionales, reales y complejos. Explica propiedades como la asociativa, conmutativa, distributiva, identidad e inversa para la suma y multiplicación. Además, ofrece ejemplos de cómo aplicar estas propiedades y simplificar expresiones.
Este documento explica los números naturales y las potencias. Define los números naturales como los números que se usan para contar elementos de un conjunto. Explica que las potencias son productos de factores iguales donde la base se multiplica por sí misma el número de veces indicado por el exponente. Describe las reglas para elevar números positivos y negativos a potencias, así como las reglas para multiplicar, dividir y elevar potencias a otras potencias.
El documento explica los números decimales. Se define que son aquellos números que tienen una parte inferior a la unidad escrita después de una coma. Un número decimal se compone de dos partes, la entera y la decimal, separadas por una coma. Se describen también las unidades decimales como la décima, centésima y milésima. Finalmente, se explican operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división con números decimales.
Este documento describe los pasos para factorizar una expresión usando la diferencia de cuadrados. Explica que primero se identifican los términos con la misma base y se agrupan. Luego se factoriza cada grupo como la suma o resta de dos binomios. Finalmente, se comprueba el resultado factorizado cancelando términos iguales con signos opuestos.
Las palabras reservadas en C++ son identificadores predefinidos con significados especiales que no pueden usarse como nombres de variables u otros identificadores, excepto con el prefijo @. Algunas palabras clave comunes incluyen class, int, float, if, else, while, do, for, switch, case, default, void, enum, struct, union, typedef, const, volatile, static, extern, auto, register, sizeof, break y continue.
Este documento describe los diferentes tipos de números reales e incluye las siguientes definiciones clave:
1) Los números reales (R) son la unión de los números racionales e irracionales.
2) Los números irracionales tienen expresiones decimales infinitas no periódicas.
3) Los números racionales pueden expresarse como fracciones de números enteros.
Este documento presenta ejercicios resueltos sobre números decimales. Incluye conversiones entre expresiones decimales y su lectura, determinación de unidades, décimas, centésimas y milésimas, comparación y ordenación de números decimales, y representación en la recta numérica. Los ejercicios cubren conceptos básicos de números decimales como adición, sustracción y comparación de valores decimales.
Este documento explica las potencias y sus propiedades. Define la potenciación como multiplicar un número por sí mismo varias veces y presenta la notación exponencial. Luego, detalla seis propiedades clave de las potencias: 1) cualquier número elevado a la potencia cero es igual a uno; 2) elevado a la potencia uno es igual a sí mismo; 3) el producto de potencias de la misma base es la suma de los exponentes; 4) dividir potencias de la misma base es restar los exponentes; 5) elevar una potencia a un exponente es multiplicar los exponent
El documento habla sobre la proporcionalidad inversa, donde cuando la variable independiente aumenta, la variable dependiente disminuye en la misma proporción, y viceversa. Explica que para resolver ejercicios de proporcionalidad inversa se puede usar la razón de proporcionalidad o una regla de tres. También define brevemente la proporcionalidad directa.
Este documento presenta información sobre gráficas de ecuaciones lineales. Define conceptos como función lineal, pendiente, dominio y contradominio. Explica que una ecuación lineal representa una recta en el plano de coordenadas y da ejemplos de ecuaciones lineales horizontales y verticales. Concluye que las ecuaciones lineales tienen aplicaciones significativas para entender fenómenos del mundo real.
Este documento describe las propiedades y operaciones básicas con números enteros, incluyendo la suma, resta, multiplicación, división, opuestos, valor absoluto, potencias y raíz cuadrada. Explica las reglas y prioridades para realizar operaciones combinadas con números enteros.
1) El documento introduce expresiones algebraicas y monomios. 2) Explica cómo se suman, restan, multiplican y dividen monomios. 3) Incluye ejercicios para practicar estas operaciones con monomios.
El documento describe los diferentes tipos de números reales, incluyendo números naturales, enteros, racionales e irracionales. Explica que los números reales (R) son la unión de los números racionales (Q) e irracionales (I). También define las operaciones básicas como suma y multiplicación en R y sus propiedades.
Clasificación de los numeros naturales.pptxSamyPRJ
El documento presenta una introducción a los sistemas numéricos que conforman los números reales, incluyendo números naturales, enteros, racionales e irracionales. Explica las propiedades de las operaciones básicas de suma y multiplicación sobre estos conjuntos numéricos. También define la resta como una suma y la división como una multiplicación.
Este documento describe los diferentes tipos de números reales, incluyendo números naturales, enteros, racionales e irracionales. Explica que los números naturales (N) son los números de conteo y están contenidos en los enteros (Z), los cuales incluyen también los números negativos. Los racionales (Q) son aquellos que pueden escribirse como fracciones de enteros, mientras que los irracionales (I) no pueden. Finalmente, los reales (R) son la unión de racionales e irracionales.
Este documento presenta una clasificación y descripción general de los diferentes tipos de números, incluyendo números naturales, enteros, racionales, irracionales, reales y complejos. Explica sus propiedades y cómo realizar operaciones básicas con ellos, como suma, resta, multiplicación, división y potenciación. También cubre el orden de las operaciones y las leyes de los exponentes.
Este documento explica conceptos básicos sobre los números reales, incluyendo que los números reales son la unión de los números racionales e irracionales, las propiedades de los cuerpos, la representación en la recta numérica, operaciones con fracciones y más. Se definen términos como MCM, MCD y se explican reglas de multiplicidad y divisibilidad. También incluye ejemplos de cómo resolver operaciones con fracciones y comprobar la veracidad de proposiciones sobre números reales.
