1. Bienvenidos al semestre AGOSTO -
DICIEMBRE 2021
CURSO. CÁLCULO DIFERENCIAL
HORARIO: 10 - 11 HRS.
AULA: 18
CLAVE: 1e1C
CATEDRÁTICO. ING. MARTÍN CARRERA ELIOSA
2. UNIDAD I
LOS NÚMEROS REALES
1.1 Los números reales.
1.2 Axiomas de los números reales.
1.3 Intervalos y su representación gráfica.
1.4 Valor absoluto y sus propiedades.
1.5 Propiedades de las desigualdades.
1.6 Resolución de desigualdades de primer y segundo grado
con una incógnita.
1.7 Resolución de desigualdades que incluyan valor absoluto.
3. UNIDAD II FUNCIONES
2.1 Definición de variable, función, dominio y rango.
2.2 Función real de variable real y su representación gráfica.
2.3 Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva.
2.4 Funciones algebraicas: polinomiales y racionales.
2.5 Funciones trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y
exponenciales.
2.6 Funciones escalonadas.
2.7 Operaciones con funciones: adición, multiplicación, división y
composición.
2.8 Función inversa.
2.9 Función implícita.
2.10 Otro tipo de funciones.
5. LOS NÚMEROS REALES
Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en
la recta real y pueden clasificarse en números naturales, enteros,
racionales e irracionales.
En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos
infinito y más infinito y podemos representarlo en la recta numérica.
Los números reales son todos los números que encontramos más
frecuentemente dado que los números complejos no se encuentran de
manera accidental, sino que tienen que buscarse expresamente.
Los números reales se representan mediante la letra R
6. LOS NÚMEROS REALES
Dominio de los números reales
Los números reales son los números comprendidos entre los extremos
infinitos. Es decir, no incluiremos estos infinitos en el conjunto.
7. LOS NÚMEROS REALES
Números reales en la recta real
Esta recta recibe el nombre de recta real o recta numérica dado que
podemos representar en ella todos los números reales.
8. CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS
REALES
Clasificación de los números reales
Los números reales pueden clasificarse entre números naturales, enteros,
racionales e irracionales.
Números naturales
Los números naturales es el primer conjunto de números que aprendemos
de pequeños. Este conjunto no tiene en cuenta el número cero (0) excepto
que se especifique lo contrario (cero neutral).
9. NÚMEROS ENTEROS
Los números enteros son todos los números naturales e
incluyen el cero (0) y todos los números negativos.
Expresión:
10. LOS NÚMEROS RACIONALES
Los números racionales son las fracciones que pueden formarse
a partir de los números enteros y naturales. Entendemos las
fracciones como cocientes de números enteros.
Expresión:
11. NÚMEROS IRRACIONALES
Los números irracionales son números decimales que no
pueden expresarse ni de manera exacta ni de manera
periódica.
Expresión:
12. NÚMEROS COMPLEJOS
Los números complejos son una extensión de
los números reales y forman un cuerpo
algebraicamente cerrado.
Un número complejo se representa en forma
binomial como:
z = a + bi
13. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS
REALES
SE ESTABLECE UN CONJUNTO DE AXIOMAS A PARTIR DE LOS
CUALES SE DERIVAN TODAS LAS PROPIEDADES UTILIZADAS
EN UN CURSO BÁSICO DE CÁLCULO
14. AXIOMAS DE LOS NÚMEROS REALES
DADOS DOS NUMEROS REALES CUALESQUIERA x Y y SE
DEFINE LA SUMA x + y Ɛ R Y EL PRODUCTO x y Ɛ R, QUE
SATISFACEN LOS SIGUIENTES AXIOMAS.
AXIOMA 1 PROPIEDAD CONMUTATIVA DE LA SUMA x +
y = y + x
AXIOMA 2 PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA SUMA x +
( y + z ) = ( x + y ) + z
15. AXIOMAS DE LOS NÚMEROS REALES
AXIOMA 3 EXISTENCIA DEL NEUTRO ADITIVO EXISTE EL 0 Ɛ R TAL
QUE x + 0 = x
AXIOMA 4 EXISTENCIA DE INVERSOS ADITIVOS.
