El documento describe las diferentes secciones cónicas (elipse, parábola, hipérbola, circunferencia) que se obtienen al cortar un cono con un plano en diferentes ángulos. Explica brevemente su historia y desarrollo a través de matemáticos griegos como Menaechmus, Euclides y Apolonio de Perga. También menciona ejemplos comunes donde ocurren estas curvas en la naturaleza.

1. ENTRARSALIR REGRESAR

2. Una superficie cónica esta
engendrada por el giro de una
recta g, generatriz, alrededor de
otra recta e, eje, con el cual se
corta en un punto V, vértice.
Sección cónica
Se denomina sección cónica a la
curva obtenida al interceptar un cono
con un plano que no pasa por su
vértice. En función de la relación
existente entre el ángulo de
conicidad (α) y la inclinación del
plano respecto del eje del cono (β),
pueden obtenerse diferentes secciones
cónicas.
Según sea la inclinación del plano que corta
al cono, se obtiene una Circunferencia, una
Parábola o una Elipse.
 Secciones
Cónicas
Circunferencia
Parábola
Elipse
Hiperbola
 Tranfondo
Histórico
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3. Plano
Lugar geométrico que se determina
con tres puntos no alineados. Posee
dos dimensiones: ancho y largo.
Cono
Es una Pirámide regular recta sólida
que tiene una base circular
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4. Menaechmus (Griego; 380 – 320 A.C.)
 Se le atribuye la primera definición de secciones cónicas, aunque
su trabajo no sobrevivió se conoce de estos a través de
referencias de otros.
 La definición utilizada en esos tiempos difiere de la utilizada
comúnmente hoy día, en que esta requiere que el plano que
interseca el cono sea perpendicular a la recta que genera al cono
como superficie de revolución.
 De esta manera, la forma de la cónica está determinada por el
ángulo formado en el vértice del cono.
Si el ángulo es agudo, entonces la cónica es un elipse.
Si el ángulo es recto, entonces la cónica es una parábola.
Si el ángulo es obtuso, entonces la cónica es una hipérbola.
Note que el círculo no puede ser definido en esta forma,
razón por la cual no era considerado una cónica en ese
entonces.
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5. Euclides de Alejandría (Griego; 325 - 265 A.C.)
Se dice que escribió cuatro libros sobre cónicas, pero estos
también se extraviaron.
Arquímedes (Griego; 287 – 212 A.C.)
Estudió las cónicas determinando el área acotada por una
parábola y una elipse.
La única parte de su trabajo que sobrevivió es un libro sobre
los sólidos de revolución de cónicas.
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6. Apolonio de Perga (Griego; 262 – 190 A.C.)
Se le atribuye el mayor progreso en el estudio de secciones
cónicas, cuyos ocho volúmenes Secciones Cónicas resumía el
conocimiento existente en la época y expandía el mismo.
Su mayor innovación fue el caracterizar una cónica utilizando
propiedades dentro del plano e intrínsecas a la curva.
Gracias a esto, ahora es posible mostrar que cualquier plano
que interseque el cono, sin importar su ángulo, producirá una
cónica según la definición previa, llevando a la definición
utilizada comúnmente hoy día.
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7. Pappus de Alejandría (Griego; 290 – 350)
Se le acredita el descubrimiento de la importancia del
concepto del foco de una sección cónica y el descubrimiento
del concepto relacionado de la directriz.
Omar Khayyám (Persa, 1048 – 1123)
Matemático y poeta que trabajó con las obras de Apolonio,
luego de estas ser traducidas al árabe, y utilizó las secciones
cónicas para resolver ecuaciones algebraicas.
Johann Kepler (Alemán; 1571 – 1630)
Extendió la teoría de las cónicas a través del “principio de
continuidad”, un precursor del concepto de límites.
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8. Girard Desargues (Francés; 1591 – 1661) y Blaise Pascal
(Francés; 1623 – 1662)
Desarrollaron una teoría de cónicas utilizando una forma previa
de geometría proyectiva y esto ayudó a propiciar un interés en
el estudio de este nuevo campo.
Pascal, en particular, descubrió un teorema conocido como el
“Hexagrammum Mysticum” del cual se deducen otras
propiedades de las cónicas.
René Descartes (Francés, 1596 – 1650)
Aplicó su recién descubierta Geometría Analítica al estudio de
las cónicas. Esto tuvo el efecto de reducir los problemas
geométricos de las cónicas a problemas en álgebra.
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9. Cónica que se obtiene cuando el plano secante no es
perpendicular al eje de la superficie cónica corta a todas
las generatrices y no pasa por el vértice.
Ocurrencia de la elipse
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10. Cualquier cilindro
cortado en un ángulo
revelará un elipse
(ejemplo El Planetario
Tycho Brahe en
Copenhagen)
Si se inclina un vaso
de agua la superficie
del líquido adquirirá la
forma de un elipse.
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11. En el siglo 17, Johann
Kepler descubrió que
cada planeta viaja
alrededor del sol en
una órbita elíptica con
el Sol como uno de
sus focos.
Las órbitas de la Luna
y satélites artificiales
de la Tierra también
son elípticas, como lo
son las trayectorias de
cometas en órbitas
permanentes alrededor
del sol.
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12. Los elipses tienen una propiedad
importante que es utilizada en la
reflexión de luz y ondas de sonido.
Cualquier luz o señal que comienza en
uno de sus focos será reflejada al otro
foco.
Otros ejemplos:
St. Paul’s Cathedral en Lóndres
Statuary Hall en Washignton DC
Parque de los Deseos en
Medellín, Colombia.
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13. Cónica que se obtiene cuando el plano secante es perpendicular
al eje de la superficie cónica, corta a todas las generatrices y no
pasa por el vértice.
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14. Cónica que se obtiene cuando el plano secante no es
perpendicular al eje de la superficie cónica, paralelo a una
generatriz y no pasa por el vértice.
Ocurrencia de la parábola
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15. Una de las mejores
aproximaciones de la
naturaleza a las parábolas
es la trayectoria de objetos
lanzados hacia arriba y
atraídos hacia el suelo por
la fuerza de gravedad.
Este descubrimiento
ocurrido en el siglo 17, por
Galileo, hizo posible que
las personas que
manejaban cañones
trabajar en tipo de
trayectoria de una bala de
cañón de acuerdo con el
ángulo de inclinación.
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16. Las parábolas exhiben unas
propiedades muy útiles.
Si una luz es colocada en el
foco de un espejo parabólico,
esta será reflejada en rayos
paralelos al eje de simetría de la
parábola.
El principio opuesto es utilizado
en los espejos gigantes en
telescopios refractivos y en
antenas utilizadas para recoger
ondas de luz y de radio del
espacio.
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17. Cónica que se obtiene cuando el plano es paralelo al eje
de la superficie cónica y no pasa por el vértice.
Ocurrencia de la hipérbola
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18. Si un cono recto circular es
intersecado por un plano
paralelo a su eje, parte de
una hipérbola es formada.
Tales intersecciones pueden
ocurrir en situaciones tan
simples como sacarle punta a
un lápiz o en los patrones
formados en una pared por
una lámpara.
Una explosión sónica de una
onda de choque tiene la
forma de un cono y esta
interseca el suelo en una
hipérbola.
Esta toca todos los puntos en
la curva al mismo tiempo, así
que personas en diferentes
lugares a lo largo de la curva
en el suelo lo oirán al mismo
tiempo.
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