El documento describe conceptos fundamentales de cálculo como derivadas, velocidad, aceleración y sus aplicaciones. Explica cómo usar derivadas para calcular la velocidad y aceleración de un objeto que se mueve en línea recta, y define aceleración promedio e instantánea. También cubre derivadas de orden superior, funciones crecientes/decrecientes, y criterios para encontrar extremos locales usando derivadas de primer y segundo orden.
Las diapositivas que usted podra observar contiene la fundamentacion de la derivada con la teoria de limites, con la recta tangente. luego se muestran algunos ejemplo y por ultimo las Reglas de derivación ... atentamente el Docente.
Las diapositivas que usted podra observar contiene la fundamentacion de la derivada con la teoria de limites, con la recta tangente. luego se muestran algunos ejemplo y por ultimo las Reglas de derivación ... atentamente el Docente.
Repùblica bolivariana de venezuela ministerio del poder popular
1. Repùblica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la
Educación Superior Universidad tecnológica
“Antonio José de sucre
Estado-Lara.
Erasmo josè toledo.
Junio 2015
2. Aplicar Derivadas en el Cálculo de Velocidad y Aceleración de un
Objeto que se Mueve en Línea Recta
• Supóngase que una partícula que se mueve a
lo largo del eje x a una velocidad vi al tiempo
ti, y una velocidad vf tiempo tf, como se
muestra en la figura
3. • Decimos:
• a) Una "partícula" que se mueve de P a Q tiene velocidad vi en t = ti
y velocidad vf en t = tf.
• b) Grafica velocidad-tiempo para la partícula moviéndose en una
línea recta.
• La pendiente de la línea recta que conecta P y Q es la aceleración
promedio en el intervalo de tiempo ∆t= tf - ti.
• La aceleración promedio de la partícula en el intervalo de tiempo t
= tf - ti
• se define como el cociente v/ t, donde v = vf-vi es el cambio de la
velocidad en este intervalo de tiempo:
4. • La aceleración tiene dimensiones de longitud dividida por (tiempo)2,
o L/T2.
• Algunas de las unidades comunes de aceleración son metros por
segundo por segundo (m/s2) y pies por segundo por segundo
(pies/s2).
• De la misma forma que con la velocidad se pueden emplear los
signos positivo y negativo para indicar la dirección de la aceleración
cuando el movimiento que se analiza es unidimensional.
• En algunas situaciones el valor de la aceleración promedio puede
ser diferente sobre intervalos de tiempo distintos.
• Por ese motivo, es útil definir la aceleración instantánea como el
límite de la aceleración promedio cuando t se acerca a cero.
• Este concepto es similar a la definición de velocidad instantánea
estudiado, la aceleración instantánea será:
• (2.3.3)
5. • Es decir, la aceleración instantánea es igual a la
derivada de la velocidad respecto del tiempo, la cual
por definición, es la pendiente de la gráfica velocidad-
tiempo
• Se puede interpretar la derivada de la velocidad
respecto del tiempo como la tasa de cambio de la
velocidad. Si a es positiva, la aceleración está en la
dirección x positiva, pero, si a es negativa indica que la
aceleración está en la dirección x negativa.
• A partir de ahora se empleará el término aceleración
con el significado de aceleración instantánea.
• Puesto que v = dx/dt, la aceleración también puede
escribirse:
6. •
• (2.3.4)
• La aceleración instantánea puede obtenerse de la gráfica
velocidad-tiempo.
• a) En cada instante, la aceleración en la gráfica a contra t.
• b) Iguala la pendiente de la línea tangente a la curva de v contra
t.
• Es decir, en un momento unidimensional, la aceleración es igual a
la segunda derivada de la coordenada x en relación con el tiempo.
• La aceleración en cualquier tiempo es la pendiente de la gráfica
velocidad-tiempo en ese tiempo.
•
7. Funciones implícita
• Una correspondencia o una función está definida en forma
implícita cuando no aparece despejada la y sino que la
relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos
incógnitas cuyo segundo miembro es cero. Y cuando
hablamos:
• Derivadas de funciones implícitas. Decimos que Para hallar
la derivada en forma implícita no es necesario despejar y.
Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas
vistas hasta ahora y teniendo presente que:
• x'=1.
• En general y'≠1.
• Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.
8. Derivada de Orden Superior
• Sea f(x) una función diferenciable, entonces se dice que f '(x) es la
primera derivada de f(x). Puede resultar f '(x) ser una función
derivable, entonces podríamos encontrar su segunda derivada, es
decir f(x). Mientras las derivadas cumplan ser funciones continuas y
que sean derivables podemos encontrar la n-ésima derivada. A
estas derivadas se les conoce como derivadas de orden superior.
