El documento presenta conceptos básicos sobre ángulos. Define ángulo y tipos de ángulos como agudos, obtusos, rectos y llano. Explica qué es una bisectriz y cómo se denotan y miden los ángulos. Además, clasifica los ángulos según sus medidas e incluye ejemplos y ejercicios prácticos sobre ángulos.

1. I.E “10214” LA RAMADA – SALAS MATEMÁTICA – 3 Secundaria
Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz-1-
I. CONCEPTOS BÁSICOS
ÁNGULO: .........................................................
..........................................................................
..........................................................................
VEAMOS ALGUNOS EJEMPLOS :
- Denota los siguientes ángulos y sus
respectivas medidas:
I __________ ; ______________ = _____
II. __________ ; ______________ = _____
III. __________ ; ______________ = _____
IV. __________ ; ______________ = _____
II. ¿QUÉ ES UNA BISECTRIZ?
.........................................................................
.........................................................................
.........................................................................
Sea el ∢AOB :
 ¿Cómo, biseca?
Osea: ..............................................................
........................................................................
........................................................................
O
A
M
B
º
º
Si :

OM es bisectriz del ∢AOB.
Se cumple :
m∢AOM = m∢MOB = º
¡Recordemos!
“Qué todo ángulo en la geometría
plana es positivo y menor ó igual
a una vuelta”.
0º < ºGEOMETRICO < 360º
Donde:
* “P” : Pertenece a la
región .
* “R” : Pertenece a la
región exterior del
ángulo
¿Y cómo se denota?
 NOTACIÓN :
m∢AOB :
……………………
¿Y su medida?
¿En que unidad se expresa?
∢AOB : ……………………
En la unidad de:
………………………………
……………….
O
A
B M
N
O
45º
60º
I II
O
P
Q
70º
150º
R S
TIII IV
A
B
R
P
º
O
ÁNGULOS I

2. I.E “10214” LA RAMADA – SALAS MATEMÁTICA – 3 Secundaria
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III. CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS
a) Según sus medidas :
Ángulo Agudo:
Ángulo Obtuso:
Ángulo Recto :
Ángulo Llano :
Ángulo de una vuelta:
* Veamos algunos ejemplos:
1. Angulo. Agudos:
 10º, 30º, 60º, 80º, 89º, etc.
2. Angulo. Obtusos :
 100º, 150º, 118º, 179º, 91º, etc
* De los siguientes gráficos indique si el ∢ es
agudo, recto, obtuso o llano.
o 20º ↠ ........................................
o 36º ↠ ........................................
o 72º ↠ ........................................
o 100º ↠ ........................................
o 18º ↠ ........................................
o 90º ↠ ........................................
o 170º ↠ ........................................
o 115º ↠ ........................................
o 360º ↠ ........................................
o 180º ↠ ........................................
o 162º ↠ ........................................
o 180º ↠ ........................................
o 162º ↠ ........................................
o 90,5º ↠ ........................................
o 89,5º ↠ ........................................
o 0º ↠ ........................................
º
0º  º  90º
º
90º  º  180º
º
  = 180º
¿Profe y porque algunos ángulos son
mayores que otros y algunos tienen lados
comunes?
45º
40º
20º
120º 60º
54º
36º 40º 40º
140º
140º

 = 360º
º= 180º

3. I.E “10214” LA RAMADA – SALAS MATEMÁTICA – 3 Secundaria
Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz-3-
Práctica dirigida Nº 01
Utilizando el transportador, mide los
siguientes ángulos.
o
o
o
o
o
1. De los siguientes gráficos. Indique el tipo de
ángulos:
a) ∢ ……………… b) ∢ ………………
c) ∢ ……………… d) ∢ …………………
e) ∢ …………………………..
2. Indique de que tipo de ángulo se trata
según su medida.
a) 16º ↠ ........................................
b) 25º ↠ ........................................
c) 145º ↠ ........................................
d) 90º ↠ ........................................
e) 180º ↠ ........................................
Usando el transportador medir los siguientes
ángulos.
3.
4.
5.
6.
7.60º
145º
20º
º
º º =
……………..
º º =
……………..

º =
……………..
º
º =
……………..
º
º =
……………..
º
º =
……………..
º
º =
……………..
mº
mº =
……………..
º
º º =
……………..
º =
……………..
º º
º- º =
……………………
…..

