Este documento define los conceptos de error, exactitud y precisión en métodos numéricos. Explica que los métodos numéricos dan sólo aproximaciones debido a limitaciones como la capacidad finita de los computadores. Define error verdadero, error relativo verdadero y error relativo aproximado. Además, explica cómo escoger un umbral de error para obtener una cantidad aproximada de cifras significativas.

1. Métodos Numéricos
Definiciones de Error
Angel Vázquez-Patiño
angel.vazquezp@ucuenca.edu.ec
Facultad de Ingeniería
Universidad de Cuenca
31 de marzo de 2021

2. Definiciones de Error Angel Vázquez-Patiño 2/31
Objetivos
1. Entender la definición de error

3. Definiciones de Error Angel Vázquez-Patiño 3/31
Contenido
Introducción
Cifras significativas
Exactitud y precisión
Definiciones de error

4. Definiciones de Error Angel Vázquez-Patiño 4/31
Introducción

5. Definiciones de Error Angel Vázquez-Patiño 5/31
Introducción
●
Los métodos numéricos dan sólo una
aproximación
●
En ingeniería no siempre es posible obtener
una solución analítica
●
Se debe aproximar (también) los errores

6. Definiciones de Error Angel Vázquez-Patiño 6/31
Introducción
La perfección es imposible

7. Definiciones de Error Angel Vázquez-Patiño 7/31
Introducción

8. Definiciones de Error Angel Vázquez-Patiño 8/31
Introducción
La perfección es imposible
¿Qué tanto error hay?
¿Es tolerable?

9. Definiciones de Error Angel Vázquez-Patiño 9/31
Introducción
Errores
●
Errores de redondeo
– Capacidad finita del computador
●
Errores de truncamiento
– Utilización finita de términos
●
Otros errores
– Modelización
– Datos

10. Definiciones de Error Angel Vázquez-Patiño 10/31
Cifras significativas

11. Definiciones de Error Angel Vázquez-Patiño 11/31
Cifras significativas
●
Confiabilidad de los valores numéricos
●
Las cifras significativas de un número son
aquellas que pueden utilizarse en forma
confiable
0.56
50.26

12. Definiciones de Error Angel Vázquez-Patiño 12/31
Cifras significativas
●
Los ceros no siempre son significativos
– Ubican el separador de decimales
– 0.0000001548, 0.001523
– 0.25, 0.000000056
●
Ceros en números grandes
– 240000
– Para dejar claras las cifras significativas se usa
notación científica
– 2.4×105, 2.40×105, 2.400×105

13. Definiciones de Error Angel Vázquez-Patiño 13/31
Cifras significativas
Implicaciones en Métodos Numéricos
1) Los métodos dan aproximaciones
●
Hay que desarrollar criterios de exactitud
●
Scarborough, 1966
2) Capacidad finita del computador
●
e = 2.718281828459045
●
Error de redondeo

14. Definiciones de Error Angel Vázquez-Patiño 14/31
Exactitud y Precisión

15. Definiciones de Error Angel Vázquez-Patiño 15/31
Exactitud y precisión
Exactitud
●
Qué tan cercano está el valor calculado del
valor verdadero
●
Da idea del error del método/modelo/medición
●
Inexactitud ≡ Sesgo
Precisión
●
Qué tan cercanos están los valores calculados,
unos de otros (determinísticos vs estocásticos)
●
Imprecisión ≡ Incertidumbre

16. Definiciones de Error Angel Vázquez-Patiño 16/31
Exactitud y precisión

17. Definiciones de Error Angel Vázquez-Patiño 17/31
Exactitud y precisión

18. Definiciones de Error Angel Vázquez-Patiño 18/31
Exactitud y precisión
Los métodos deben ser …
●
… lo más exactos para que den valores
apegados a los reales y cumplir requisitos de
un problema de ingeniería
●
… lo más precisos para tener confianza en que
los valores generalmente produzcan valores
apegados a los reales

19. Definiciones de Error Angel Vázquez-Patiño 19/31
Definiciones de error

20. Definiciones de Error Angel Vázquez-Patiño 20/31
Definiciones de error
●
Se presentan del uso de aproximaciones de los
métodos numéricos
●
Errores de redondeo
– Números con límite de cifras significativas para
representar números exactos
●
Errores de truncamiento
– Aproximaciones en el procedimiento matemático
exacto

21. Definiciones de Error Angel Vázquez-Patiño 21/31
Error verdadero
Valor verdadero = valor aproximado + error v.

22. Definiciones de Error Angel Vázquez-Patiño 22/31
Error relativo verdadero

23. Definiciones de Error Angel Vázquez-Patiño 23/31
¿Cómo tener el valor verdadero x?
●
Analíticamente
●
No posible en aplicaciones reales

24. Definiciones de Error Angel Vázquez-Patiño 24/31
Error relativo aproximado

25. Definiciones de Error Angel Vázquez-Patiño 25/31
Error relativo aproximado absoluto
●
Umbral para detener las iteraciones
●
Parar cuando

26. Definiciones de Error Angel Vázquez-Patiño 26/31
¿Cómo escoger εs
?
●
Se puede relacionar el umbral con el número
de cifras significativas en la aproximación
●
Para tener al menos n cifras significativas

27. Definiciones de Error Angel Vázquez-Patiño 27/31
¿Cómo escoger εs
?
Cifras Tolerancia
significativas
1 0.05
2 0.005
3 0.0005
4 5e-05
5 5e-06
6 5e-07

28. Definiciones de Error Angel Vázquez-Patiño 28/31
Conceptos y términos importantes

29. Definiciones de Error Angel Vázquez-Patiño 29/31
Conceptos y términos importantes
●
Limitaciones de los computadores
●
Cifras significativas en los números
●
Exactitud vs precisión
●
Definiciones de error
●
Umbral para tener un número con una dada
cantidad (aproximada) de cifras significativas

30. Definiciones de Error Angel Vázquez-Patiño 30/31
Referencias
●
Chapra, S.C., Canale, R.P., 2015. Métodos
numéricos para ingenieros, 7th ed. McGraw-Hill
Education, México.
●
Quarteroni, A., Saleri, F., Gervasio, P., 2014.
Scientific Computing with MATLAB and Octave,
4th ed, Texts in Computational Science and
Engineering. Springer Berlin Heidelberg, Berlin,
Heidelberg.

31. Definiciones de Error Angel Vázquez-Patiño 31/31
Preguntas