conjuntos numericos

1. Ingreso 2021
Facultad de Ciencias Bioquímicas y Farmacéuticas
Universidad Nacional de Rosario
MÓDULO MATEMÁTICA
Unidad n° 1: Números reales

2. Ingreso 2021
MÓDULO MATEMÁTICA
Conjuntos numéricos:
ℕ = {1,2,3,4 … }
ℤ = {… − 3, −2, −1,0, +1, +2 … }
ℚ = {
𝑝
𝑞
𝑝 , 𝑞 ∈ 𝑍, 𝑞 ≠ 0}
Números naturales: surgen para representar una cantidad (sirven para contar)
Números enteros: surgen para representar deudas o ganancias. El signo
(positivo o negativo) permite discriminar cada situación.
Números racionales: surgen ante la necesidad de representar una parte de
la unidad, por ejemplo, en la repartición en partes iguales.
Números irracionales: surgen para
representar medidas de segmentos que no
pueden expresarse como parte de una
unidad.
𝕀: conjunto de números que no
pueden escribirse como fracción 1
1
2
Por teorema de
Pitágoras:
12
+ 12
= ℎ2
→ ℎ = 2

3. Ingreso 2021
MÓDULO MATEMÁTICA
Conjunto de los números reales:
Se simboliza con la letra ℝ
0 1
Si tomamos una recta, a un punto de la misma le asignamos el 0 y a la derecha del 0 el 1 para establecer
la unidad, es posible representar cualquier fracción (número racional en la recta).
Por ejemplo:
1
2
1
2

4. Ingreso 2021
MÓDULO MATEMÁTICA
Conjunto de los números reales:
Se simboliza con la letra R
0 1
Si tomamos una recta, a un punto de la misma le asignamos el 0 y a la derecha del 0 el 1 para establecer
la unidad, es posible representar cualquier fracción (número racional en la recta).
Por ejemplo:
1
2
5
3
2
5
3

5. Ingreso 2021
MÓDULO MATEMÁTICA
Conjunto de los números reales:
Se simboliza con la letra R
0 1
Si tomamos una recta, a un punto de la misma le asignamos el 0 y a la derecha del 0 el 1 para establecer
la unidad, es posible representar cualquier fracción (número racional en la recta).
Por ejemplo:
1
2
5
3
-1
−
3
4
−
3
4

6. Ingreso 2021
MÓDULO MATEMÁTICA
Conjunto de los números reales:
Se simboliza con la letra R
0 1
Si tomamos una recta, a un punto de la misma le asignamos el 0 y a la derecha del 0 el 1 para establecer
la unidad, es posible representar cualquier fracción (número racional en la recta).
Por ejemplo:
1
2
5
3
-1
−
3
4
Sin embargo, aunque marquemos todos los enteros y racionales posibles en la recta, quedarán infinitos puntos sin
asignar ningún número (con huecos). Es posible entonces asignar a cada uno de estos puntos los irracionales.
Por ejemplo:
1
2
2
2

7. Ingreso 2021
MÓDULO MATEMÁTICA
Conjunto de los números reales:
Se simboliza con la letra R
0 1
Si tomamos una recta, a un punto de la misma le asignamos el 0 y a la derecha del 0 el 1 para establecer
la unidad, es posible representar cualquier fracción (número racional en la recta).
Por ejemplo:
1
2
5
3
-1
−
3
4
Sin embargo, aunque marquemos todos los enteros y racionales posibles en la recta, quedará con puntos sin
asignar (con huecos). Es posible entonces asignar a cada punto los irracionales.
Por ejemplo: 2
Asignando a los infinitos puntos, los números racionales y los números irracionales la recta quedaría completa.
En símbolos: ℝ = ℚ ∪ 𝕀

8. Ingreso 2021
MÓDULO MATEMÁTICA
Conjunto de los números reales:
Representación decimal:
Si un número real puede expresarse como fracción (es racional) entonces admite representación decimal exacta o
periódica (y viceversa):
• Exacta: 1
2
1 2
0,
0
5
=0,5
𝑎 = 0,8
10. 𝑎 = 10. 0,8
10. 𝑎 = 8
𝑎 =
8
10
=
4
5
0,8 =
4
5
• Periódica:
1
3
1 3
0,
0
3
0 10
3
10 3
= 0, 3
…
1
𝑎 = 0, 9
10 𝑎 = 9, 9
10𝑎 − 𝑎 = 9, 9 − 0, 9
9𝑎 = 9
𝑎 = 1
0, 9 = 1

