Este documento presenta una introducción al cálculo diferencial, incluyendo conceptos como límites, derivadas, rectas secantes y tangentes. Explica que la derivada proporciona un método para encontrar la pendiente de una recta tangente a una curva, lo que los matemáticos griegos trataban de resolver. Luego, muestra visualmente cómo la pendiente de una recta secante se aproxima a la pendiente de la tangente a medida que los puntos se acercan entre sí.
El documento presenta conceptos básicos de cálculo diferencial como límites, continuidad, derivadas y tangentes. Explica que la derivada proporciona un método para calcular la pendiente de una recta tangente mediante el uso de rectas secantes convergentes a un punto.
Este documento presenta las identidades trigonométricas fundamentales y algunas propiedades y tipos de problemas relacionados con ellas. 1) Se clasifican las identidades en reciprocas, por división, pitagóricas y auxiliares. 2) Se explican algunas propiedades como que multiplicar los ángulos por un factor numérico no afecta la validez de la identidad. 3) Se sugieren estrategias para resolver diferentes tipos de problemas sobre identidades trigonométricas.
Este documento presenta un resumen de las identidades trigonométricas fundamentales y algunos problemas de ejemplo para practicar su uso. En particular, describe cuatro tipos principales de identidades: 1) identidades reciprocas, 2) identidades por división, 3) identidades pitagóricas y 4) identidades auxiliares. Además, ofrece consejos para resolver problemas con identidades trigonométricas y doce problemas de ejemplo resueltos.
El documento describe las características principales de los juegos. Los juegos son programas de simulación que deben cumplir con restricciones de tiempo real. Requieren gráficos en 3D con iluminación, cámaras y materiales avanzados, así como física precisa para partículas, cuerpos rígidos y articulados. También cubren la detección de colisiones, animaciones y modelado complejo.
Las funciones matemáticas discutidas incluyen funciones logarítmicas, exponenciales, racionales y trigonométricas, así como el concepto de radianes. Se describen las funciones trigonométricas para ángulos agudos y circulares.
Este documento presenta identidades trigonométricas del ángulo doble y mitad. Explica que el seno, coseno y tangente del doble ángulo pueden expresarse en función del seno y coseno del ángulo original. También muestra identidades para el ángulo mitad que involucran al seno, coseno y tangente en función del coseno del ángulo original. Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar cada identidad.
El documento presenta información general sobre el concepto de derivada de una función. Explica que la derivada representa la pendiente de la recta tangente a una función en un punto, y cómo este concepto surgió históricamente para resolver problemas de optimización. Luego, introduce los conceptos básicos de recta secante, tangente y pendiente, y desarrolla matemáticamente el cálculo del límite que define a la derivada.
El documento presenta una introducción a la derivada y sus conceptos fundamentales. Explica la interpretación geométrica de la derivada a través de las rectas secantes y tangentes. Luego, define la derivada como el límite de la pendiente de la recta secante cuando el cambio en x tiende a cero. Finalmente, aplica este concepto para derivar la función cuadrática y obtener su derivada.
El documento presenta conceptos básicos de cálculo diferencial como límites, continuidad, derivadas y tangentes. Explica que la derivada proporciona un método para calcular la pendiente de una recta tangente mediante el uso de rectas secantes convergentes a un punto.
Este documento presenta las identidades trigonométricas fundamentales y algunas propiedades y tipos de problemas relacionados con ellas. 1) Se clasifican las identidades en reciprocas, por división, pitagóricas y auxiliares. 2) Se explican algunas propiedades como que multiplicar los ángulos por un factor numérico no afecta la validez de la identidad. 3) Se sugieren estrategias para resolver diferentes tipos de problemas sobre identidades trigonométricas.
Este documento presenta un resumen de las identidades trigonométricas fundamentales y algunos problemas de ejemplo para practicar su uso. En particular, describe cuatro tipos principales de identidades: 1) identidades reciprocas, 2) identidades por división, 3) identidades pitagóricas y 4) identidades auxiliares. Además, ofrece consejos para resolver problemas con identidades trigonométricas y doce problemas de ejemplo resueltos.
El documento describe las características principales de los juegos. Los juegos son programas de simulación que deben cumplir con restricciones de tiempo real. Requieren gráficos en 3D con iluminación, cámaras y materiales avanzados, así como física precisa para partículas, cuerpos rígidos y articulados. También cubren la detección de colisiones, animaciones y modelado complejo.
Las funciones matemáticas discutidas incluyen funciones logarítmicas, exponenciales, racionales y trigonométricas, así como el concepto de radianes. Se describen las funciones trigonométricas para ángulos agudos y circulares.
