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CAPITULO 1
CINEMÁTICA DE PARTÍCULAS Y
CUERPOS RÍGIDOS
DOCENTE:
JUAN PABLO CHUQUIN VASCO

DINÁMICA
CAPÍTULO 1: CINEMÁTICA DE PARTÍCULAS Y CUERPOS RÍGIDOS
INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA

DINÁMICA
INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA
La mecánica es una rama de las ciencias físicas que se ocupa del estado
de reposo o movimiento de cuerpos sometidos a la acción de fuerzas.
Como parte de la mecánica se tiene la DINÁMICA, la cual se ocupa del
movimiento acelerado de un cuerpo.
La DINÁMICA se presenta en dos partes:
CINEMÁTICA
• La cual trata solo los aspectos
geométricos del movimiento.
CINÉTICA
• Analiza las fuerzas que provocan el
movimiento.

DINÁMICA
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

DINÁMICA
CINEMÁTICA RECTILÍNEA
Para el estudio de la cinemática de la partícula, se tienen que
considerar los siguientes aspectos:
Una partícula tiene masa pero su tamaño y forma
son insignificantes.
Por lo tanto, se estudia aquellos objetos
cuyas dimensiones no afecten el análisis del
movimiento.
La cinemática de una partícula se caracteriza al especificar, en
cualquier instante su:
Posición Velocidad Aceleración
POSICIÓN (s)
Es la ubicación de una partícula en
un instante dado. Es una cantidad
vectorial puesto que tiene
magnitud y dirección.
El desplazamiento de una partícula
se define como el cambio de su
posición.
∆𝑠 = 𝑠’ − s
Hay que distinguir el desplazamiento de la distancia que recorre la
partícula. La distancia recorrida representa la longitud total de la
trayectoria a lo largo de la cual viaja la partícula.

DINÁMICA
VELOCIDAD (v)
Si la partícula recorre una distancia Δs durante un intervalo Δt, su
velocidad promedio durante este intervalo es:
𝑣𝑝𝑟𝑜𝑚 =
∆𝑠
∆𝑡
Si se toman valores de Δt cada vez más pequeños, la magnitud de Δs se
reduce cada vez más, por lo tanto, la velocidad instantánea es:
𝑣 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
Si la partícula se mueve a la derecha, la velocidad es positiva, si se
mueve hacia la izquierda, la velocidad es negativa.
A veces se utiliza el término de rapidez promedio, la cual siempre es un
valor positivo y se define como la distancia total recorrida por una
partícula 𝑠𝑇, dividida entre el tiempo transcurrido Δt, es decir:
𝑣𝑟𝑎𝑝 𝑝𝑟𝑜𝑚
=
𝑠𝑇
∆𝑡
Por ejemplo, la partícula de la figura viaja a lo largo de la trayectoria de
longitud 𝑠𝑇 en el tiempo Δt, por lo tanto:
• Su rapidez promedio es:
𝑣𝑟𝑎𝑝 𝑝𝑟𝑜𝑚
=
𝑠𝑇
∆𝑡
• Su velocidad promedio es:
𝑣𝑝𝑟𝑜𝑚 =
∆𝑠
∆𝑡

DINÁMICA
ACELERACIÓN (a)
Siempre que se conoce la velocidad de la partícula en dos puntos, su
aceleración promedio durante el intervalo Δt se define como:
𝑎𝑝𝑟𝑜𝑚 =
∆𝑣
∆𝑡
Δv = v´ - v
La aceleración instantánea es igual a:
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑣 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
Por lo tanto:
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑠
𝑑𝑡
𝑑𝑡
=
𝑑 𝑑𝑠
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑎 =
𝑑2
𝑠
𝑑𝑡2
Sabemos que:
𝑣 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
𝑑𝑡 =
𝑑𝑠
𝑣
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑑𝑡 =
𝑑𝑣
𝑎
𝑑𝑠
𝑣
=
𝑑𝑣
𝑎
𝑎. 𝑑𝑠 = 𝑣. 𝑑𝑣

DINÁMICA
Cuando la aceleración es constante, se tiene lo siguiente:
VELOCIDAD COMO UNA FUNCIÓN DEL TIEMPO:
Sabemos que:
𝑎𝑐 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑑𝑣 = 𝑎𝑐. 𝑑𝑡 න
𝑣0
𝑣
𝑑𝑣 = න
0
𝑡
𝑎𝑐. 𝑑𝑡 ൩
𝑣
𝑣0
𝑣
= 𝑎𝑐. ൩
𝑡
0
𝑡
𝒗 = 𝒗𝟎 + 𝒂𝒄. 𝒕
POSICIÓN COMO UNA FUNCIÓN DEL TIEMPO:
Sabemos que:
𝑣 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
𝑑𝑠 = 𝑣. 𝑑𝑡 න
𝑠0
𝑠
𝑑𝑠 = න
0
𝑡
𝑣. 𝑑𝑡 න
𝑠0
𝑠
𝑑𝑠 = න
0
𝑡
𝒗𝟎 + 𝒂𝒄. 𝒕 . 𝑑𝑡 ൩
𝑠
𝑠0
𝑠
= ቏
𝒗𝟎. 𝑡 +
1
2
𝒂𝒄. 𝑡2
0
𝑡
𝒔 = 𝒔𝟎 + 𝒗𝟎. 𝑡 +
1
2
𝒂𝒄. 𝑡2