Este documento presenta los diferentes conjuntos de números que conforman el conjunto de los números reales, incluyendo los números naturales, enteros, racionales e irracionales. También describe las propiedades básicas de los números reales como la cerradura, conmutatividad, asociatividad y distributividad. Finalmente, explica conceptos como exponentes, radicales, operaciones con números reales y gráficos de funciones potenciales.
Este documento presenta los fundamentos de álgebra, incluyendo los diferentes tipos de números reales como racionales, enteros, naturales e irracionales, así como sus propiedades y operaciones. También cubre exponentes, factorización, fracciones algebraicas, ecuaciones lineales y cuadráticas, y desigualdades y sus aplicaciones.
Definición y Clasificación de los Números Complejos.pptxAlejoRomero22
El documento describe los números complejos, incluyendo su definición como números con partes reales e imaginarias de la forma a + bi. Explica que el conjunto de todos los números complejos se denota como C. También clasifica los números complejos como reales, puramente imaginarios o nulos, y define conceptos como conjugados y opuestos. Finalmente, proporciona ejemplos para que los estudiantes practiquen reconocer diferentes tipos de números complejos.
El documento proporciona un resumen sobre los números y las operaciones matemáticas fundamentales como la suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíces. Explica los diferentes tipos de números como naturales, enteros, racionales, irracionales y complejos, así como conceptos como aproximaciones, logaritmos y álgebra elemental incluyendo productos notables y factorización.
Este documento presenta una introducción a las matemáticas discretas. Se define que las matemáticas discretas tratan sobre sistemas finitos y números enteros. Se dividen en dos módulos principales: números enteros y funciones y conteo. El documento explica conceptos básicos como propiedades de los números enteros, orden, divisibilidad y números primos.
1) Los conjuntos numéricos son agrupaciones de números que comparten características comunes como admitir operaciones y relaciones. 2) Los conjuntos numéricos más comunes son los naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. 3) Cada conjunto numérico se construye sobre la base del anterior y añadiendo nuevas propiedades.
1) Los números reales incluyen números racionales como fracciones y números irracionales como raíces cuadradas y trascendentes con decimales infinitos no periódicos.
2) Se presentan ejemplos de números reales, racionales e irracionales y se explican los conjuntos numéricos N, Z, Q, I, R.
3) Se describen las propiedades fundamentales de los números reales como asociatividad, conmutatividad, identidad y distribución.
Este documento presenta información sobre números reales. Explica cómo resolver problemas utilizando propiedades de números reales y sus relaciones y operaciones. También cubre temas como representaciones de números reales, términos, valor absoluto, tablas de multiplicar, leyes de signos para suma y multiplicación, y fracciones.
Este documento presenta información sobre números reales. Explica cómo resolver problemas utilizando propiedades de números reales y sus relaciones y operaciones. También cubre temas como representaciones de números reales, términos, valor absoluto, tablas de multiplicar, leyes de signos para suma y multiplicación, y fracciones.
Resumen de los numeros naturales unidad2 lornaandresmil
Este documento describe los números naturales. Explica que los números naturales son los números que usamos para contar, como uno, dos, tres, etc. También define algunos tipos básicos de números como los números fraccionarios, los números decimales y los números negativos, los cuales no son considerados números naturales. Finalmente, da la representación del conjunto de los números naturales como N = {1, 2, 3, 4, ...}.
Este documento trata sobre los números naturales y enteros. Explica los sistemas de numeración utilizados por diferentes culturas a lo largo de la historia y describe nuestro sistema decimal posicional. Define los números naturales como los números positivos y explica algunas de sus propiedades como la divisibilidad y los criterios para determinar si un número es divisible por otros. También introduce los números enteros y describe sus propiedades al realizar operaciones como la suma, resta, multiplicación y división.
Este documento presenta información sobre el álgebra, incluyendo definiciones de conjuntos numéricos, propiedades de los números reales, exponentes y radicales, expresiones algebraicas, ecuaciones y productos notables. El objetivo general es recopilar información sobre cada tema para servir como guía de estudio, y los objetivos específicos son elaborar un portafolio estudiantil y trabajar en grupo para recolectar la información.
Numeros enteros juan pablo pantoja juan pablo mamian EXPLICACION SOBRE ESTE...juanpabloauywqie37e
El documento trata sobre los números enteros. Explica que los números enteros incluyen tanto los números naturales como sus opuestos negativos y cero. También describe las operaciones básicas con números enteros como la suma, resta, multiplicación y división, así como algunas de sus propiedades fundamentales como la regla de los signos.
La empresa FRESALICIOUS ALISIS.A mantiene un sistema de costos por órdenes de producción. Produjo 100 unidades del Artículo A a un costo total de $500, utilizando materias primas por $197.5, mano de obra directa de $150 y costos indirectos de $125. Vendió 150 unidades del Artículo A por $225. Aplica los costos indirectos al final del período y mantiene una sola cuenta de producción en proceso.
El documento proporciona información sobre diferentes índices económicos como el índice de precios al consumidor, el índice de precios al productor, el Dow Jones Industrial Average, el S&P 500 y cómo se calculan y utilizan. Explica que los índices miden la variación de precios de bienes y servicios representativos para medir la inflación, deflactar series de datos, estimar el costo de vida y otras aplicaciones.