4. I.E “10214” LA RAMADA – SALAS MATEMÁTICA – 3 Secundaria
Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz-4-
8. Compruebe, aproximadamente, con su
transportador los siguientes ángulos.
a) º = 25º
b) º = 100º
c) º = 90º
d) º = 160º
e) º = 150º
9. Indicar verdadero o falso :
a) El ∢ agudo mide 90º ( )
b) el ∢ obtuso mide 180º ( )
c) 91º, es un ángulo agudo ( )
d) 180º, es un ángulo llano ( )
e) El ángulo obtuso puede ser 135º ( )
10. Calcular “x”
Si : OM es bisectriz del ángulo AOB
Sol.-
11. Si :

OM es bisectriz :
Calcular “x”:
Sol.-
12. Calcular “x” ; (Si

OB ; es bisectriz ∢
AOC)
Sol.-
O
20º
B
M
A
O
x+12
B
M
A
Rpta : 12º
B
C O
A
x
Rpta : 45º

5. I.E “10214” LA RAMADA – SALAS MATEMÁTICA – 3 Secundaria
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Práctica dirigida Nº 02ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y
SUPLEMENTARIOS
I. Ángulos Complementarios:
II. Ángulos Suplementarios:
III. Ángulos Opuestos por el Vértice
IV. Ángulos de Lados Paralelos
1. Del gráfico, calcular”x”.
2. Del gráfico calcular “”
3. Calcular : CCC(23º)
a) 67º
b) 66
c) 65
d) 57
e) 77
4. Calcular : SSSSS(142º)
a) 142º
b) 38
c) 36
d) 40
e) 48
5. Calcular E = SSSCCCº
Si : º = CCCSSS140º
a) 40º
b) 50
c) 90
d) 140
e) 150
6. Calcular “” ; si : CCC=20º
a) 70º
b) 20
c) 10
d) 35
e) 80
º
º
 º + º = 180º
 Suplemento de
xº : S(xº)
 S(xº)= 180º - xº
xº
yº
º º
 º = º
 xº = yº
2xº
xº xº
xº
x =
……………
………
x =
……………
………
º
º
º
x =
………………
……
x =
………………
……
2
º
3
º
º
º
 º + º = 90º
 Complemento de
xº : C(x)
 C(xº)= 90º - xº
yº
xº
º
º
º = º xº = yº
ÁNGULOS II

6. I.E “10214” LA RAMADA – SALAS MATEMÁTICA – 3 Secundaria
Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz-6-
Tarea Nº 01
7. Calcular “” ; si : SSSSS = 135
a) 35º
b) 45
c) 55
d) 75
e) 135
8. Calcular “x”
a) 2º
b) 4
c) 10
d) 5
e) 15
9. Calcular “x”
a) 15º
b) 30
c) 45
d) 5
e) 60
10. Calcular “x” ; 








 CDAEyFDAB
a) 10º
b) 15
c) 25
d) 65
e) 115
11. Calcular “x” ; 




 BCEDyCDAB
a) 75º
b) 105
c) 135
d) 100
e) 125
12. Calcular “x”
a) 15º
b) 30
c) 45
d) 60
e) 40
13. Calcular “x”
a) 18º
b) 36
c) 30
d) 40
e) 60
14. Calcular “”
a) 9º
b) 41
c) 49
d) 50
e) 45
15. Calcular “”
a) 18º
b) 54
c) 36
d) 72
e) 108
1. Calcular “x”
a) 155º
b) 125º
c) 135º
d) 140º
e) 175º
2. Calcular “x”
a) 68º
b) 78º
c) 58º
d) 48º
e) 34º
3. Calcular :
º69CCC
º27CCCCC
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
30º+x
2x+25º
xº+40
3x-20º
xº
2xº xº
60º
º
49º
36º
º
A
E
B
65º
xº
F
C
D
B
A
C
D
E
xº
75º
130º
xº
º
º
46º
º
º
xº
2x- xº+ º
2xº

7. I.E “10214” LA RAMADA – SALAS MATEMÁTICA – 3 Secundaria
Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz-7-
4. Calcular :
º20CCCC
º140SSSS
a) 1 b) 2 c) 3
d) 5 e) 4
5. Calcular SSSCCCº
Si : CSS40º = º
a) 120º b) 130º c) 140º
d) 150º e) 160º
6. Calcular : SSSSSCCCCC
Si : SSSCC120º = 
a) 120º b) 130º c) 140º
d) 150º e) 160º
7. Del gráfico, calcular “”. Si: OM es bisectriz
del ∢AOB.
a) 10º
b) 20
c) 30
d) 15
e) 5
8. Calcular “x”; si : OP es bisectriz del ∢AOB.
a) 35º
b) 40
c) 75
d) 105
e) 125
9. Calcular el menor de dos ángulos
complementarios sabiendo que el mayor es el
doble del menor.
a) 30º b) 15º c) 45º
d) 35º e) 60º
10. Del gráfico, calcular “x”
a) 140
b) 120
c) 160
d) 170
e) 100
11. Hallar “x” e “y”.
a. 60º y 20º
b. 30º y 5º
c. 60º y 10º
d. 30º y 20º
e. 30º y 10º
12. Hallar : “” y “”
a) 5º y 30º
b) 20º y 15º
c) 20º y 30º
d) 10º y 15º
e) 5º y 15º
13. Calcular “x” ; m∢AOD = 102º
a) 27º
b) 36º
c) 34º
d) 50º
e) 64º
14. Hallar : “” ; x – y = 10º
a) 10º
b) 20º
c) 30º
d) 40º
e) 50º
20º
º
O B
M
A
A
P
B C
xº
40º
35º
o
xº
30º- 2
3y
4y
2y
2º 60º
A
B
DO
x-
x
C
x+
x
y