DINÁMICA
VELOCIDAD COMO UNA FUNCIÓN DE POSICIÓN
Sabemos que:
𝒂𝒄. 𝑑𝑠 = 𝑣. 𝑑𝑣 න
𝑠0
𝑠
𝒂𝒄. 𝑑𝑠 = න
𝑣0
𝑣
𝑣. 𝑑𝑣 𝑎𝑐. ൩
𝑠
𝑠0
𝑠
= ቏
𝑣2
2
𝑣0
𝑣
𝑎𝑐 𝑠 − 𝑠0 =
𝑣2
− 𝑣0
2
2
𝒗𝟐
= 𝒗𝟎
𝟐
+ 𝟐𝒂𝒄 𝒔 − 𝒔𝟎

DINÁMICA
Para el análisis de la cinemática rectilínea se deben tomar en cuenta los siguientes puntos:
Una partícula que reduce el paso está desacelerando.
La velocidad promedio es el desplazamiento dividido entre el tiempo.
La rapidez promedio es la distancia total recorrida, dividida entre el tiempo total.
La rapidez se refiere a la magnitud de la velocidad.

DINÁMICA
EJERCICIO 1
EJERCICIO 2
EJERCICIO 3
EJERCICIO 4
EJERCICIO 5

DINÁMICA
MOVIMIENTO CURVILÍNEO
El movimiento curvilíneo ocurre cuando una partícula se desplaza a lo
largo de una trayectoria curva, como esta trayectoria a menudo se
describe en tres dimensiones, se usa análisis vectorial para formular la
posición, velocidad y aceleración de una partícula.
POSICIÓN (r)
Si la partícula está en el punto (x, y, z) de la trayectoria curva s mostrada
en la figura, entonces el vector de posición define su posición:
𝒓 = 𝑥𝒊 + 𝑦𝒋 + 𝑧𝒌
En cualquier instante la magnitud
de r es:
𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
Y la dirección de r se especifica por el vector unitario: 𝑢𝑟 =
𝒓
𝑟
VELOCIDAD (v)
La primera derivada con respecto al tiempo de r proporciona la velocidad
de la partícula:
𝒗 =
𝑑𝒓
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑥𝒊 +
𝑑
𝑑𝑡
𝑦𝒋 +
𝑑
𝑑𝑡
𝑧𝒌
Donde:
𝑑
𝑑𝑡
𝑥𝒊 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝒊 + 𝑥
𝑑𝒊
𝑑𝑡
𝑑
𝑑𝑡
𝑦𝒋 =
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝒋 + 𝑦
𝑑𝒋
𝑑𝑡
𝑑
𝑑𝑡
𝑧𝒌 =
𝑑𝑧
𝑑𝑡
𝒌 + 𝑧
𝑑𝒌
𝑑𝑡
0 0 0
Estos términos son cero ya que la referencia x, y, z está fija y por
consiguiente la dirección y la magnitud de i no cambia con el tiempo.

DINÁMICA
Sabemos que:
𝑑
𝑑𝑡
𝑥𝒊 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝒊 + 𝑥
𝑑𝒊
𝑑𝑡
𝑑
𝑑𝑡
𝑦𝒋 =
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝒋 + 𝑦
𝑑𝒋
𝑑𝑡
𝑑
𝑑𝑡
𝑧𝒌 =
𝑑𝑧
𝑑𝑡
𝒌 + 𝑧
𝑑𝒌
𝑑𝑡
0 0 0
Por lo tanto:
𝑑
𝑑𝑡
𝑥𝒊 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝒊
𝑑
𝑑𝑡
𝑦𝒋 =
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝒋
𝑑
𝑑𝑡
𝑧𝒌 =
𝑑𝑧
𝑑𝑡
𝒌
𝑑
𝑑𝑡
𝑥𝒊 = 𝑣𝑥𝒊
𝑑
𝑑𝑡
𝑦𝒋 = 𝑣𝑦𝒋
𝑑
𝑑𝑡
𝑧𝒌 = 𝑣𝑧𝒌
𝒗 =
𝑑𝒓
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑥𝒊 +
𝑑
𝑑𝑡
𝑦𝒋 +
𝑑
𝑑𝑡
𝑧𝒌
𝒗 =
𝑑𝒓
𝑑𝑡
= 𝑣𝑥𝒊 + 𝑣𝑦𝒋 + 𝑣𝑧𝒌
Donde:
𝑣𝑥 = ሶ
𝑥
𝑣𝑦 = ሶ
𝑦
𝑣𝑧 = ሶ
𝑧
La notación ሶ
𝑥 , ሶ
𝑦 , ሶ
𝑧
representa las primeras
derivadas de:
𝑥 = 𝑥 𝑡
𝑦 = 𝑦 𝑡
𝑧 = 𝑧(𝑡)
La magnitud de la velocidad se termina como:
𝑣 = 𝑣𝑥
2
+ 𝑣𝑦
2
+ 𝑣𝑧
2
Y la dirección de v se especifica por el vector unitario: 𝑢𝑣 =
𝒗
𝑣
Como se muestra en la figura,
esta dirección siempre es
tangente a la trayectoria.