Este documento presenta identidades trigonométricas del ángulo doble y mitad. Explica que el seno, coseno y tangente del doble ángulo pueden expresarse en función del seno y coseno del ángulo original. También muestra identidades para el ángulo mitad que involucran al seno, coseno y tangente en función del coseno del ángulo original. Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar cada identidad.
El documento presenta información general sobre el concepto de derivada de una función. Explica que la derivada representa la pendiente de la recta tangente a una función en un punto, y cómo este concepto surgió históricamente para resolver problemas de optimización. Luego, introduce los conceptos básicos de recta secante, tangente y pendiente, y desarrolla matemáticamente el cálculo del límite que define a la derivada.
El documento presenta una introducción a la derivada y sus conceptos fundamentales. Explica la interpretación geométrica de la derivada a través de las rectas secantes y tangentes. Luego, define la derivada como el límite de la pendiente de la recta secante cuando el cambio en x tiende a cero. Finalmente, aplica este concepto para derivar la función cuadrática y obtener su derivada.
El documento presenta el paradigma uCube como una alternativa al paradigma cartesiano tradicional. El paradigma uCube propone colocar la variable dependiente en el eje horizontal y la variable independiente en el eje vertical, en lugar de al revés como en el modelo cartesiano. Se argumenta que este cambio permite distinguir situaciones que de otra forma se confundirían.
En este fichero comparto mis prácticas de la asignatura de Fundamentos de Matemáticas de la Universidad Miguel Hernández de Elche donde se resuelven diversos problemas matemáticos empleando DERIVE.
Los ejercicios son:
-Justificar la convergencia de una sucesión y calcular su límite.
-Deducir la suma de la siguiente serie.
-Encontrar los valores de p para los que la una serie es de términos positivos y estudiar, para dichos valores, el carácter de la misma.
-Calcular el radio y el intervalo de convergencia, así como la suma de dicho intervalo, de una serie de potencias. Estudiar también el carácter de la serie en los extremos del intervalo de convergencia.
-Dada una función:
Hallar los extremos relativos de f y clasificarlos.
Hallar, justificando previamente la existencia, los extremos absolutos de f en R.
Calcular el volumen comprendido entre las gráficas de f y el plano z = 0 sobre el recinto R.
También incluye un conjunto de funciones customizadas para resolver este tipo de ejercicios.
M E C A N I C A D E L C U E R P O R I G I D Oguestd286acd0
Este documento describe la mecánica de los cuerpos rígidos. Define un cuerpo rígido como un sistema de partículas que no se deforma bajo fuerzas aplicadas. Explica que el movimiento de un cuerpo rígido se puede descomponer en una traslación de su centro de masas y una rotación alrededor de este punto. Luego, discute conceptos como momento de inercia, energía cinética de rotación, y condiciones para que la energía mecánica total sea constante.
El documento presenta definiciones y propiedades de ángulos trigonométricos especiales como ángulos en posición normal, ángulos cuadrantales y ángulos coterminales. Explica las razones trigonométricas para estos ángulos y sus signos en los diferentes cuadrantes. Incluye ejemplos de problemas resueltos que aplican estos conceptos.
Este documento describe diferentes tipos de transformaciones y representaciones de objetos 3D usadas en gráficos por computadora. Presenta transformaciones como traslación, escalamiento, rotación y deformación. También explica modelos de representación como mallas poligonales, geometría sólida constructiva, parches bi-cúbicos y curvas. Finalmente, introduce conceptos como fotorealismo, procesamiento de imágenes y ambientes virtuales.
i) El documento define ángulos en posición normal, cuadrantales y coterminales. Explica cómo calcular las razones trigonométricas para estos ángulos y sus propiedades.
ii) Se describen las relaciones entre las razones trigonométricas de ángulos coterminales y negativos.
iii) Se provee información sobre los signos de las razones trigonométricas en cada cuadrante y fórmulas para calcular expresiones trigonométricas.
Este documento trata sobre el transporte de partículas y la ecuación de transporte. Explica el origen de la ecuación de transporte y sus elementos clave, como la densidad de flujo de partículas y el sistema espacio-fase. También describe varios métodos para resolver la ecuación de transporte, como los armónicos esféricos, ordenadas discretas, momentos, difusión y Monte Carlo. Finalmente, cubre temas como códigos, componentes de simulaciones Monte Carlo y números aleatorios.
Este documento describe cómo elaborar un mapa mental para organizar y planificar un proyecto de software. Explica que un mapa mental permite organizar las ideas del proyecto de manera funcional y facilita la identificación de los procesos involucrados. Luego, proporciona un ejemplo detallado de cómo elaborar un mapa mental para un juego en el que una rana atraviesa un río evitando troncos, mostrando cada elemento del juego y cómo se relacionan de manera jerárquica. El mapa mental resultante proporciona una representación comple
1) El documento define ángulos en posición normal, cuadrantales y coterminales. Explica las propiedades de las razones trigonométricas de ángulos en los cuadrantes y cómo se relacionan las razones de ángulos coterminales.
