El documento calcula (a) los momentos de inercia y (b) los productos de inercia de un cubo de arista a tomados respecto a los ejes x, y, z que coinciden con las tres aristas del cubo. Se encuentra que los momentos de inercia respecto a los ejes x, y, z son todos 2/3a5ρ y que los productos de inercia Ixy, Ixz e Iyz son todos -1/4a5ρ, donde ρ es la densidad de masa.

1. Encontrar a) los momentos de inercia , y b) los productos de inercia de un
cubo de arista a tomados con respecto a los ejes x, y, z que coinciden con las
tres aristas del cubo que se intersectan.
Suponiendo que la densida de masa es constante. El momento de inercia
respecto al eje x es:
Ixx =
R
r2dm
donde r2 es la distancia al eje x, y dm = dv con la densidad de masa
volúmetrica.
Ixx =
R
y2 + z2
dv
= Ixx =
R
y2 + z2
dxdydz
=
R
y2 + z2
dydz
=
R
dx
R
y2 + z2
dydz(x)
donde las integrales
tienen limites de integración de 0 a a
R
y2 + z2
dydz(a)
= a
R
y2 + z2
dydz
= a
R
y3
3 + yz2
dz =
a
R
a3
3 + az2
dz
= a
a3
3 z + az3
3
= a
a3
3 a + aa3
3
= 2
3a5
Respecto al eje y el momento de inercia es Iyy =
R
x2 + z2
dxdydz
de
manera similar al paso anterior el momento de inercia da:
Iyy = 2
3a5
y el moemnto R
de
inercia respecto
al eje z es
Izz =
y2 + z2
dxdydz
Izz = 2
3a5
b) Para calcualr los productos de inercia basta con calcualr Ixy, Ixz e Iyz ya
que Ixy = Iyx, Ixz = Izx, Iyz = Izy
Ixy =
R
((xy) dv) =
R R R
xydxdydz =
R R
xydxdy(z) =
R R
xydxdy(a)
= a
R R
xydxdy = a
R
xy2
2 dx = a
R
xa2
dx = 2 ax2
2
a2
2
= 2 aa2
a2
2 =
a5
4
Ixz =
R
((xz) dv) =
R R R
xzdxdydz = a5
4
Iyz =
R
((yz) dv) =
R R R
yzdxdydz = a5
4
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