Determinantes

1. Conjuntos inicial y final Orden 1
Orden 2
.
Orden 3
. . .
Definiciones Desarrollo por fila o columna
. . . .
.
. Determinantes
Autor: Gonzalo Rueda
Colegio Ntra. Sra. del Buen Consejo

2. Conjuntos inicial y final Orden 1
Orden 2
.
Orden 3
. . .
Definiciones Desarrollo por fila o columna
. . . .
Esquema
1. Conjuntos inicial y final
2. Orden 1
3. Orden 2
Regla de Sarrus n = 2
4. Orden 3
Elementos que no cambian de signo
Elementos que cambian de signo
Ejemplo
5. Definiciones
Menor complementario
Adjunto
Matriz adjunta
6. Desarrollo por fila o columna

3. Conjuntos inicial y final Orden 1
Orden 2
.
Orden 3
. . .
Definiciones Desarrollo por fila o columna
. . . .
Conjuntos inicial y final
.
.Dominio
.
El determinante es una función cuyo dominio es Mnn. El
determinante se calcula solo de las matrices cuadradas.
.
.Recorrido
.
El resultado del determinante, si la matriz está formada por
números reales, en general será también un número real.
j j : Mnn ! R
A ! j A j
.
.Notación
.
Para indicar que se está calculando el determinante de una
matriz A, se puede indicar jAj o también det(A)

4. Conjuntos inicial y final Orden 1
Orden 2
.
Orden 3
. . .
Definiciones Desarrollo por fila o columna
. . . .
Observación importante
.
Peligro
.
No hay que confundir
.
0
@
4 3 10
5 7 1
3 2 4
1
A
con

10. 4 3 10
5 7 1
3 2 4

17. Conjuntos inicial y final Orden 1
Orden 2
.
Orden 3
. . .
Definiciones Desarrollo por fila o columna
. . . .
Determinante de orden 1
.
.Definición
.
j a11 j = a11

18. Conjuntos inicial y final Orden 1
Orden 2
.
Orden 3
. . .
Definiciones Desarrollo por fila o columna
. . . .
Determinante de orden 1
.
.Definición
.
j a11 j = a11
.
Peligro
.
.
No hay que confundir el determinante de orden uno con el
valor absoluto de un número.

19. Conjuntos inicial y final Orden 1
Orden 2
.
Orden 3
. . .
Definiciones Desarrollo por fila o columna
. . . .
Determinante de orden 1
.
.Definición
.
j a11 j = a11
.
Peligro
.
.
No hay que confundir el determinante de orden uno con el
valor absoluto de un número.
.
Example
.
.
j 5 j = 5

20. Conjuntos inicial y final Orden 1
Orden 2
.
Orden 3
. . .
Definiciones Desarrollo por fila o columna
. . . .
Regla de Sarrus n = 2
Determinante de orden 2
.
.Definición
.

24. a11 a12
a21 a22

28. = a11a22 a12a21
.

29. Conjuntos inicial y final Orden 1
Orden 2
.
Orden 3
. . .
Definiciones Desarrollo por fila o columna
. . . .
Regla de Sarrus n = 2
Determinante de orden 2
.
.Definición
.

33. a11 a12
a21 a22

37. = a11a22 a12a21
.
La diagonal secundaria se cambia de signo

38. Conjuntos inicial y final Orden 1
Orden 2
.
Orden 3
. . .
Definiciones Desarrollo por fila o columna
. . . .
Regla de Sarrus n = 2
Determinante de orden 2
.
.Definición
.

42. a11 a12
a21 a22

46. = a11a22 a12a21
La diagonal secundaria se cambia de signo
.
Example
.
.
.

50. 5 3
2 4

54. = 5 4 + 2 3 = 26

55. Conjuntos inicial y final Orden 1
Orden 2
.
Orden 3
. . .
Definiciones Desarrollo por fila o columna
. . . .
Elementos que no cambian de signo
Determinante de orden 3

61. a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

67. .
Se realizan los productos de los elementos marcados de
tres en tres.
El último grupo se ha marcado con círculos por claridad.
Se suman los resultados parciales.

68. Conjuntos inicial y final Orden 1
Orden 2
.
Orden 3
. . .
Definiciones Desarrollo por fila o columna
. . . .
Elementos que no cambian de signo
Determinante de orden 3

74. a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

80. .
Se realizan los productos de los elementos marcados de
tres en tres.
El último grupo se ha marcado con círculos por claridad.
Se suman los resultados parciales.

81. Conjuntos inicial y final Orden 1
Orden 2
.
Orden 3
. . .
Definiciones Desarrollo por fila o columna
. . . .
Elementos que no cambian de signo
Determinante de orden 3

87. a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

93. .
Se realizan los productos de los elementos marcados de
tres en tres.
El último grupo se ha marcado con círculos por claridad.
Se suman los resultados parciales.

94. Conjuntos inicial y final Orden 1
Orden 2
.
Orden 3
. . .
Definiciones Desarrollo por fila o columna
. . . .
Elementos que no cambian de signo
Determinante de orden 3

100. a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

106. .
Se realizan los productos de los elementos marcados de
tres en tres.
El último grupo se ha marcado con círculos por claridad.
Se suman los resultados parciales.

107. Conjuntos inicial y final Orden 1
Orden 2
.
Orden 3
. . .
Definiciones Desarrollo por fila o columna
. . . .
Elementos que no cambian de signo
Determinante de orden 3

113. a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

119. .
Se realizan los productos de los elementos marcados de
tres en tres.
El último grupo se ha marcado con círculos por claridad.
Se suman los resultados parciales.