9. Ingreso 2021
MÓDULO MATEMÁTICA
Conjunto de los números reales:
Representación decimal:
Si un número real NO puede expresarse como fracción (es irracional) entonces su representación decimal
tiene infinitas cifras decimales NO periódicas.
Ejemplo:
𝜋 = 3,141592654 …
2 = 1,414213562…
7 = 2,645751311 …

10. Ingreso 2021
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Suma
Multiplicación
Resta
División
Potenciación
Radicación
OPERACIONES CON NÚMEROS
REALES
Propiedades:
• Cierre
• Conmutativa
• Asociativa
• Elemento neutro
• Elemento opuesto/inverso
Siendo a, b números reales:
𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏)
Siendo a, b números reales:
𝑎: 𝑏 = 𝑎.
1
𝑏
, 𝑏 ≠ 0
¿Valen las mismas propiedades
que para la suma y la
multiplicación?
Siendo 𝑎 ∈ ℝ y 𝑛 ∈ ℕ
𝑎𝑛 = 𝑎. 𝑎 … 𝑎 𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
𝑎0
= 1 𝑠𝑖 𝑎 ≠ 0 , 𝑎1
= 𝑎
𝑛
𝑎 = 𝑏 ⇔ 𝑏𝑛 = 𝑎
Vale distributiva
con respecto al
producto y a la
división, no así
con la suma y la
resta
Propiedad distributiva:
𝑎. 𝑏 + 𝑐 = 𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑐,
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ

11. Ingreso 2021
MÓDULO MATEMÁTICA
APROXIMACION DE NUMEROS REALES
TRUNCAR un número decimal a un determinado orden
consiste en eliminar todas las cifras decimales de los órdenes
inferiores a él.
REDONDEAR un número decimal a un determinado orden consiste en
suprimir todas las cifras decimales de orden inferior al orden dado y aplicar
el siguiente criterio:
Ejemplos: redondeamos
a las centésimas
𝜋 = 3,141592654 …
5 = 2,2360679 …
5 ≈ 2,24
2 = 1,414213562 …
2 ≈ 1,41
𝜋 = 3,141592654 …
𝜋 ≈ 3,14
- Si la primera cifra que se suprime es mayor o igual a 5, se
suma 1 a la cifra anterior.
- Si la primera cifra que se suprime es menor que 5, la cifra
anterior no varía.

12. Ingreso 2021
MÓDULO MATEMÁTICA
Conjuntos
Distintas formas de representar un conjunto:
x
A
y
𝑥 ∈ 𝐴, x es un elemento de A
𝑦 ∉ 𝐴, y no es un elemento de A
- entre llaves, listando sus elementos: A = {1,2,3,4,5}
-en notación constructiva: 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ /𝑥 < 6}

13. Ingreso 2021
MÓDULO MATEMÁTICA
Operaciones entre conjuntos
A B A B A B
UNIÓN de A y B
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵}
INTERSECCIÓN de A y B
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑥/𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵
DIFERENCIA entre A y B
𝐴 − 𝐵 = 𝑥/𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵
1
2
3
4
5
𝐴 ∪ 𝐵 = {1,2,3,4,5}
1
2
3
4
5
𝐴 ∩ 𝐵 = {3,4}
1
2
3
4
5
𝐴 − 𝐵 = {1,2}

14. Ingreso 2021
MÓDULO MATEMÁTICA
𝐴 es un subconjunto de 𝐵 si todo elemento de 𝐴 está
en 𝐵 y notamos:
𝐴 ⊆ 𝐵
Subconjunto
B
A
1
2
3
4
5
𝐵 = {1,2,3,4,5}
𝐴 = {4,5}
𝐴 ⊆ 𝐵

15. Ingreso 2021
MÓDULO MATEMÁTICA
INTERVALOS REALES
𝑎, 𝑏
[𝑎, 𝑏)
[𝑎, 𝑏]
(𝑎, 𝑏]
−∞, 𝑏
(−∞, 𝑏]
(𝑎, +∞)
[𝑎, +∞)
Estos conjuntos son aquellos que geométricamente se corresponden con:
Segmentos: Semirrectas:

16. Ingreso 2021
MÓDULO MATEMÁTICA
INTERVALOS REALES
−1,4 ∪ (3, +∞)
−1,4 ∩ (4,5)
ℝ − (−1,4]
= (−1, +∞)
= ∅ Conjunto vacío
= −∞, −1 ∪ (4, +∞)