En la presentación verán algo mas sobre derivación y sobre su gráfica a mas profundidad, Así mismo, hay ejemplos para que tengan una mejor comprensión de la noción de la derivada. Además, pueden encontrar una serie de ejercicios para resolver.

1. Definición de la derivada
Si f es una función derivable en un intervalo (a,b) є R, la función derivada de f
es la que a cada x ε (a,b) le hace corresponder la derivada de f en dicho punto.
Esta función se designa por: f ’(x) , Dx , y’ ó dy/dx
La derivada de una función es un límite.
a-x
f(a)f(x)
lim
h
f(x)h)f(x
lim
ax0h





2. x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf 
hx 0
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf 
hx 0
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf 
hx 0
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf 
hx 0
Tangente
Gráfica de la derivada

3. x
f(x)x)f(x
limm
0x
t




Si h = x
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf 
hx 0
x
h
f(x)h)f(x
lim´(x)f
0h



y
Definición de la derivada

4. 1. Sea f(x) = k, entonces:
  0 xf
k
D (c) = 0x
2. Sea f(x) = x, entonces:
  1 xf
3. Sea f(x) = xn, entonces:
  1
 n
nxxf
n
Propiedades de la derivada

5. 5. Si f y g son funciones derivables y a y b son
constantes se tiene que:
        xgxfxgxf 

 
4. Si f es derivable y c constante, se tiene:
    xfcxcf 

Propiedades de la derivada

6. 7. Si f y g son funciones derivables y
diferente de cero, entonces la derivada del
cociente es:
)(xg
)(
)()()()(
)(
)(
2
xg
xgxfxgxf
xg
xf 








6. Si f y g son funciones derivables, entonces la
derivada del producto es:
            xgxfxgxfxgxf 

*
Propiedades de la derivada

7. 8. Si y , entonces la regla de la
cadena se define por:
  )('*)(')( xgxgffog 
)()'( xfog n
9. Si y , entonces la regla de la
cadena para funciones con exponente se
define por:
 n
xgxf )()( 
  )()()(
1
xgxgnxf
n
 
n
Propiedades de la derivada

8. • EJEMPLO 1
• Hallar la ecuación de la recta tangente a la función y = - x2 + 4x
• x=1,5  y = – 2,25 + 6 = 3,75
• Punto de tangencia  P(1,5 , 3,75)
• La función derivada es:
• f ’ (x) = – 2x + 4
• (Ya realizada anteriormente)
• La derivada en x=1,5 vale:
• f ’ (1,5) = – 2.1,5 + 4 = 1
• Por la ecuación punto-pendiente:
• y – yo = m.(x – xo)
• y – 3,75 = 1.(x – 1,5)
• Y además podemos deducir:
• f ’(1) = m = 2 > 0  Creciente
Ejemplos de derivación

9. • EJEMPLO 2
• Hallar la ecuación de la recta tangente a la función y = - x2 + 4x
• x=3  y = – 9 + 12 = 3 
• Punto de tangencia  P(3, 3)
• La función derivada es:
• f ’ (x) = – 2.x + 4
• (Ya realizada anteriormente)
• La derivada en x=3 vale:
• f ’ (3) = – 2.3 + 4 = – 2
• Por la ecuación punto-pendiente:
• y – yo = m.(x – xo)
• y – 3 = – 2.(x – 3)
• Y además podemos deducir:
• f ’(3) = m = – 2 < 0  Decreciente
Ejemplos de derivación

10. 1. y= 𝑥4
2. Y= 𝑥3
+3𝑥2
+ 9
3. Y= 4 𝑥 + (𝑥 + 1)
4. Y= 𝑥2 + 2𝑥
5. 1
√𝑥
+ 𝑥3 − 3x
6.
8.
7.
10.
9. .
Ejercicios de derivación
Realizar los siguientes ejercicios
teniendo en cuenta la anterior teoría:

11. http://goo.gl/CK7e7t
http://goo.gl/u4oon
http://goo.gl/1c5oQ
Link de interacción

12. Realizado por:
Catalina García Ateortua
Licenciatura en Matemáticas y Física
Competencias Comunicativas