120. Conjuntos inicial y final Orden 1
Orden 2
.
Orden 3
. . .
Definiciones Desarrollo por fila o columna
. . . .
Elementos que no cambian de signo
Determinante de orden 3

126. a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

132. .
Se realizan los productos de los elementos marcados de
tres en tres.
El último grupo se ha marcado con círculos por claridad.
Se suman los resultados parciales.

133. Conjuntos inicial y final Orden 1
Orden 2
.
Orden 3
. . .
Definiciones Desarrollo por fila o columna
. . . .
Elementos que cambian de signo
Determinante de orden 3

139. a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

145. .
Se realizan los productos de los elementos marcados de
tres en tres.
El último grupo se ha marcado con círculos por claridad.
Se suman los resultados parciales cambiando el signo.

146. Conjuntos inicial y final Orden 1
Orden 2
.
Orden 3
. . .
Definiciones Desarrollo por fila o columna
. . . .
Elementos que cambian de signo
Determinante de orden 3

152. a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

158. .
Se realizan los productos de los elementos marcados de
tres en tres.
El último grupo se ha marcado con círculos por claridad.
Se suman los resultados parciales cambiando el signo.

159. Conjuntos inicial y final Orden 1
Orden 2
.
Orden 3
. . .
Definiciones Desarrollo por fila o columna
. . . .
Elementos que cambian de signo
Determinante de orden 3

165. a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

171. .
Se realizan los productos de los elementos marcados de
tres en tres.
El último grupo se ha marcado con círculos por claridad.
Se suman los resultados parciales cambiando el signo.

172. Conjuntos inicial y final Orden 1
Orden 2
.
Orden 3
. . .
Definiciones Desarrollo por fila o columna
. . . .
Elementos que cambian de signo
Determinante de orden 3

178. a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

184. .
Se realizan los productos de los elementos marcados de
tres en tres.
El último grupo se ha marcado con círculos por claridad.
Se suman los resultados parciales cambiando el signo.

185. Conjuntos inicial y final Orden 1
Orden 2
.
Orden 3
. . .
Definiciones Desarrollo por fila o columna
. . . .
Elementos que cambian de signo
Determinante de orden 3

191. a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

197. .
Se realizan los productos de los elementos marcados de
tres en tres.
El último grupo se ha marcado con círculos por claridad.
Se suman los resultados parciales cambiando el signo.

198. Conjuntos inicial y final Orden 1
Orden 2
.
Orden 3
. . .
Definiciones Desarrollo por fila o columna
. . . .
Elementos que cambian de signo
Determinante de orden 3

204. a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

210. .
Se realizan los productos de los elementos marcados de
tres en tres.
El último grupo se ha marcado con círculos por claridad.
Se suman los resultados parciales cambiando el signo.

211. Conjuntos inicial y final Orden 1
Orden 2
.
Orden 3
. . .
Definiciones Desarrollo por fila o columna
. . . .
Ejemplo
Determinante de orden 3
.
Example
.
.

217. 5 3 2
2 4 5
2 2 3

223. = 60 + 30 8 + 16 + 18 + 50 = 166

224. Conjuntos inicial y final Orden 1
Orden 2
.
Orden 3
. . .
Definiciones Desarrollo por fila o columna
. . . .
Menor complementario
Menor complementario
Sea A 2 Mnn y sea aij el elemento situado en la fila i y
columna j.
.
.Definición
.
Se llama menor complementario del elemento aij , al
determinante de la matriz resultante de eliminar la fila i y
la columna j.
Al menor complementario se le denotará mij
.
Example
.
.
A =
0
@
1
A ) m32 =
1 4 2
1 3 6
4 0 4

228. 1 2
1 6

232. = 6 + 2 = 8

233. Conjuntos inicial y final Orden 1
Orden 2
.
Orden 3
. . .
Definiciones Desarrollo por fila o columna
. . . .
Adjunto
Adjunto
Sea A 2 Mnn y sea aij el elemento situado en la fila i y
columna j.
.
.Definición
.
Se llama adjunto del elemento aij a su menor
complementario mij multiplicado por un signo ( + o - )
El signo depende de la posición del elemento en la matriz:
si i+j es par, es +1, si i+j es impar es -1. También se llama
a ese signo signatura o signo de paridad
Al adjunto de aij se le denotará como Aij
Aij = (1)i+j mij

234. Conjuntos inicial y final Orden 1
Orden 2
.
Orden 3
. . .
Definiciones Desarrollo por fila o columna
. . . .
Adjunto
Adjunto
.
Example
.
A =
.
0
@
1 4 2
1 3 6
4 6 4
1
A ) A23 =

238. 1 4
4 6

242. = (6 16) = 22

243. Conjuntos inicial y final Orden 1
Orden 2
.
Orden 3
. . .
Definiciones Desarrollo por fila o columna
. . . .
Matriz adjunta
Matriz adjunta
Sea A 2 Mnn
.
.Definición
.
A la matriz formada por los adjuntos de los elementos aij ,
se la llama matriz adjunta de A
A la matriz adjunta se la denotará por adj(A)
.
Example
.
.
A =
0
@
1 4 2
1 3 6
4 6 4
1
A ) adj(A) =
0
@
24 28 18
28 4 22
30 8 1
1
A

244. Conjuntos inicial y final Orden 1
Orden 2
.
Orden 3
. . .
Definiciones Desarrollo por fila o columna
. . . .
Desarrollo
Cualquier determinante se puede desarrollar sumando el
producto de cada elemento de una fila ( o columna ) por su
adjunto
Por ejemplo, si desarrollamos por la segunda columna:

250. 3 1 2
2 5 2
1 3 2

256. = (1) A12 + 5 A22 + 3 A32 =
(+1)

260. 2 2
1 2

264. + 5

268. 3 2
1 2

272. 3

276. 3 2
2 2

280. =
4 + 2 + 5(6 2) 3(6 4) = 12
.