PARA TODO NÚMERO REAL x, EXISTE -x Ɛ R, TAL QUE X + (-x ) = 0
AXIOMA 5 PROPIEDAD CONMUTATIVA DEL PRODUCTO xy = yx
AXIOMA 6 PROPIEDAD ASOCIATIVA DEL PRODUCTO x ( yz) =(xy) Z
AXIOMA 7 EXISTENCIA DEL NEUTRO MULTIPLICATIVO EXISTE 1 Ɛ R TAL
QUE x.1 ES IGUAL A x
16. Axiomas de los números reales
AXIOMA 5 PROPIEDAD CONMUTATIVA DEL PRODUCTO
XY = YX
AXIOMA 6 PROPIEDAD ASOCIATIVA DEL PRODUCTO
X(YZ) = (XY)Z
AXIOMA 7 EXISTENCIA DEL NEUTRO MULTIPLICATIVO
EXISTE EL 1 Ɛ R TAL QUE X . 1 = X
17. AXIOMAS
AXIOMA 8. EXISTENCIA DE INVERSOS ADITIVOS
PARA TODO NÚMERO REAL DISTINTO DE CERO X EXISTE X-1 € R TAL QUE
X . X -1 = 1
AXIOMA 9. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
X ( Y + Z) = XY + XZ
18. AXIOMAS DE ORDEN EN R
SEAN X, Y € R
AXIOMA 10. LEY DE TRICONOMÍA
SE CUMPLE UNA Y SOLO UNA DE LAS SIGUIENTES CONDICIONES:
X < Y, X = Y, X > Y NOTA: X > Y SIGNIFICA Y < X
AXIOMA 11. SI Y < X, ENTONCES Y + Z < X + Z PARA CUALQUIER Z €
R
AXIOMA 12. SI O < Y y 0 < X, ENTONCES 0 < XY
AXIOMA 13. PROPIEDAD DE TRANSITIVIDAD
SI X < Y y Y < Z, ENTONCES X < Z
19. DEFINICIÓN DE LOS SÍMBOLOS DE
DESIGUALDAD ESTRICTA < Y >
LOS SÍMBOLOS < y > SE CONOCEN COMO SIMBOLOS DE
DESIGUALDAD ESTRICTA Y SE LEEN “MENOR QUE” Y “
MAYOR QUE”
20. SÍMBOLOS DE DESIGUALDAD NO
ESTRICTA ≤ Y ≥
LOS SIMBOLOS ≤ Y ≥ SE CONOCEN COMO SIMBOLOS DE
DESIGUALDAD NO ESTRICTA Y SE LEEN “ MENOR O
IGUAL QUE “ Y “ MAYOR O IGUAL QUE”
LA EXPRESIÓN Y ≤ X ABREVIA LOS CASOS Y < X O Y = X
LA EXPRESIÓN Y ≥ X ABREVIA LOS CASOS Y > X O Y = X
21. OTRAS PROPIEDADES DE ORDEN
1. SI Y < X Y 0 < Z ENTONCES YZ < XZ
2. SI Y < X Y Z < 0 ENTONCES YZ > XZ
3. SI 0 < X Y 0 < Y ENTONCES 0 < X + Y
4. SI 0 < Y < X Y 0 < W < Z ENTONCES Y + W < X + Z
5. SI 0 < Y < X Y 0 < W < Z ENTONCES YW < XZ
22. INTERVALOS EN R
AL UTILIZAR UNA VARIABLE EN CUALQUIER PROBLEMA
DE APLICACIÓN, ES NECESARIO DEFINIR EL
SUBCONJUNTO DE NÚMEROS REALES.
SE DEFINEN LOS SIGUIENTES SUBCONJUNTOS DE
NÚMEROS REALES, CONOCIDOS COMO INTERVALOS
REALES.
INTERVALO ABIERTO ( a , b ) = { x a < x < b }
INTERVALO CERRADO [ a, b ] = { x a ≤ x ≤ b }
INTERVALO MIXTO ( a , b ] = { x a < x ≤ b }
INTERVALO MIXTO [a , b ) = { x a ≤ x < b }
23. INTERVALOS EN R
EJEMPLO
Determine el conjunto de números reales definidos por ( -2, 16] ∩
[12,20 ) y por (-2, 16] U [ 12, 20 )
27. EJEMPLOS (CASOS ESPECIALES)
RESOLVER LA DESIGUALDAD X2 > 3X - 2
AL REESCRIBIR LA DESIGUALDAD EN LA FORMA X2 – 3X + 2 > 0 ,
TENEMOS LO SIGUIENTE: ( X – 1 ) ( X – 2 ) > 0
SI CONSIDERAMOS LA PARTE IZQUIERDA DE LA DESIGUALDAD COMO EL
PRODUCTO DE DOS FACTORES, ESTE PRODUCTO ES POSITIVO, LO CUAL
IMPLICA QUE LOS FACTORES SON DEL MISMO SIGNO.
CASO 1 SI ( X -1 ) ( X – 2 ) > 0
ENTONCES X -1 > 0 Y X – 2 > 0, EN DONDE:
X > 1 Y X >2
28. EJEMPLOS (CASOS ESPECIALES)
CASO 2 SI ( X -1 ) ( X – 2 ) > 0
ENTONCES X -1 < 0 Y X – 2 < 0, EN DONDE:
X < 1 Y X < 2
EL CONJUNTO SOLUCIÓN DE ESTE PAR DE DESIGUALDADES ES:
( - ω, 1 ) ∩ ( - ω, 2 ) = ( - ω, 1 )
DE MANERA QUE LA SOLUCIÓN DE LAS DESIGUALDAD SE OBTIENE AL
UNIR LAS SOLUCIONES OBTENIDAS EN LOS CASOS 1 Y 2. ES DECIR, LA
SOLUCIÓN ES EL CONJUNTO ( - ω, 1 ) U ( 2, ω )