8. I.E “10214” LA RAMADA – SALAS MATEMÁTICA – 3 Secundaria
Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz-8-
ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS
PARALELAS Y UNA SECANTE
a) Ángulos Alternos :
(dº ; fº) ; (cº ; eº) ; (aº ; gº) ; (bº ; hº)
b) Ángulos Conjugados :
(dº ; eº) ; (cº ; fº) ; (aº ; hº) ; (bº ; gº)
c) Ángulos Correspondientes :
(aº ; eº) ; (bº ; fº) ; (dº ; hº) ; (cº ; gº)
a) Ángulos Alternos
b) Ángulos Conjugados
c) Ángulos Correspondientes
PROPIEDADES
a) Si : 21 LL
b) Si : 21 LL
aº
cºdº
bº
eº
gºhº
fº
L1
L2
Si : 21 LL
Internos Externos
Internos Externos
¡Tigrillo! En Áng.
Alternos recuerda la
“z” del zorro”.
º = º
º
º
L1
L2
¡Tigre! En Ángulos
Conjugados recuerda
la “c” de conjugados
º + º = 180º
º
º
L1
L2
¡Calichin!
Y en estos
ángulos recuerda
la “f” de fácil
º = º
º
º
L1
L2
L1
L2
xº
º
yº
zº
º
º
 xº + yº + zº = º + º + º
+
 xº = º + º
º
º
L1
L2
xº
ÁNGULOS III

9. I.E “10214” LA RAMADA – SALAS MATEMÁTICA – 3 Secundaria
Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz-9-
Práctica dirigida Nº 04
1. Calcular “x” ; si : 21 LL
a) 70º
b) 45
c) 30
d) 40
e) 50
2.-Calcular “x” ; si : 21 LL
a) 105º
b) 115
c) 125
d) 75
e) 45
3.-Calcular “x” , si : 21 LL
a) 70º
b) 80
c) 45
d) 55
e) 100
4.-Calcular “x” ; 21 LL
a) 110º
b) 100
c) 70
d) 120
e) 80
5.-Calcular “x” ; 21 LL
a) 15º
b) 30
c) 45
d) 36
e) 60
6.-Calcular“x” , 21 LL
a) 12º
b) 14
c) 15
d) 18
e) 20
7.-Calcular”x” ; 321 LLL
a) 110º
b) 100
c) 80
d) 130
e) 120
8.-Calcular “x” 321 LLL
a) 120º
b) 100
c) 80
d) 70
e) 110
9.-Calcular “x” ; 21 LL
a) 30º
b) 60
c) 90
d) 120
e) 100
10.-Calcular “x”; 21 LL
a) 30º
b) 60
c) 90
d) 100
e) 120
40º
L1
L2
xº
30º
xº
45º
L1
L2
60º
xº
55º L1
L2
45º
30º
L1
L2
xº
40º
L2
30º
2xº
30º
xº
40º
10º
L1
L1
L2
x
20
2x
40
2x 10
L1
L3
L2
100º
30º xº
L1
L3
L2
70º
10º xº
L1
L3
º
º
xº
º
º
º
xº
º
º
º

10. I.E “10214” LA RAMADA – SALAS MATEMÁTICA – 3 Secundaria
Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz-10-
Tarea Nº 04
1. Calcular ”x” ; si : 21 LL
a) 100º
b) 120
c) 70
d) 80
e) 110
2.-Calcular “x” ; si ; 21 LL
a) 70º
b) 60
c) 40
d) 30
e) 110
3.-Calcular “x” ; si : 321 LLL
a) 60º
b) 30
c) 90
d) 45
e) 120
4.-Calcular “x” ; si : 21 LL
a) 110º
b) 70
c) 140
d) 150
e) 170
5.-Calcular “x” ; si 21 LL
a) 90º
b) 45
c) 180
d) 75
e) 30
6.-Calcular “x” , Si : 321 LLL
a) 108º
b) 72
c) 36
d) 54
e) 144
7.-Calcular “x” ; si : 321 LLL
a) 45º
b) 50
c) 90
d) 36
e) 30
8.-Calcular “x”; 21 LL
a) 50º
b) 20
c) 80
d) 30
e) 40
9.-Calcular “x” 21 LL
a) 25º
b) 35
c) 55
d) 45
e) 20
10.-Calcular “x”; 21 LL
a) 50º
b) 45
c) 60
d) 120
e) 100
30 - º
40 +º
L1
L2
xº
L1
L3
L2
º
xº
2º
L1
L2
70º
xº
30º
xº
45º L1
L2
45º
40 - º
60 +º
L1
L2
xº
L1
L3
L2
2
xº
3
L3
º
3º
xº
L2
L1
30º
xº
L1
L2
80º
xº+º
50
º
50
º
xº-º
L1
L2
L1
L2
150º
xº
80º