Este documento discute las desigualdades de género en el Ecuador, incluyendo disparidades en el acceso al mercado laboral, remuneraciones y carga de trabajo entre hombres y mujeres. Señala que las mujeres dedican más tiempo al trabajo doméstico y de cuidado que no es remunerado, y tienen menores tasas de participación en la economía. El documento propone una transición hacia un sistema económico social y solidario que reconozca y promueva la economía popular y solidaria, con políticas públicas enfocadas en lograr la igualdad de g
Este documento presenta conceptos estadísticos como puntuaciones z, desviación estándar, media y teoremas relacionados con la distribución de datos. Explica cómo calcular puntuaciones z para determinar la posición de valores individuales dentro de una distribución de datos. También resume el Teorema de Chebyshev y la regla empírica para estimar la proporción de datos que se encuentran dentro de un rango de desviaciones estándar de la media. Finalmente, presenta ejemplos numéricos para ilustrar estos conceptos.
El documento describe el mercado de valores y los tipos de valores negociables que se negocian en él. El mercado de valores permite la canalización de capital a mediano y largo plazo de inversores a usuarios a través de la compra y venta de valores como acciones, bonos, obligaciones, fondos de inversión y otros instrumentos financieros. El documento también explica la estructura accionarial típica de una compañía como la Red Eléctrica de España, que tiene un 20% de acciones en manos del estado y el 80% restante cotizado
vehiculo importado desde pais extrajero contien documentos respaldados como ser la factura comercial de importacion un seguro y demas tambien indica la partida arancelaria que deb contener este vehículo 3. La importadora PARISBOL TRUCK IMPORT SOCIEDAD DE RESPONSABILIDAD LIMITADA perteneciente a Bolivia, trae desde CHILE , un vehículo Automóvil con un número de ruedas de 6 Número del chasis YV2RT40A0HB828781 De clase tractocamión, con dos puertas . El precio es de 35231,46 dólares, la importadora tiene los siguientes datos para el cálculo de sus costos:
• Flete de $ 1500 por contenedor
• El deducible es de 10 % de la SA y la prima neta de 0.02% de la SA
• ARANCEL DE IMPORTACIÓN 20% • ALMACÉN ADUANERO 1.5%
• DESPACHO ADUANERO 2.1%
• IVA 14.94%
• PERCEPCIÓN 0.3%
• OTROS GASTOS DE IMPORTACIÓN $US
• Derecho de emisión 4.20
• Handling 58 • Descarga 69
• Servicios aduana 30
• Movilización de carga 70.10
• Transporte interno 150
• Gastos operativos 70
• Otros gastos 100 • Comisión agente de 0.05% CIF
GASTOS FINANCIEROS o GASTOS APERTURA DE L/C (0.3 % FOB) o Intereses proveedor $ 1050 CALULAR:
i) El valor FOB
j) hallar la suma asegurada de la mercancía y la prima neta que se debe pagar a la compañía aseguradora, y el valor CIF
k) El total de derechos e impuestos
l) El costo total de importación y el factor
m) El costo unitario de importación de cada alfombra en $us y Bs. (tipo de cambio: Bs.6.85)
El crédito y los seguros como parte de la educación financieraMarcoMolina87
El crédito y los seguros, son temas importantes para desarrollar en la ciudadanía capacidades que le permita identificar su capacidad de endeudamiento, los derechos y las obligaciones que adquiere al obtener un crédito y conocer cuáles son las formas de asegurar su inversión.
La Comisión europea informa sobre el progreso social en la UE.ManfredNolte
Bruselas confirma que el progreso social varía notablemente entre las regiones de la Unión Europea, y que los países nórdicos tienen un desempeño consistentemente mejor que el resto de los Estados miembros.
2. Números reales
Evolución histórica de los números.
Videos introductorios
https://www.youtube.com/watch?v=BFXIcbLmcOc https://www.youtube.com/watch?v=IQK4mKYFCs8
3. • Números Naturales: Su símbolo es ℕ , y son los números que nos sirven
para contar 1,2,3,…, .
• Números Enteros: Su símbolo es ℤ y está formado por los números
naturales y por sus negativos, que son sus inversos aditivos.
ℤ = {… , −2, −1,0,1,2, … }
• Números Racionales: Su símbolo es ℚ, y es el conjunto de todos los
números que se pueden escribir como el cociente entre dos números
enteros.
ℚ = {
𝑝
𝑞
: 𝑝, 𝑞𝜖ℤ, 𝑞 ≠ 0}
• Números Irracionales: Su símbolo es Ι, y es el conjunto de todos los
números que no se pueden escribir como la razón entre dos enteros.
• Número Reales: Su símbolo es ℝ y es el conjunto que resulta de la
unión de los números Racionales con los números Irracionales.
4. Sistemas numéricos que conforman los
números reales (naturales, enteros, racionales irracionales)
Números
Naturales:
Su símbolo es
ℕ , y son los
números que nos
sirven para
contar 1,2,3,…, .
Números
Enteros:
Su símbolo es ℤ y
está formado por
los números
naturales y por sus
negativos
ℤ =
{… , −2, −1,0,1,2, … }
Números
Racionales:
su símbolo es ℚ, y es el
conjunto de todos los
números que se pueden
escribir como el cociente
entre dos números
enteros.