2) Incluye 10 problemas de aplicación de conceptos como razones trigonométricas, puntos de ángulos y propiedades de ángulos en posición normal y coterminales.
3) El problema de repaso contiene 6 problemas adicionales sobre aplicación de conceptos como razones
Este documento introduce los conceptos de fractales y caos. Explica que un fractal es una figura auto-semejante que contiene copias de sí misma definida de forma recursiva. Presenta ejemplos de fractales en la naturaleza como hojas de helecho y árboles. También describe fractales matemáticos como el conjunto de Cantor y el triángulo de Sierpinski. Explica cómo se pueden modelar fractales mediante transformaciones geométricas y cómo esto permite simular sistemas fractales en computadoras. Finalmente, discute
El documento trata sobre el momento de inercia y sus propiedades. Explica que el momento de inercia es una integral que representa la segunda distancia de un elemento de área respecto a un eje. Define el momento de inercia para áreas típicas como rectángulos, triángulos y círculos. También describe el teorema de los ejes paralelos, el producto de inercia y los momentos de inercia para áreas compuestas.
Este documento describe los conceptos fundamentales del movimiento curvilíneo y circular. Explica que en un movimiento curvilíneo la posición está dada por una curva paramétrica y define los vectores de velocidad y aceleración. También describe cómo se pueden descomponer la velocidad y aceleración en componentes tangenciales y normales. Finalmente, analiza el movimiento circular uniforme y en coordenadas polares.
Este documento resume los conceptos clave de los universos fractales. En primer lugar, introduce los fractales y su descubridor Benoit Mandelbrot. Luego, describe algunos de los primeros fractales históricos como la curva de Koch y el triángulo de Sierpinski. Finalmente, discute si el universo es homogéneo o fractal a gran escala, con opiniones divididas sobre este tema.
Capítulo 7 sincronización de procesos 09 01-2012ecuatareas
Este documento presenta tres algoritmos para resolver el problema de la sección crítica entre dos hilos. El Algoritmo 1 usa una variable turno compartida que indica qué hilo puede acceder a la sección crítica. El Algoritmo 2 usa una matriz de banderas para cada hilo. El Algoritmo 3 combina la variable turno y la matriz de banderas. También describe soluciones basadas en hardware como test-and-set e intercambio y el uso de semáforos para controlar el acceso a secciones críticas.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la teoría del caos a través de varios ejemplos. Introduce los atractores de Lorenz y Hénon como sistemas dinámicos caóticos y la ecuación logística de May. Explica que los sistemas caóticos son altamente sensibles a las condiciones iniciales y muestran regularidades a pesar de su aparente complejidad. Finalmente, discute si la teoría del caos constituye una revolución científica.
El documento describe la mecánica de cuerpos rígidos. Explica que un cuerpo rígido es aquel que no se deforma bajo fuerzas, y que su movimiento puede describirse como una traslación de un punto del cuerpo más una rotación en torno a ese punto. Luego entra en detalles sobre cómo calcular el momento de inercia de diferentes objetos y cómo aplicar las leyes de la mecánica para analizar sistemas de cuerpos rígidos.
Este documento presenta conceptos sobre la mecánica de cuerpos rígidos. Explica que un cuerpo rígido es aquel que no se deforma bajo fuerzas aplicadas y que su movimiento puede describirse como una traslación de un punto del cuerpo más una rotación en torno a ese punto. También define el momento de inercia y cómo se calcula para diferentes geometrías de cuerpos. Presenta ejemplos numéricos de cálculos de aceleración para sistemas de masas y poleas.
Este documento describe la mecánica de los cuerpos rígidos. Explica que un cuerpo rígido es un sistema de partículas que no se deforma bajo fuerzas aplicadas. Describe que el movimiento de un cuerpo rígido se compone de una traslación de un punto de referencia y una rotación en torno a ese punto. También presenta ecuaciones para calcular la aceleración, velocidad y fuerza de un cuerpo rígido en traslación y rotación.
La derivada de una función f(x) se define como el límite de la pendiente de la secante a medida que el cambio h tiende a cero. Muestra que la derivada representa la pendiente de la tangente en el punto x. El ejemplo calcula la derivada de la función f(x)=x^2 como f'(x)=2x.
El documento describe el concepto de derivada y cómo se puede deducir información sobre una función a partir de su derivada. Explica que una función es creciente donde su derivada es positiva, decreciente donde su derivada es negativa, y que la pendiente de la tangente es cero donde la derivada es cero. Proporciona un ejemplo gráfico de una función y su derivada para ilustrar estas ideas.