• Si la derivada de la derivada de una función se conoce como
segunda derivada de la función, es decir, si f(x) es una función y
existe su primera derivada f´(x), en el caso de que se pueda
obtener, la derivada de la función obtenida de aplicar la derivada se
le llama segunda derivada:
9. • de manera similar se puede obtener las
derivadas de mayor orden, sin embargo es
necesario aclarar que las derivadas de una
función dependen de las características de la
función y es posible, y frecuentemente
sucede, que algunas derivadas existen pero no
para todos los órdenes pese a que se puedan
calcular con las formulas. Es necesario
considerar los teoremas expuestos en la
sección de los teoremas.
10.
11. • Las notaciones usuales utilizadas para derivadas de segundo orden
son:
12. Para derivadas de orden superior es de forma
similar, así por ejemplo tendríamos las
siguientes derivadas:
15. FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE
• Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al
tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1 y
x2, con la condición x1 £ x2, se verifica que
• f( x1 ) < f( x2 ).
• Se dice estrictamente creciente si de x1 < x2 se
deduce que f(x1) < f(x2).
• Una función es decreciente en un intervalo [a,b]
si para cualesquiera puntos del intervalo, x1 y x2,
que cumplan x1 £ x2, entonces f(x1 ) ³ f(x2 ).
• Siempre que de x1 < x2 se deduzca f(x1 ) > f(x2 ),
la función se dice estrictamente decreciente.
16. Criterio de la Primera Derivada para
Extremos Relativos
• Se llama Criterio de la primera derivada al
método o teorema utilizado frecuentemente en
el cálculo matemático para determinar
los mínimos y máximos relativos que pueden
existir en una función mediante el uso de la
primera derivada o derivada principal, donde se
observa el cambio de signo, en un intervalo
abierto señalado que contiene al punto crítico .
• Si hablamos del Criterio de la Primera Derivada
decimos Sea f una función en c:
17. • f(c) es un máximo relativo de f si existe un intervalo
(a,b) que contiene a c tal que f(x) es menor o igual a
f(c) para todo x en (a,b).
• f(c) es un mínimo relativo de f si existe un intervalo
(a,b) que contiene a c tal que f(x) es mayor o igual f(c)
para todo x en (a,b).
• decimos que la teorema Si f tiene un máximo relativo
o un mínimo relativo cuando x = c, entonces:
• f’(c) = 0, ó
• f’(c) no está definida
• Esto es, c es un número crítico (valor crítico) de f.
18. • Notas:
• 1) El teorema anterior afirma que si una
función f tiene un máximo o mínimo relativo
en x = c, c tiene que ser un número crítico
(valor crítico) de f.
• 2) Los puntos críticos son los únicos en los
que pueden aparecer los extremos relativos
(máximos y mínimos relativos). Esto significa,
que no todo punto crítico va a ser un máximo
o mínimo relativo.
19. Concavidad y Criterio de la derivada
Segunda
• Hablamos de Concavidad cuando f presenta
concavidad positiva en x=a si existe un E*a /
para todo x perteneciente al E*a f(x) > f'(a)(x-
a) + f(a).
20. • La función presenta concavidad positiva en el
punto a si, en un entorno reducido de a, la
gráfica de f está "por encima" de la recta
tangente a f(x) en el punto a.
• f presenta concavidad negativa en x=a si existe
un E*a / para todo x perteneciente al E*a f(x)
< f'(a)(x-a) + f(a).
21. •
•
• La función presenta concavidad negativa en el
punto a si, en un entorno reducido de a, la gráfica
de f está "por debajo" de la recta tangente a f(x)
en el punto a.
•
22. • Decimos que la Derivada segunda de una
función f(x) a la derivada de la derivada de dicha
función. Notación: f''(x).
Este concepto se puede extender a la derivada
n-ésima de una función.
26. Formas Indeterminadas
• Estas expresiones se encuentran con
frecuencia dentro del contexto del límite de
funciones y, más generalmente, del cálculo
infinitesimal y el análisis real.
• El hecho de que dos funciones f y g se
acerquen ambas a cero cuando x tiende a
algún punto de acumulación c no es
información suficiente para evaluar el límite
27. • Dicho límite puede converger a cualquier
valor, puede converger a infinito o puede no
existir, dependiendo de las funciones f y g.
Notas del editor
Notas:
1) El teorema anterior afirma que si una función f tiene un máximo o mínimo relativo en x = c, c tiene que ser un número crítico (valor crítico) de f.
2) Los puntos críticos son los únicos en los que pueden aparecer los extremos relativos (máximos y mínimos relativos). Esto significa, que no todo punto crítico va a ser un máximo o mínimo relativo.