Esto es ℚ =
{
𝑝
𝑞
: 𝑝, 𝑞𝜖ℤ, 𝑞 ≠ 0}
Números
Irracionales:
su símbolo es Ι, y es el
conjunto de todos los
números que no se
pueden escribir como
la razón entre dos
enteros.
Número
Reales:
su símbolo es ℝ y es el
conjunto que resulta de
la unión de los números
Racionales con los
números irracionales.
Note que: ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ
𝕀 ⊆ ℝ
⊆ ⊆ ⊆
⊆
5. NÚMEROS NATURALES
Su símbolo es ℕ , y son los números que nos sirven para contar
1,2,3,…, .
• Tomaremos en 0 como un número Natural.
• Hay ecuaciones que NO se pueden solucionar en el conjunto de los
números naturales, como por ejemplo:
5 + 𝑥 = 2
La solución es 𝑥 = −3 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠
6. NÚMEROS ENTEROS
Su símbolo es ℤ y está formado por los números naturales y
por sus negativos, que son sus inversos aditivos.
ℤ = {… − 3, −2, −1,0,1,2,3 … }
• ℕ ⊆ ℤ
• Hay ecuaciones que NO se pueden solucionar en el conjunto de los
números enteros, como por ejemplo:
5𝑥 = 1
La solución es 𝑥 =
1
5
𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠
7. NÚMEROS RACIONALES
• Su símbolo es ℚ, y es el conjunto de todos los números que se
pueden escribir como el cociente entre dos números enteros.
ℚ = {
𝑝
𝑞
: 𝑝, 𝑞𝜖ℤ, 𝑞 ≠ 0}
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠:
1
2
,
−3
4
,
1
5
,-2, etc
ℤ ⊆ ℚ, por ejemplo 5 =
5
1
∈ ℚ
Hay ecuaciones que NO se pueden solucionar en el conjunto de los números
naturales, como por ejemplo:
𝑥2
= 2
La solución es 𝑥 = ± 2 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑜𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠
8. NÚMEROS IRRACIONALES
• Su símbolo es 𝕀, y es el conjunto de todos los números que
NO se pueden escribir como la razón entre dos enteros.
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 2 surge al buscar la medida de la hipotenusa de un
triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1.
Otros números irracionales son por ejemplo:
𝜋, 𝑒, 𝑝 𝑐𝑜𝑛 𝑝 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜.
1
1
2
9. EXPANSIÓN DECIMAL
Todo número real 𝑥 se puede expresar como un número decimal esto
es:
𝑥 = 𝑎, 𝑎1𝑎2𝑎3 … = 𝑎 +
𝑎1
10
+
𝑎2
100
+
𝑎3
1000
+ ⋯
Ejemplos:
1
2
= 0,5
𝜋 = 3,141592 …
10
3
= 3,3333 … = 3, 3
NUMEROS RACIONALES: TIENEN UNA EXPANSIÓN DECIMAL FINITA O
INFINITA PERIÓDICA
NUMEROS IRRACIONALES: TIENEN UNA EXPANSIÓN DECIMAL INFINITA
Y NO PERIÓDICA.
10.
11.
12.
13. • Actividad Interactiva
Clasifique los siguientes números según el conjunto al cual
pertenecen.
2, −3, 3,
4
2
, 𝑒,
−𝜋
10
, 3,1416,
9
4
ℕ
ℤ
ℚ
𝕀
ℝ
14. • Retroalimentación
Clasifique los siguientes números según el conjunto al cual
pertenecen.
2, −3, 3,
4
2
, 𝑒,
−𝜋
10
, 3,1416,
9
4
−𝜋
10
9
4
9
4
−3
2
4
2
ℕ
ℤ
ℚ
𝕀
ℝ
−3
3
𝑒
3,1416
9
4
15. Sobre el conjunto de los números reales se definen dos
operaciones: una suma y una multiplicación, ambas operaciones
binarias.
EJEMPLO
Operaciones de Suma y Multiplicación.
×: ℝ × ℝ → ℝ
(𝑎, 𝑏) → 𝑎 × 𝑏
+: ℝ × ℝ → ℝ
𝑎, 𝑏 → 𝑎 + 𝑏
2, −3 → 2 + −3 = −1 2, −3 → 2 × −3 = −6
16. • PROPIEDADES DE LA SUMA Y LA MULTIPLICACIÓN.
PROPIEDAD SUMA MULTIPLICACIÓN
Clausurativa 𝑎 + 𝑏𝜖ℝ 𝑎 × 𝑏𝜖 ℝ
Conmutativa 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 𝑎 × 𝑏 = 𝑏 × 𝑎
Asociativa 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) 𝑎 × 𝑏 × 𝑐 = 𝑎 × (𝑏 × 𝑐)
Modulativa 0 es el módulo para la suma
𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎
1 es el módulo para la
multiplicación
𝑎 × 1 = 1 × 𝑎 = 𝑎
Invertiva El inverso aditivo de 𝑎 es −𝑎
𝑎 + −𝑎 = 0
El inverso multiplicativo de
𝑎 es
1
𝑎
𝑎 ×
1
𝑎
= 1 𝑠𝑖 𝑎 ≠ 0
EL 0 no tiene inverso.
Propiedad
distributiva
El producto distribuye con respecto a la suma.
𝑎 × 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 × 𝑏 + 𝑎 × 𝑐
Si 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, entonces:
17. • Las anteriores propiedades son las leyes, las reglas, las normas que
gobiernan el conjunto de los números reales.
