Este documento describe las cuatro cónicas principales (circunferencia, elipse, parábola e hipérbola) y sus aplicaciones. Define cada cónica como la intersección de un cono y un plano bajo ciertos ángulos. Explica que la circunferencia es un caso particular de elipse y que estas tres cónicas tienen aplicaciones en óptica, arquitectura y para describir órbitas planetarias. La parábola se usa en antenas parabólicas, faros y hornos solares, mientras que la hipé

1. Daniel Montero Piedrahita
Vanessa Calambás
Daniel David Meléndez
Sebastián Henao Campo

2. Por definición, las cónicas son las curvas intersección entre un
cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se
obtienen las cónicas propiamente dichas.

3. Se conocen cuatro tipos de cónicas:

Circunferencia

Elipse

Parábola

Hipérbola

4. La circunferencia es la sección producida
por un plano perpendicular al eje.
β = 90º
La circunferencia es un caso particular de
elipse.

5. La circunferencia o circulo, es una figura muy común para nosotros, lo
vemos en todas partes, CD’s, vasos, decorado, la rueda, plafones, relojes,
etc…

6. La elipse es la sección producida en una
superficie cónica de revolución por un
plano oblicuo al eje, que no sea paralelo a
la generatriz y que forme con el mismo un
ángulo mayor que el que forman eje y
generatriz.
α < β <90º
La elipse es una curva cerrada.

7. Vemos elipses comúnmente en los objetos de uso cotidiano, en las
imágenes: el bordado de una maleta, un huevo, una bandeja, el diseño
de una cenefa, y un WC.

8. La parábola es la sección producida en
una superficie cónica de revolución por
un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a
la generatriz.
α=β
La parábola es una curva abierta que se
prolonga hasta el infinito.

9. La parábola es una figura bastante común en la estructura
arquitectónica colonial de nuestra ciudad, aquí vemos fotos de algunos
lugares históricos de la ciudad.

10. La hipérbola es la sección producida en
una superficie cónica de revolución por
un plano oblicuo al eje, formando con él
un ángulo menor al que forman eje y
generatriz, por lo que incide en las dos
hojas de la superficie cónica.
α>β
La hipérbola es una curva abierta que se
prolonga indefinidamente y consta de dos
ramas separadas.

11. No vemos mucho la hipérbola en las cosas comunes, pues está es más
usada para cálculos matemáticos y estudios físicos y astronómicos que
otra cosa. Sin embargo, aquí la foto de un adorno hecho en forja.

12. Desde la época en que Apolonio demostraba las propiedades que poseen las
curvas cónicas, descubrió que se destacaba la creación de espejos con forma de
sección cónica aplicando las propiedades de reflexión, obteniendo así los llamados
espejos elípticos, parabólicos o hiperbólicos. Incluso existe una leyenda en el cual
Arquímedes (287-212 a.C) logró incendiar las naves romanas defendiendo a
Siracusa usando un espejo parabólico gigante(a partir de saber de que si se recibe
luz de una fuente a distancia, como el Sol en este caso, los rayos incidentes serían
paralelos al eje del espejo).
En el siglo XVI, el matemático y filósofo René Descartes (1596-1650) desarrolló y
revolucionó la geometría con su Geometría Analítica, utilizando las curvas cónicas
como representación de ecuaciones de segundo grado en variables x e y,
aportando para ello también Jan de Witt(1629-1672).Las cónicas ayudan de
manera sustancial en la óptica (rama de la Física) por las propiedades de reflexión
que los espejos presentan y además, las formas que toman las orbitas de un
cuerpo celestial en el espacio sean elípticas y que la fuerza de gravedad tiene una
fuerza atrayente cuya trayectoria es la de una curva elíptica (descubierto por
Johannes Kepler y demostrado por Isaac Newton).

13. 


Aplicaciones de la elipse: Aparte de su utilidad en la física (ya explicada anteriormente),
tiene una importancia en la medicina ya que para la desintegración de cálculos renales se
utiliza un aparato llamado "litotriptor", usando un reflector elíptico para que concentre
las ondas de choque producidas por un generador de ondas en el cálculo. Asimismo, en
arquitectura, se construyen techos elipsoidales (llamados comúnmente capilla de los
secretos) donde se puede oír a una persona ubicada en un foco desde otro foco y la(s)
persona(s) que se encuentre(n) en el medio de los dos, no podrán escuchar nada.
Aplicaciones de la parábola: Su utilidad radica en el interés de converger o divergir haces
de luz o de sonido, como por ejemplo las antenas parabólicas, donde un satélite envía
información dirigida a la Tierra siendo los rayos perpendiculares a la directriz
dependiendo de la distancia a la que se encuentre el satélite. Luego, al reflejarse en el
plato de la antena, los rayos convergen en el foco en donde conectado a un receptor
decodifica la información. Esta propiedad es aplicada también en las lámparas sordas y
faros de automóviles, siendo los rayos de luz perpendiculares a la directriz y reflejados
por un paraboloide (parábola en 3 dimensiones), esta propiedad también se aplica a los
hornos solares, telescopios y algunos micrófonos utilizados en los deportes.
Aplicaciones de la hipérbola: Comparte propiedades similares a las del elipse, si se dirige
un haz de luz dirigida a un foco f se reflejará antes de llegar a él en la hipérbola en
dirección del foco f`, utilizado en los telescopios de tipo Cassegrain. Además el sistema de
navegación Loran (long range navigation, su acrónimo en inglés) utiliza la propiedad de
reflexión de la hipérbola (basándose en unas estaciones de radio maestra y otra
secundaria que son percibidas por un barco en altamar) y los cometas, que describen una
órbita hiperbólica, teniendo como foco al sol, saliendo de nuevo del sistema solar.