Desigualdades

2. DESIGUALDADES
Diego Sandoval
Departamento de Matem´aticas, F´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. DESIGUALDADES
DESIGUALDADES
TRICOTOM´IA DE LOS N ´UMEROS REALES
la propiedad de tricotom´ıa establese que daods dos numeros reales a y b,
solo se tiene una de las siguientes tres posibilidades:
a = b, a < b, a > b
Se establese entonces una relaci´on de orden entre los n´umeros reales:
3 < 5, 3 es menor que 5
7 > −2, 7 es mayor que -2
2 ≤ 5, 2 es menor que o igual a 5
4 ≥ −1, 3 es mayor que o igual a -1

4. DESIGUALDADES
INECUACIONES
INECUACIONES
Una inecuaci´on es una desigualdad en la que hay una o mas cantidades
desconocidas (inc´ognitas) y que s´olo se verifica para determinados valores de
las inc´ognitas. Por comodidad, a las inecuaciones tambi´en se les llama
Desigualdades.
EJEMPLOS
3x + 4 < 10
−2x + 3 ≤ 5
3x2 + 5 > 2x − 8
√
2x + 3 ≥ 3x + 5

5. DESIGUALDADES
INTERVALOS
Sean a y b dos n´umeros reales con a < b.
Un intervalo cerrado, denotado por [a, b], consiste en todos los n´umeros
reales x para los cuales a ≤ x ≤ b.
Un intervalo abierto, denotado por (a, b), consiste en todos los n´umeros
reales x para los cuales a < x < b.
Los intervalos semiabiertos o semicerrados son (a, b] que consiste en
todos los n´umeros reales x para los que a < x ≤ b, y [a, b) que consiste
en todos los n´umeros reales x para los que a ≤ x < b.
INFINITO
El s´ımbolo ∞ (le´ıdo “infinito”) no es un n´umero real, sino un artificio de
notaci´on usado para indicar que no hay l´ımite en la direcci´on positiva. El
s´ımbolo −∞ (le´ıdo “infinito negativo”) tampoco es un n´umero real, sino un
artificio de notaci´on usado para indicar que no hay l´ımite en la direcci´on
negativa.
[a, ∞) consiste en todos los n´umeros reales para los que x ≥ a

6. DESIGUALDADES
EJERCICIOS
Reescribir las siguientes desigualdades en notaci´on de intervalos:
3 ≤ x ≤ 10
−4 ≤ x ≤ 2
x > 3
x < −15
2 ≤ x < ∞
∞ < x < ∞
Eescribir los siguientes intervalos como desigualdades:
[3, 7]
(−103, 2)
[3, 5)
(−83, 7]
[3, ∞)
(−∞, 1]

7. DESIGUALDADES
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
Sumar la misma cantidad a cada lado de una desigualdad da una desigualdad
equivalente:
A < B ⇔ A + C < B + C
Restar la misma cantidad de cada lado de una desigualdad da una desigualdad
equivalente.
A < B ⇔ A − C < B − C
Multiplicar cada lado de una desigualdad por la misma cantidad positiva da
una desigualdad equivalente:
A < B ⇔ CA < CB, C > 0

8. DESIGUALDADES
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
Multiplicar cada lado de una desigualdad por la misma cantidad negativa
invierte la direcci´on de la desigualdad.
A < B ⇔ CA > CB, C < 0
Tomar rec´ıprocos de cada lado de una desigualdad que contenga cantidades
positivas, invierte la direcci´on de la desigualdad.
A < B ⇔
1
A
>
1
B
, A, B > 0
Las desigualdades se pueden sumar.
Si A < B, y C < D ⇔ A + C < B + D

9. DESIGUALDADES
SOLUCI ´ON DE DESIGUALDADES LINEALES
Resuelva la desigualdad 3x < 9x + 4
Aplicamos las propiedades mencionadas anteriormente
3x < 9x + 4
3x − 9x < 9x + 4 − 9x
−6x < 4
−1
6
(−6x) >
−1
6
(4)
x >
−2
3
Si escribimos la soluci´on en notaci´on de intervalos, obtenemos: x ∈ −2
3 , ∞

10. DESIGUALDADES
EJERCICIOS
Solucionar las siguientes desigualdades:
3x + 11 ≤ 6x + 8
6 − x ≥ 2x + 9
1
2
x + 2 < −
2
3
2 ≤ x + 5 < 4
1
6
<
2x − 13
12
≤
2
3
(x + 2)(x − 3) < 0
x2 + 5x + 6 ≥ 0
x2 < 4
|2x| < 7
|8x + 3| > 12