• Tener una buena conceptualización de ellas ayudará a no cometer
errores de tipo algebraico.
𝑥+5
𝑥
= 5 𝑜 (𝑎 + 𝑏)2
= 𝑎2
+ 𝑏2
• A partir de ellas se pueden demostrar más propiedades de los
números reales. Por ejemplo a partir de ellas se puede mostrar que
todo número multiplicado por 0 es igual a 0.
NOO!!!
https://sites.google.com/site/calculofesacatlan/unidad-1-los-numeros-reales/1-1-
axiomas-de-campo-y-axiomas-de-orden
18. A partir de ellas se pueden demostrar más propiedades de los números
reales. Por ejemplo a partir de ellas se puede mostrar que todo número
multiplicado por 0 es igual a 0.
Veamos:
Teorema: 𝑆𝑖 𝑎 𝜖 ℝ 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 ∙ 0 = 0
Demostración:
𝑎 ∙ 0 = 𝑎 ⋅ 0 + 0 Propiedad Modulativa
𝑎 ∙ 0 = 𝑎 ⋅ 0 + 0 = 𝑎 ∙ 0 + 𝑎 ∙ 0 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣a
𝑎 ∙ 0 + −𝑎 ∙ 0 = 𝑎 ∙ 0 + 𝑎 ∙ 0 + −𝑎 ∙ 0 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑣𝑎
0 = 𝑎 ∙ 0 + (𝑎 ∙ 0 + −𝑎 ∙ 0 ) 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎
0 = 𝑎 ∙ 0 + 0 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑣𝑎
0 = 𝑎 ∙0 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑀𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎
19. • Actividad Interactiva
Para cada una de las siguientes expresiones mencione la propiedad
de los número reales que se usa:
EXPRESIÓN PROPIEDAD
𝑥 + 8 = 8 + 𝑥
2 𝑦 − 3 = 𝑦 − 3 2
7 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 7 𝑎 + 𝑏 + 7𝑐
𝜋
5
∙
1
𝜋
5
= 1
𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑏 = 𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑥 + 𝑎 𝑏
21. • La sustracción o resta es una suma y la división es una
multiplicación.
Dados 𝑎 𝑦 𝑏 números reales:
• La resta se define como: 𝑎 − 𝑏 ≔ 𝑎 + (−𝑏)
Es decir 𝑎 − 𝑏 se define como 𝑎 más el inverso aditivo de 𝑏
• Y la división se define como: 𝑎 ÷ 𝑏 ≔ 𝑎 ×
1
𝑏
Es decir 𝑎 ÷ 𝑏 se define como 𝑎 multiplicado por el inverso
multiplicativo de 𝑏
¡Ahora es claro no se puede dividir entre 0 porque 0 no tiene
inverso multiplicativo.!
Sustracción y división
25. Términos de una fracción
• Los términos de una fracción son el
numerador y el denominador.
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟
𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟
Fracción
Es el número de
partes que se
tiene
Es el número de
partes iguales en
que se ha dividido la
unidad
1
2
2
4
3
6
4
8
5
10
6
12
7
14
7
14
Operaciones con fracciones
26. Las fracciones se leen teniendo en cuenta lo siguiente:
El numerador se lee con
los números cardinales.
• Ejemplo: 1 – un, 2 – dos, 3 – tres, …, 10 – diez,
…, 24 – veinticuatro…
El denominador se lee con los números
partitivos.
• Ejemplo: 2 – medios, 3 – tercios, 4 – cuartos, 5 –
quintos, 6 – sextos, 7 – séptimos, 8 – octavos, 9
– novenos, 10 – décimos. A partir del 11, el
número se lee terminado en -avos: 11 –
onceavos, 12 – doceavos, …
27. Suma y resta de fracciones del mismo denominador
• Para sumar fracciones del mismo denominador, se
suman los numeradores y se deja el mismo
denominador.
𝑎
𝑑
+
𝑏
𝑑
=
𝑎 + 𝑏
𝑑
• Ejemplo:
• Para restar fracciones del mismo denominador, se
restan los numeradores y se deja el mismo
denominador.
𝑎
𝑐
−
𝑏
𝑐
=
𝑎 − 𝑏
𝑐
Ejemplo:
Ejemplos
explicados
Tomado de
https://planetapi.es/2014/07/25/figuras-y-fracciones/
28. Reducción de fracciones a común denominador
por el método de los productos cruzados
• Se multiplican el numerador y el denominador de cada fracción por
el producto de los denominadores de las demás.
• Considerando las siguientes fracciones:
𝑎
𝑎′
,
𝑏
𝑏′
,
𝑐
𝑐′
• Se reduce a común denominador las fracciones:
𝑎
𝑎′
=
𝑎 ∙ 𝑏′ ∙ 𝑐′
𝑎′ ∙ 𝑏′ ∙ 𝑐′
;
𝑏
𝑏′
=
𝑏 ∙ 𝑎′ ∙ 𝑐′
𝑎′ ∙ 𝑏′ ∙ 𝑐′
;
𝑐
𝑐′
=
𝑐 ∙ 𝑎′ ∙ 𝑏′
𝑎′ ∙ 𝑏′ ∙ 𝑐′
• Las fracciones buscadas a sumar que ahora tienen el mismo
denominador son:
𝑥
𝑑′
;
𝑦
𝑑′
;
𝑧
𝑑′
Ejemplos explicados
Tomado de
https://planetapi.es/2014/07/25/figuras-y-fracciones/
29. Reducción de fracciones a común denominador
por el método del mínimo común múltiplo
1. Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores, y ese valor es
el denominador común de todas las fracciones.