El documento presenta el paradigma uCube como una alternativa al paradigma cartesiano tradicional. El paradigma uCube propone colocar la variable dependiente en el eje horizontal y la variable independiente en el eje vertical, en lugar de al revés como en el modelo cartesiano. Se argumenta que este cambio permite distinguir situaciones que de otra forma se confundirían.
En este fichero comparto mis prácticas de la asignatura de Fundamentos de Matemáticas de la Universidad Miguel Hernández de Elche donde se resuelven diversos problemas matemáticos empleando DERIVE.
Los ejercicios son:
-Justificar la convergencia de una sucesión y calcular su límite.
-Deducir la suma de la siguiente serie.
-Encontrar los valores de p para los que la una serie es de términos positivos y estudiar, para dichos valores, el carácter de la misma.
-Calcular el radio y el intervalo de convergencia, así como la suma de dicho intervalo, de una serie de potencias. Estudiar también el carácter de la serie en los extremos del intervalo de convergencia.
-Dada una función:
Hallar los extremos relativos de f y clasificarlos.
Hallar, justificando previamente la existencia, los extremos absolutos de f en R.
Calcular el volumen comprendido entre las gráficas de f y el plano z = 0 sobre el recinto R.
También incluye un conjunto de funciones customizadas para resolver este tipo de ejercicios.
M E C A N I C A D E L C U E R P O R I G I D Oguestd286acd0
Este documento describe la mecánica de los cuerpos rígidos. Define un cuerpo rígido como un sistema de partículas que no se deforma bajo fuerzas aplicadas. Explica que el movimiento de un cuerpo rígido se puede descomponer en una traslación de su centro de masas y una rotación alrededor de este punto. Luego, discute conceptos como momento de inercia, energía cinética de rotación, y condiciones para que la energía mecánica total sea constante.
El documento presenta definiciones y propiedades de ángulos trigonométricos especiales como ángulos en posición normal, ángulos cuadrantales y ángulos coterminales. Explica las razones trigonométricas para estos ángulos y sus signos en los diferentes cuadrantes. Incluye ejemplos de problemas resueltos que aplican estos conceptos.
Este documento describe diferentes tipos de transformaciones y representaciones de objetos 3D usadas en gráficos por computadora. Presenta transformaciones como traslación, escalamiento, rotación y deformación. También explica modelos de representación como mallas poligonales, geometría sólida constructiva, parches bi-cúbicos y curvas. Finalmente, introduce conceptos como fotorealismo, procesamiento de imágenes y ambientes virtuales.
i) El documento define ángulos en posición normal, cuadrantales y coterminales. Explica cómo calcular las razones trigonométricas para estos ángulos y sus propiedades.
ii) Se describen las relaciones entre las razones trigonométricas de ángulos coterminales y negativos.
iii) Se provee información sobre los signos de las razones trigonométricas en cada cuadrante y fórmulas para calcular expresiones trigonométricas.
Este documento trata sobre el transporte de partículas y la ecuación de transporte. Explica el origen de la ecuación de transporte y sus elementos clave, como la densidad de flujo de partículas y el sistema espacio-fase. También describe varios métodos para resolver la ecuación de transporte, como los armónicos esféricos, ordenadas discretas, momentos, difusión y Monte Carlo. Finalmente, cubre temas como códigos, componentes de simulaciones Monte Carlo y números aleatorios.
Este documento describe cómo elaborar un mapa mental para organizar y planificar un proyecto de software. Explica que un mapa mental permite organizar las ideas del proyecto de manera funcional y facilita la identificación de los procesos involucrados. Luego, proporciona un ejemplo detallado de cómo elaborar un mapa mental para un juego en el que una rana atraviesa un río evitando troncos, mostrando cada elemento del juego y cómo se relacionan de manera jerárquica. El mapa mental resultante proporciona una representación comple
1) El documento define ángulos en posición normal, cuadrantales y coterminales. Explica las propiedades de las razones trigonométricas de ángulos en los cuadrantes y cómo se relacionan las razones de ángulos coterminales.
2) Incluye 10 problemas de aplicación de conceptos como razones trigonométricas, puntos de ángulos y propiedades de ángulos en posición normal y coterminales.
3) El problema de repaso contiene 6 problemas adicionales sobre aplicación de conceptos como razones
Este documento introduce los conceptos de fractales y caos. Explica que un fractal es una figura auto-semejante que contiene copias de sí misma definida de forma recursiva. Presenta ejemplos de fractales en la naturaleza como hojas de helecho y árboles. También describe fractales matemáticos como el conjunto de Cantor y el triángulo de Sierpinski. Explica cómo se pueden modelar fractales mediante transformaciones geométricas y cómo esto permite simular sistemas fractales en computadoras. Finalmente, discute
El documento trata sobre el momento de inercia y sus propiedades. Explica que el momento de inercia es una integral que representa la segunda distancia de un elemento de área respecto a un eje. Define el momento de inercia para áreas típicas como rectángulos, triángulos y círculos. También describe el teorema de los ejes paralelos, el producto de inercia y los momentos de inercia para áreas compuestas.
