Este documento presenta una introducción a la transformada de Fourier y calcula la transformada de Fourier para varias funciones como pulsos rectangulares y triangulares, funciones exponenciales, oscilaciones amortiguadas, funciones de Gauss y la función delta de Dirac. Explica que la transformada de Fourier descompone una función en sus componentes de frecuencia y que la transformada inversa reconstruye la función original a partir de esas componentes.

1. Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Escuela: Ing. De Sistema
Transformada de Fourier
Isabel Guevara
C.I.: 25.786.903

2. Transformada de Fourier
Para una función no periódica P-->∞
• F(ω)=∫−∞∞f(t)e−iωtdt f(t)=12π∫−∞∞F(ω)eiωtdω
La primera integral que obtiene F(ω) se denomina
transformada de Fourier de f(t), y la segunda se
denomina transformada inversa de Fourier.
El cuadrado f2(t) nos da una idea de cómo la
energía contenida en la onda se distribuye en el
tiempo, mientas que F2(ω) nos da una idea de como
la energía se distribuye en el espectro de frecuencias.
Naturalmente.
• ∫−∞∞|f(t)|2dt=∫−∞∞|F(ω)|2dω

3. Pulso rectangular
Sea un pulso rectangular tal que f(t) es cero excepto
en el intervalo [-a,a] que vale A, tal como se muestra
en la figura
La transformada de Fourier de f(t) vale
• F(ω)=∫−∞∞f(t)exp(−iωt)⋅dtF(ω)=∫−aaAexp(−iωt)⋅dt=2
Aωsin(ωa).
Transformada de Fourier

4. Pulso triangular
f(t)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪1+ta −a≤t<01−ta 0≤t<a0
otros t
La transformada de Fourier es
F(ω)=∫−∞∞f(t)exp(−iωt)dt=∫−a0(1+ta)exp(−i
ωt)dt+∫0a(1−ta)exp(−iωt)dt=4sin2(ωa/2)aω
2
Transformada de Fourier

5. Función exponencial
Transformada de Fourier de la función f(t)=Aexp(-γ|t|)
Primero, calculamos la transformada de Fourier de
la función f(t)=Aexp(-γt)·u(t). La integración de f(t) se
extiende entre 0 e ∞
• F(ω)=∫0∞Ae−γte−iωtdt=∫0∞Aexp(−(γ+iω)t)dt=−Aγ+iωe
xp(−(γ+iω)t)∣∣∞0=Aγ+iω γ>0
A continuación, tenemos en cuenta la propiedad de
la transformada de Fourier de la función f(-t) es F(-ω),
la transformada de las dos exponenciales es la suma
• F(ω)=Aγ+iω+Aγ−iω=A2γγ2+ω2
Transformada de Fourier

6. Oscilación amortiguada
En este ejemplo calculamos la trasnformada de Fourier
de la función que describe una oscilación amortiguada
que parte del instante t=0.
• f(t)=exp(−γt)cos(ω0t)
Escribimos f(t) en forma equivalente y calculamos su
transformada de Fourier
• f(t)=12exp(−γt)(exp(iω0t)+exp(−iω0t))F(ω)=∫−∞∞f(t)ex
p(−iωt)dt=12⎛⎝⎜∫0∞exp(−γt−i(ω−ω0)t)dt+∫0∞exp(−γt
−i(ω+ω0)t)dt⎞⎠⎟=12(exp(−γt−i(ω−ω0)t)−γ−i(ω−ω0)+
exp(−γt−i(ω+ω0)t)−γ−i(ω+ω0))∞0=12(1γ+i(ω−ω0)+1γ
+i(ω+ω0))=12(γ−i(ω−ω0)γ2+(ω−ω0)2+γ−i(ω+ω0)γ2+(
ω+ω0)2)
Transformada de Fourier

7. Función de Gauss
La función de Gauss es una de las
funciones más importantes, se define
• f(x)=1σ2π−−√exp(−(x−μ)22σ2)
donde μ es la media y σ es la desviación
estándar de acuerdo con su interpretación
estadística.
Transformada de Fourier

8. Función delta de Dirac δ(t)
La función delta de Dirac tiene la siguiente definición
• δ(t)={0 t≠0∞ t=0∫−∞∞δ(t)⋅dt=1∫−∞∞f(t)δ(t−a)⋅dt=f(a)
La podemos considerar como una función de Gauss
cuyo parámetro σ tiende a cero
• f(t)=1σ2π√exp(−t22σ2)limf(t,σ)σ→0=δ(t)
Vamos ahora a calcular la transformada inversa de
Fourier de la función delta de Dirac.
• F(ω)=2π⋅δ(ω−ω0)f(t)=∫−∞∞δ(ω−ω0)exp(−iωt)dt=exp(−
iω0t)∫ω+0ω−0δ(ω−ω0)dt=exp(−iω0t)
• F(ω) es cero para todos los valores de ω, excepto
para ω=ω0. El área bajo la curva δ(ω-ω0) es la unidad.
Transformada de Fourier