2. Se divide el mínimo común múltiplo por el denominador de cada fracción y
el cociente obtenido se multiplica por el numerador.
• Considerando las siguientes fracciones:
𝑎
𝑎′
,
𝑏
𝑏′
,
𝑐
𝑐′
m.c.m 𝑎′
, 𝑏′
, 𝑐′ = 𝑑
𝑎
𝑎′
=
𝑎 ∙ 𝑥
𝑑
=
𝑚
𝑑
;
𝑏
𝑏′
=
𝑏 ∙ 𝑦
𝑑
=
𝑛
𝑑
;
𝑐
𝑐′
=
𝑐 ∙ 𝑧
𝑑
=
ñ
𝑑
Donde x, y y z representa el número multiplicado para encontrar el m.c.m
Las fracciones buscadas son:
𝑚
𝑑
,
𝑛
𝑑
;
ñ
𝑑
Ejemplos explicados
30. Suma y resta de fracciones de distinto
denominador
• Para sumar fracciones de distinto denominador, se reducen
las fracciones a común denominador; después se suman los
numeradores y se deja el mismo denominador.
• Ejemplo:
• Para restar fracciones de distinto denominador, se reducen
las fracciones a común denominador; después se restan los
numeradores y se deja el mismo denominador:
• Ejemplo:
31. Multiplicación de fracciones
• El producto de dos o más fracciones es otra fracción cuyo
numerador es el producto de los numeradores y cuyo
denominador es el producto de los denominadores.
Considerando:
𝑎
𝑎′
∙
𝑏
𝑏′
=
𝑎 ∙ 𝑏
𝑎′ ∙ 𝑏′
=
𝑑
𝑑′
Ejemplo
4
5
∙
2
3
∙
1
4
=
4 ∙ 2 ∙ 1
5 ∙ 3 ∙ 4
=
8
60
32. División de fracciones
Ejemplo:
Para dividir una fracción
𝑎
𝑏
por otra fracción
𝑐
𝑑
, se multiplica la
fracción
𝑎
𝑏
por la fracción inversa de
𝑐
𝑑
, ó se multiplican en
cruz los términos de las fracciones.
Considerando:
𝑎
𝑎′ ÷
𝑏
𝑏′ =
𝑎 ∙ 𝑏′
𝑎′∙ 𝑏
4
5
÷
3
8
=
4 ∙ 8
5 ∙ 3
=
32
15
33. Ejercicio
• Resuelva el siguiente problema:
• Un comerciante tiene 120 kilos de café. Ha envasado 40
bolsas de ½ de kilo cada una, 28 bolsas de 3/4 de kilo cada
una y 20 bolsas de3/2 de kilo cada una. Calcula:
a) Los kilos de café que ha empleado para envasar las bolsas
de 1/2 de kilo.
b) Los kilos de café que ha empleado para envasar las bolsas
de 3/4 de kilo.
c) Los kilos de café que ha empleado para envasar las bolsas
de 3/2 de kilo.
d) El número de kilos de café que le quedan todavía por
envasar.
• Ejercicios interactivos
Operaciones con fracciones
34. Retroalimentación
a) 40 ×
1
2
= 20 kg se emplearon para llenar las 40 bolsas de ½ kg
b) 28 ×
3
4
= 21 kg se emplearon para llenar las 28 bolsas de ¾ kg
c) 20 ×
3
2
= 30 kg se emplearon para llenar las 20 bolsas de 3/2 kg
d) 120 Kg − 20 + 21 + 30 = 49 kg hacen falta por envasar
35. POTENCIACIÓN.
SE DESARROLLAN LOS TEMAS
2.1.1 Exponentes enteros (negativos y positivos)
2.1.2 Leyes de los exponentes
2.1.3 Simplificación de expresiones con exponentes (ejemplos)
EN EL VIDEO:
https://www.youtube.com/watch?v=K4CP0jHIpY4&feature=youtu.be
37. Se dice que un número positivo 𝑥 está escrito en notación
científica si se expresa de la siguiente forma:
𝑥 = 𝒂 × 𝟏𝟎𝒏 donde 1 ≤ 𝒂 < 10 𝑦 𝒏 es un entero
Ejemplos:
4,76x10-34
Tomado de
http://reyquirarezas.blogspot.com/2012/01/10-
caritas-felices.html
38. La notación científica se usa cuando se requiere expresar grandes o
pequeñas cantidades, escribiendo las cantidades en potencia de
base 10.
sí un número se eleva a una potencia, dicha potencia indica el
número de veces que dicho número se multiplica por sí mismo:
𝑎𝑛 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ … ∙ 𝑎 𝑛 veces
El caso de la potencia 10, siempre será el 10 el que se eleva a una
potencia, el exponente puede ser positivo o negativo, con lo que se
pueden generalizar el uso de la potencia.
10𝑛
Potencia en base 10
Exponente
Potencia positiva Potencia negativa
Indica el número de veces que se
multiplica el 10 por sí mismo.
Indica el número de veces que se
divide el número 1 entre 10 elevado
a la misma potencia pero positiva.
39. CASO POTENCIA POSITIVA POTENCIA NEGATIVA
Descripción Elevar 10 a una potencia
positiva es igual a recorrer
hacia la derecha el punto
decimal después del Número
1, de acuerdo al número de
veces que indique la
potencia.