Este documento describe los conceptos fundamentales del movimiento curvilíneo y circular. Explica que en un movimiento curvilíneo la posición está dada por una curva paramétrica y define los vectores de velocidad y aceleración. También describe cómo se pueden descomponer la velocidad y aceleración en componentes tangenciales y normales. Finalmente, analiza el movimiento circular uniforme y en coordenadas polares.
Este documento resume los conceptos clave de los universos fractales. En primer lugar, introduce los fractales y su descubridor Benoit Mandelbrot. Luego, describe algunos de los primeros fractales históricos como la curva de Koch y el triángulo de Sierpinski. Finalmente, discute si el universo es homogéneo o fractal a gran escala, con opiniones divididas sobre este tema.
Capítulo 7 sincronización de procesos 09 01-2012ecuatareas
Este documento presenta tres algoritmos para resolver el problema de la sección crítica entre dos hilos. El Algoritmo 1 usa una variable turno compartida que indica qué hilo puede acceder a la sección crítica. El Algoritmo 2 usa una matriz de banderas para cada hilo. El Algoritmo 3 combina la variable turno y la matriz de banderas. También describe soluciones basadas en hardware como test-and-set e intercambio y el uso de semáforos para controlar el acceso a secciones críticas.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la teoría del caos a través de varios ejemplos. Introduce los atractores de Lorenz y Hénon como sistemas dinámicos caóticos y la ecuación logística de May. Explica que los sistemas caóticos son altamente sensibles a las condiciones iniciales y muestran regularidades a pesar de su aparente complejidad. Finalmente, discute si la teoría del caos constituye una revolución científica.
El documento describe la mecánica de cuerpos rígidos. Explica que un cuerpo rígido es aquel que no se deforma bajo fuerzas, y que su movimiento puede describirse como una traslación de un punto del cuerpo más una rotación en torno a ese punto. Luego entra en detalles sobre cómo calcular el momento de inercia de diferentes objetos y cómo aplicar las leyes de la mecánica para analizar sistemas de cuerpos rígidos.
Este documento presenta conceptos sobre la mecánica de cuerpos rígidos. Explica que un cuerpo rígido es aquel que no se deforma bajo fuerzas aplicadas y que su movimiento puede describirse como una traslación de un punto del cuerpo más una rotación en torno a ese punto. También define el momento de inercia y cómo se calcula para diferentes geometrías de cuerpos. Presenta ejemplos numéricos de cálculos de aceleración para sistemas de masas y poleas.
Este documento describe la mecánica de los cuerpos rígidos. Explica que un cuerpo rígido es un sistema de partículas que no se deforma bajo fuerzas aplicadas. Describe que el movimiento de un cuerpo rígido se compone de una traslación de un punto de referencia y una rotación en torno a ese punto. También presenta ecuaciones para calcular la aceleración, velocidad y fuerza de un cuerpo rígido en traslación y rotación.
La derivada de una función f(x) se define como el límite de la pendiente de la secante a medida que el cambio h tiende a cero. Muestra que la derivada representa la pendiente de la tangente en el punto x. El ejemplo calcula la derivada de la función f(x)=x^2 como f'(x)=2x.
El documento describe el concepto de derivada y cómo se puede deducir información sobre una función a partir de su derivada. Explica que una función es creciente donde su derivada es positiva, decreciente donde su derivada es negativa, y que la pendiente de la tangente es cero donde la derivada es cero. Proporciona un ejemplo gráfico de una función y su derivada para ilustrar estas ideas.
La derivada mide cómo cambia el valor de una función matemática cuando cambia su variable independiente. El cálculo infinitesimal se originó en la antigua Grecia pero no fue hasta el siglo XVII cuando Isaac Newton y Gottfried Leibniz desarrollaron métodos sistemáticos. Las derivadas se usan ampliamente en física, química, biología, economía y sociología.
Este documento trata sobre el tema de la derivada. Explica brevemente la historia de la derivada y cómo surgió del estudio de problemas geométricos como la tangente a una curva y los extremos. Define la derivada como el límite que representa la pendiente de la recta tangente a una función en un punto. También cubre conceptos como la derivabilidad, las fórmulas de derivación, y la continuidad y discontinuidad de funciones.
Este documento presenta cuatro reglas básicas para derivar funciones. La regla 1 establece que la derivada de una constante es cero. La regla 2 explica cómo derivar funciones de la forma x^n. La regla 3 indica que la derivada de un múltiplo constante de una función es igual al múltiplo constante multiplicado por la derivada de la función. Finalmente, la regla 4 especifica que la derivada de una suma o resta de funciones es igual a la suma de las derivadas de cada función.
La derivada es la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto. Se define como el límite de la pendiente de la recta secante a medida que se aproxima a la tangente. El documento explica conceptos como recta tangente, pendiente, y recta secante, y provee ejemplos de cómo calcular derivadas y ecuaciones de rectas tangentes.
El documento trata sobre el concepto matemático de la derivada. Explica que la derivada surgió para resolver problemas de cálculo infinitesimal y hallar ecuaciones de tangentes a curvas. Define formalmente la derivada como el límite de la pendiente entre un punto de una función y un punto próximo cuando este último se acerca al primero. Presenta un ejemplo para ilustrar cómo calcular la derivada de una función. Finalmente, propone algunas preguntas para analizar y aplicar los conceptos explicados.
Este documento presenta información general sobre el concepto de derivada de una función. Explica que la derivada representa la pendiente de la recta tangente a una función en un punto, y cómo este concepto surgió históricamente para resolver problemas de optimización. También muestra gráficamente cómo la derivada se define como el límite de la pendiente de secantes que se aproximan a la tangente, llevando a la famosa fórmula de derivación.
Este documento presenta una introducción a las derivadas. Define las derivadas y explica cómo calcularlas y las operaciones básicas con ellas, incluyendo suma, resta, producto, cociente, raíz y potencia.
La derivada se define geométricamente como la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto. La recta tangente tiene solo un punto de intersección con la curva, mientras que una recta secante corta la curva en dos o más puntos. Cuando la distancia entre los puntos donde la recta secante corta la curva tiende a cero, la recta secante se aproxima a la recta tangente. Esto permite definir la derivada como el límite de la pendiente de la recta secante cuando la distancia entre los puntos tiende a
La derivada de una función mide cómo cambia el valor de la función cuando cambia su variable independiente y representa la pendiente de la recta tangente en un punto. La derivada tiene muchas aplicaciones prácticas como medir velocidad a partir de distancia, demanda a partir de precio, tráfico a partir de consultas, y el crecimiento de epidemias. Se define formalmente como el límite de la pendiente de la secante cuando el punto se acerca al punto de tangencia.
El documento presenta a Wilson Antonio Velastegui Ojeda, un ingeniero y profesor político de la Espoch. Contiene fórmulas y ejemplos para derivar raíces, productos, cocientes, funciones exponenciales y logarítmicas. Explica que la derivada de una raíz es igual a la derivada del radicando dividida por la raíz elevada a la potencia menos uno, y que la derivada de un producto es igual a la suma del primer factor por la derivada del segundo más el segundo factor por la derivada del primero.
Este documento presenta conceptos clave sobre derivación de funciones, incluyendo la definición de tangente y pendiente de una curva, reglas básicas de derivación como derivadas de funciones polinómicas, exponenciales y trigonométricas, y ejemplos de problemas resueltos sobre hallar derivadas y puntos donde la tangente es horizontal o paralela al eje x.
La derivada es la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto. Representa la variación de la función cuando hay una pequeña variación de la variable independiente. Se define como el límite de la razón entre la variación de la función y la variación de la variable independiente a medida que esta tiende a cero. Para que una función sea derivable en un punto, este límite debe existir.
La derivada representa la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto. Se define como el límite de la pendiente de las rectas secantes a medida que los puntos se acercan al punto tangencial. La derivada permite calcular la tasa de cambio de una función y resolver problemas de optimización.
El documento presenta un resumen de la lección sobre derivadas. Explica la interpretación geométrica de la derivada como la pendiente de la recta tangente a una curva. Detalla los objetivos de aprendizaje que incluyen calcular derivadas de funciones algebraicas y resolver problemas de optimización. También resume los diferentes temas cubiertos como derivadas de funciones trascendentes, reglas de derivación y aplicaciones de la derivada.
1) El documento introduce el concepto de derivada y explica cómo se puede usar para encontrar la pendiente de una recta tangente.
2) Explica que las matemáticas no se deben memorizar sino razonar, y procede a definir las rectas secante y tangente geométrica y funcionalmente.
3) Deriva la fórmula para calcular la derivada como un límite, lo que permite encontrar la pendiente de la recta tangente.
Interpretacion geométrica la derivada de una función teoría derivadasMatemáticas sencillas
Bienvenidos a este material didáctico digital que muestra una breve explicación matemática ilustrada sobre las derivadas de una función, su definición, significado e interpretación geométrica.