Elevar 10 a una potencia
negativa es igual a recorrer
hacia la izquierda el punto
decimal después del número 1,
de acuerdo al número de veces
que indique la potencia.
Ejemplo 10000000 = 106 10−6 = 0,000001
40. EJEMPLO DE APLICACIÓN
• Número de Avogadro: 6,023x1023 Es el número de átomos o moléculas
que hay en un mol, que se basa en el número de átomos que contienen 12 g
de Carbono-12. El Carbono es la unidad patrón que se emplea actualmente.
El número de Avogadro es de vital importancia en la química porque
define una unidad que siempre se utiliza en la estequiometría (cálculo de
las relaciones cuantitativas entre reactivos y productos en el transcurso de
una reacción química): el mol.
También sirve para calcular en química mas avanzada, datos tales como la
masa de un átomo concreto, la masa de una molécula aislada, o para
contabilizar moléculas totales en una masa dada de una sustancia.
¿Cuantos átomos hay en 2,3 moles de cloruro de sodio, NaCl?
2,3 𝑚𝑜𝑙 𝑁𝑎𝐶𝑙 ∗
6,023𝑥1023
𝑚𝑜𝑙é𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠
1𝑚𝑜𝑙 𝑁𝑎𝐶𝑙
= 1,385𝑥1024
En este caso, la notación científica permite expresar cantidades tan
grandes de partículas tan pequeñas, como las moléculas de NaCl.
Tomado de
https://sites.google.com/site/operacionespasivasfinanci
eras/2-preguntas
41. ¡Practica!
Ejercicios de escritura en notación científica
https://es.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-
algebra-scientific-notation/e/scientific_notation
43. RADICACIÓN
La radicación es una operación inversa de la potenciación, cuyo
objetivo es encontrar la base de la potencia conociendo la potencia y
el exponente.
Notación
• El símbolo
𝑛
, se conoce como radical.
• La raíz cuadrada de un número 𝑎 , se representa por 𝑎.
• De forma general, la raíz n-ésima de 𝑎 (radicando) se representa por
𝑛
𝑎.
• El índice 𝑛, es un número natural, 𝑛 ≥ 2. En el caso de 𝑛 = 2, raíz
cuadrada, no se escribe.
Radicando
Índice 𝑛
𝑎
44. Definición
• En general la raíz cuadrada de un número no negativo 𝑎 , es un
número no negativo 𝑏 tal que al elevar 𝑏 al cuadrado se obtiene 𝑎.
• 𝑎 = 𝑏 Sí y sólo si 𝑏2 = 𝑎
• Por eso se dice que la operación elevar al cuadrado, es la operación
inversa de la raíz cuadrada.
• Ejemplos:
• 9 = 3 Porque 32
= 9
• 16 = 4 Porque 42
= 16
• 81 = 9 Porque 92
= 81
45. Definición
• La raíz n-ésima de un número no negativo 𝑎, es un número no
negativo 𝑏 tal que
• 𝑛
𝑎 = 𝑏 Sí y sólo si 𝑏𝑛 = 𝑎
•
• Ejemplos:
•
3
27 = 3 Porque 33
= 27
•
4
16 = 2 Porque 24 = 16
•
3
−64 = −4 Porque (−4)3
= −64
•
5
−32 = −2 Porque (−2)5
= −32
• −4 = no es un número real, ya que ningún número real elevado
al cuadrado puede ser negativo
46. Propiedades
• Raíz de un producto
• El producto de raíces de igual índice es igual a la raíz del producto.
• Si 𝑛
𝑎 ℝ y
𝑛
𝑏 ℝ entonces, 𝑛
𝑎
𝑛
𝑏 =
𝑛
𝑎𝑏
• Ejemplos:
9 16 = 916 = 144
•
3
27
3
2 =
3
272 =
3
54
5
𝑥𝑦𝑧= 5
𝑥 5
𝑦 5
𝑧
7
2𝑎2𝑏5𝑐4=
7
2
7
𝑎2 7
𝑏5 7
𝑐4
47. Propiedades
Raíz de un Cociente
• La raíz de un cociente es igual al cociente de sus raíces
• Si 𝑛
𝑎 ℝ y
𝑛
𝑏 ℝ entonces,
𝑛 𝑎
𝑏
=
𝑛
𝑎
𝑛
𝑏
• Ejemplos:
•
2
3
=
2
3
•
3 𝑎2
𝑏5 =
3
𝑎2
3
𝑏5
•
7
𝑥2
7
𝑦4
=
7 𝑥2
𝑦4
48. Propiedades
Raíz de una raíz
• La raíz n-ésima de la raíz m-ésima de 𝑎 es:
•
𝑛 𝑚
𝑎 = 𝑛∙𝑚
𝑎
• Se multiplican los índices.
• Ejemplos:
•
3
8 =
2∙3
8 =
6
8
•
5 3
𝑎 = 2∙5∙3
𝑎 = 30
𝑎
49. Propiedades
Potencia de una raíz
• La potencia 𝑚 de una raíz n-ésima de una de 𝑎 es:
• 𝑛
𝑎 𝑚 =
𝑛
𝑎𝑚 = 𝑎
𝑚
𝑛
• Para calcular la potencia de una raíz se eleva el radicando 𝑎, a la
potencia 𝑚.