Este documento presenta información sobre el concepto de derivada de una función. Explica que la derivada representa la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto, y describe el proceso histórico para desarrollar este concepto. Luego, utiliza gráficas y ejemplos para ilustrar geométricamente la diferencia entre una recta secante y una tangente, y cómo el límite de la pendiente de una secante puede usarse para definir la derivada de una función. Finalmente, aplica este enfoque para derivar la función f(x)=
Este documento presenta información general sobre un objeto de aprendizaje relacionado con el concepto de derivada de una función. Explica la interpretación geométrica de la derivada para resolver problemas de optimización en ingeniería. Luego, introduce conceptos básicos sobre la derivada, incluyendo la recta tangente y su relación con la pendiente de la curva de una función en un punto. Finalmente, describe el proceso histórico que llevó al desarrollo del cálculo diferencial y la noción moderna de derivada.
El documento introduce el concepto de derivada. Explica que la derivada surge de querer encontrar la pendiente de la recta tangente a una función en un punto, lo que llevó al análisis de rectas secantes que se acercan cada vez más a dicho punto. Finalmente, la derivada se define como el límite de la pendiente de estas rectas secantes a medida que se acercan a la tangente, representando así la pendiente de la recta tangente.
Similar a Concepto_Geometrico_de_Derivada_(Enedino Romero) (7)
1. Enedino Romero Solano
Recordemos lo que hemos aprendido…
Unidad 1. Antecedentes históricos del calculo diferencial
Unidad 2. Limites
Unidad 3. La derivada
Y el tema
También que
Ya analizamos
Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
funciones…
iniciamos
limites de hoy
es….
funciones…
Pero, antes de iniciar veamos una
simple pregunta…
3. Enedino Romero Solano
“La pregunta del millón…”
2
Si tenemos una función definida por y x
La mayoría contestaría: “su derivada es: y 2x ”
MUY BIEN!! ….. Pero……..
“memorizar términos matemáticos y no tener la mínima
idea de lo que significan, es equivalente a no saberlos..”
“las matemáticas no se memorizan… se deben razonar!!”
4. Enedino Romero Solano
Algunos conceptos básicos La recta secante
Que necesitamos saber. y la recta tangente
en términos
geométricos
Recta tangente
Recta secante
“es una recta que “es una recta que
toca 2 puntos en toca solo un
un circulo” punto en un circulo”
5. Enedino Romero Solano
Algunos conceptos básicos. La recta secante
y la recta tangente
en una función
Función original
6. Enedino Romero Solano
Algunos conceptos básicos. La recta secante
y la recta tangente
en una función
Función original
Recta secante
7. Enedino Romero Solano
Algunos conceptos básicos. La recta secante
y la recta tangente
en una función
Función original
Recta tangente
8. Enedino Romero Solano
Algunos conceptos básicos.
Sabemos que una de las características
principales de una recta es su pendiente (m)
En términos muy simples la pendiente de una recta es
un valor numérico que representa la inclinación de dicha recta
( x2 , y2 ) y2 y1
m
y2 y1 x2 x1
( x1 , y1 )
Muy sencillo de obtener si
x2 x1 tienes dos puntos sobre una recta!
9. Enedino Romero Solano
Algunos conceptos básicos.
De acuerdo a lo anterior, la obtención de la pendiente de una recta
secante en la curva de una función es:
Función original
( x2 , y2 )
Recta secante
( x1 , y1 ) y2 y1
m
x2 x1
10. Enedino Romero Solano
Algunos conceptos básicos.
Pero……….. y como obtener la pendiente de una recta
tangente si solo conoce existe un punto?
Recta tangente
y2 y1
m ?
( x1 , y1 ) x2 x1
11. Enedino Romero Solano
Algo de historia….
Esta cuestión se originó con los matemáticos griegos hace dos mil años,
y fue finalmente abordada en el siglo XVII por varios matemáticos ilustres,
entre los que se encuentran :
Pierre de Fermat Rene Descartes Gottfried Wilhelm Leibniz
Leibniz, llamado por muchos el padre del Cálculo
Moderno, en 1684 propuso un método
general para encontrar las tangentes a una
curva a través de lo que el llamo DERIVADA.
12. Enedino Romero Solano
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE
Observe que si hacemos
mtan Supongamos que deseamos
diversas aproximaciones de rectas
conocer la pendiente de la
secantes, podemos hacer una
muy buena estimación X=1
recta tangente en de la
Pendiente de la recta tangente
13. Enedino Romero Solano
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
14. Enedino Romero Solano
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
15. Enedino Romero Solano
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
16. Enedino Romero Solano
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
17. Enedino Romero Solano
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
18. Enedino Romero Solano
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
19. Enedino Romero Solano
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
20. Enedino Romero Solano
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
21. Enedino Romero Solano
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
22. Enedino Romero Solano
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
23. Enedino Romero Solano
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan Observa que el punto
( x2 , y2 )
Cada vez se acerca
más al punto
( x1 , y1 ) Continuar
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
Volver a
mostrar
Atajo
24. Enedino Romero Solano
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
Ahora, como expresar el
comportamiento anterior
en términos matemáticos?
26. Enedino Romero Solano
La derivada.
mtan
( x2 , y2 )
f ( x2 )
( x1 , y1 )
f ( x1 )
fy( x2 )y1 f ( x1 ) y2 y1
mtan 2
x2 x2 x1 x1
Considerando:
Procedemos y mfsec x)
(
a sustituir: x2 x1
27. Enedino Romero Solano
La derivada.
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
x x2 x1
f ((xx2 ) f ( x( ) 1 )
2)
f 1x
mtan x2 x1
Ahora
Consideremos:
x x2 x1
28. Enedino Romero Solano
La derivada.
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
x x2 x1
Ahora recordemos el comportamiento
f ( x2 ) f ( x1 )
mtan x
de las rectas secantes y podemos ver
que x tiende a disminuir
Presiona para observar nuevamente el comportamiento
(utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)
29. Analiza la siguiente secuencia de graficas y
observa como la recta secante, se acerca a la
recta tangente.
30.
31.
32.
33. Enedino Romero Solano
La derivada.
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
x x2 x1
Ahora recordemos el comportamiento
f ( x2 ) f ( x1 )
mtan x
de las rectas secantes y podemos ver
que x tiende a disminuir
Presiona para observar nuevamente el comportamiento
(utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)
34. Enedino Romero Solano
La derivada.
mtan
( x2 , y2 )
Se puede observar
que el punto ( x2 , y2 )
( x1 , y1 ) cada vez se aproxima
más al punto ( x1 , y1 )
pero no llegará a tocarlo
x x2 x1
f ( xf2 ) x2 )f ( xf ) x1 )
( 1(
Podemos expresar lo anterior así:
mtan lim
x x x 0
Analizando dicho comportamiento,
x 0 procedemos a aplicar un límite así:
35. Enedino Romero Solano
La derivada.
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
x x2 x1
f ((x1 2 ) x)f ( x1() 1 )
f x f x Finalmente considerando lo siguiente:
mtan lim
xx x2 x1 x
x 0 La expresión nos queda así:
36. Enedino Romero Solano
La derivada.
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
x x2 x1
f ( x1 x) f ( x1 ) Finalmente considerando lo siguiente:
mtan lim
x x2 x1 x
x 0 La expresión nos queda así:
37. Enedino Romero Solano
La derivada.
Este límite, representa la pendiente
de las diversas rectas tangentes a la
= gráfica de una función…..
Y se le conoce comúnmente como:
Misma, que en honor a Leibniz puede ser representada así:
dy x)
f ( x1 Por(su )
f x1 origen basado en
mtan lim
dx x incrementos
x 0
38. Enedino Romero Solano
La derivada.
dy f ( x1 x) f ( x1 ) Y precisamente por esta
= lim x fórmula es que lo siguiente,
dx ahora si, tiene sentido:
x 0
2
Si tenemos una función definida por y x
dy
Entonces su derivada es: 2x
dx
Y gracias a esta función que se “deriva” de la original, podemos obtener
las pendientes de las rectas tangentes que pertenecen a la función original
39. Enedino Romero Solano
Aplicación del límite obtenido….
Procederemos a la aplicación
2
del límite deducido para y f ( x) x
obtener la derivada de la función:
Recordemos que la dy f (x x) f ( x)
derivada esta definida lim
por el límite: dx x 0 x
Iniciamos encontrando la FUNCION INCREMENTADA:
2
x (x x) (x x)
se puede observar que:
2 2
Al sustituirlo obtenemos: x 2x x x
40. Enedino Romero Solano
Aplicación del límite obtenido….
Al sustituir en la formula f (x x) f (x)
de la derivada:
2 2 2
dy x 2x x x x
lim
dx x 0 x
Reduciendo 2 2 2
términos: dy x 2x x x x
lim
dx x 0 x
Factorizando dy x(2 x x)
El termino común: lim
dx x 0 x
41. Enedino Romero Solano
Aplicación del límite obtenido….
dy
lim 2 x x 2x 0
dx x 0
Al evaluar dicho límite llegamos a la conclusión que:
2
Si tenemos una función definida por y x
dy
Entonces su derivada es: 2x
dx
42. Representación
gráfica de:
2
y x
La función que
representa su
derivada es:
mtan ? dy
2x
dx
Geométricamente la derivada se define como
la pendiente de la recta tangente a la curva
en un punto previamente establecido.
43. Representación
gráfica de:
2
y x
La función que
representa su
derivada es:
mtan
mtan ?
2 dy
2x
dx
En el punto: Al sustituir dy
en la derivada mtan 2( 1) 2
x 1 el valor de X: dx
44. Representación
gráfica de:
2
y x
La función que
representa su
derivada es:
mtan 2 dy
2x
dx