• Ejemplos:
• 2
3
= 23 = 2
3
2
• 4
𝑥 7
=
4
𝑥7 = 𝑥
7
4
• 3
𝑦
6
=
3
𝑥6 = 𝑥
6
3= 𝑥2
50. Sumas o restas en el radicando
• Cuando se tiene una suma o una resta en un radicando, hay primero
que efectuar la operación de suma o resta, para luego llevar a cabo la
radicación. Esto se debe a que:
•
𝑛
𝑎 + 𝑏 ≠ 𝑛
𝑎 +
𝑛
𝑏
• Ejemplo
• Es suficiente un contraejemplo para demostrarlo:
4 + 4 ≠ 4 + 4
8 ≠ 2 + 2
2,82 ≠ 4
• Lo mismo ocurre con la resta y con radicales de otros índices.
Propiedades que no se tienen
51. Radicales semejantes (equivalentes)
• Se dice que dos radicales son semejantes si tienen el mismo índice y
el mismo radicando.
• 𝑝𝑛
𝑎 es semejante a 𝑞𝑛
𝑎
• Para todo 𝑝 y 𝑞
• Ejemplos
• 3 6 es semejante a 7 6
• -5
3
8 es semejante a 4
3
8
• 31
4
3𝑥2𝑦 es equivalente a − 23
4
3𝑥2𝑦
Operaciones entre radicales
52. Sumar o restar entre radicales semejantes
• Dos o mas radicales semejantes se pueden combinar, esto es, se pueden
sumar o restar.
• 𝑝𝑛
𝑎 + 𝑞𝑛
𝑎 = (𝑝 + 𝑞)𝑛
𝑎
• Para todo 𝑛 y para todo 𝑝 y 𝑞.
• Ejemplos
• 3 6 + 7 6 = 3 + 7 6 = 10 6
• 4
3
8 − 5
3
8 = (4 − 5)
3
8 = −
3
8
• 31
4
3𝑥2𝑦 + 23
4
3𝑥2𝑦 = 31 + 23
4
3𝑥2𝑦 = 54
4
3𝑥2𝑦
• 3 6 + 4
3
8 + 7 6 − 5
3
8 = 3 6 + 7 6 + 4
3
8 − 5
3
8
= 3 + 7 6 +(4 − 5)
3
8
= 10 6 − 1
3
8
Operaciones entre radicales
53. Simplificación de radicales
• En ocasiones es posible descomponer un radicando como el producto
de otros números de manera que alguno de los factores sea una raíz
exacta y por ende pueda salir del radical, esto es, se pueda extraerse
la raíz. Para simplificar un radical, se debe factorizar el radicando de
manera que alguno de los factores sea una raíz perfecta
• Ejemplos
• 20 = 4 ∙ 5 = 4 ∙ 5 = 2 ∙ 5
•
3
32 =
3
4 ∙ 8 =
3
8 ∙
3
4 = 2 ∙
3
4
• 300 = 3 ∙ 100 = 3 ∙ 100 = 10 3
• 720 = 36 ∙ 20 = 36 ∙ 4 ∙ 5 = 36 ∙ 4 ∙ 5 = 6 ∙ 2 5 = 12 5
Operaciones entre radicales
54. Suma y resta de radicales
• La suma o la resta de radicales consiste en sumar (o restar) los
radicales semejantes. De esta forma es necesario simplificar los antes
de realizar la operación.
• Ejemplos
• 720 − 2 20 = 12 5 − 4 5
= (12 − 4) 5
= 8 5
• 5 50 − 7 18 + 2 8 = 5 25 ∙ 2 − 7 9 ∙ 2 + 2 4 ∙ 2
= 5 5 2 − 7 3 2 + 2(2 2)
= 25 2 − 21 2 + 4 2
= 25 − 21 + 4 2
= 8 2
Operaciones entre radicales
56. • La racionalización consiste en eliminar las raíces del denominador,
esto permite simplificar los resultados. Según el tipo de radical o la
forma de la expresión que aparece en el denominador, el proceso es
diferente.
Se pueden dar varios casos:
• Racionalización del tipo
𝑎
𝑏 𝑐
• Racionalización del tipo
𝑎
𝑏
𝑛
𝑐𝑚
• Racionalización del tipo
𝑎
𝑏+ 𝑐
Racionalización
Operaciones entre radicales
59. Racionalización del tipo
𝑎
𝑏+ 𝑐
• Binomio conjugado: El conjugado de un binomio es igual al binomio
con el signo central cambiado
• Ejemplo
Conjugado
𝒂 + 𝒃 𝒂 − 𝒃
𝒂 − 𝒃 𝒂 + 𝒃
−𝒂 + 𝒃 − 𝒂 − 𝒃
−𝒂 − 𝒃 − 𝒂 + 𝒃
• Se debe tener en cuenta el producto notable; el producto de la suma
por la diferencia de un binomio, el cual es igual a una diferencia de
cuadrados perfectos.
• (𝒂 + 𝒃) (𝒂 − 𝒃) = 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐
Racionalización
Operaciones entre radicales
63. BIBLIOGRAFÍA
Registrar las referencias bibliográficas utilizadas para la construcción del contenido y de los materiales de consulta complementarios.
• Referencias:
• Adriana Engler A., Müller D., Hecklein M. Obtenido de: https://www.fca.unl.edu.ar/Limite/1.0%20N%FAmeros%20reales%20y%20la%20recta%20real.htm
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