DINÁMICA
ACELERACIÓN (a)
La primera derivada con respecto al tiempo de v proporciona la velocidad
de la partícula o, la segunda derivada con respecto al tiempo de r.
𝒂 =
𝑑𝒗
𝑑𝑡
= 𝑎𝑥𝒊 + 𝑎𝑦𝒋 + 𝑎𝑧𝒌
Donde:
𝑎𝑥 = ሶ
𝑣𝑥 = ሷ
𝑥
𝑎𝑦 = ሶ
𝑣𝑦 = ሷ
𝑦
𝑎𝑧 = ሶ
𝑣𝑧 = ሷ
𝑧
La magnitud de la aceleración se termina como:
𝑎 = 𝑎𝑥
2
+ 𝑎𝑦
2
+ 𝑎𝑧
2
Y la dirección de a se especifica por el vector unitario: 𝑢𝑎 =
𝒂
𝑎
Como a representa el cambio tanto de la magnitud como de la
dirección de la velocidad, a no será tangente a la trayectoria.

DINÁMICA
Para el análisis cinemático del movimiento curvilíneo se deben tomar en cuenta los siguientes criterios:
Las componentes a lo largo de cada uno de los ejes no cambian de dirección, solo
su magnitud y sentido cambiarán.
El vector de aceleración no es tangente a la trayectoria.
El vector de velocidad siempre es tangente a la trayectoria.
El movimiento curvilíneo hace que cambie tanto la magnitud como la dirección
de los vectores de posición, velocidad y aceleración.

DINÁMICA
EJERCICIO 6
EJERCICIO 7

DINÁMICA
MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL
En este movimiento existe una combinación de movimiento horizontal y
movimiento vertical y la única fuerza que actúa en el proyectil es su
peso, el cual hace que proyectil tenga una aceleración dirigida hacia
abajo constante, la cual es igual a la gravedad.
Por lo tanto, 𝑎𝑥 = 0 𝑦 𝑎𝑦 = 𝑔 = 9.81𝑚/𝑠2
= 32.2 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠2
MOVIMIENTO HORIZONTAL
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑐. 𝑡
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0. 𝑡 +
1
2
𝑎𝑐. 𝑡2
𝑣2
= 𝑣0
2
+ 2𝑎𝑐 𝑥 − 𝑥0
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0 𝑥. 𝑡
𝑣𝑥 = 𝑣0 𝑥
𝑣𝑥 = 𝑣0 𝑥
La velocidad en X permanece constante durante todo el movimiento.
MOVIMIENTO VERTICAL
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑐. 𝑡
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0. 𝑡 +
1
2
𝑎𝑐. 𝑡2
𝑣2
= 𝑣0
2
+ 2𝑎𝑐 𝑥 − 𝑥0
𝑣𝑦 = 𝑣0 𝑦 − 𝑔. 𝑡
𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0 𝑦. 𝑡 −
1
2
𝑔. 𝑡2
𝑣𝑦
2
= 𝑣0 𝑦
2
− 2𝑔 𝑦 − 𝑦0

DINÁMICA
MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL
EJERCICIO 8
EJERCICIO 9
EJERCICIO 10

DINÁMICA
ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO DEPENDIENTE DE DOS PARTÍCULAS
En algunos casos el movimiento de una partícula dependerá del
movimiento correspondiente de otra partícula.
Por ejemplo, el movimiento del
bloque A hacia abajo del plano
inclinado provocará un movimiento
correspondiente del bloque B hacia
arriba del otro plano inclinado.
Tiene un sentido positivo de C a A y
de D a B.
Si la longitud total de la cuerda es 𝑙𝑇, las coordenadas de posición están
relacionadas por la siguiente ecuación:
𝑙𝑇 = 𝑆𝐴 + 𝑙𝐶𝐷 + 𝑆𝐵
En este caso 𝑙𝐶𝐷 es la longitud de la cuerda que pasa sobre el arco CD y
también hay que tomar en cuenta que 𝑙𝐶𝐷 y 𝑙𝑇 permanecen constantes.
Si derivados la expresión anterior con respecto al tiempo se tiene:
𝑙𝑇
𝑑𝑡
=
𝑑𝑆𝐴
𝑑𝑡
+
𝑑𝑙𝐶𝐷
𝑑𝑡
+
𝑑𝑆𝐵
𝑑𝑡
0 =
𝑑𝑆𝐴
𝑑𝑡
+
𝑑𝑆𝐵
𝑑𝑡
0 = 𝑣𝐴 + 𝑣𝐵
𝑣𝐴 = −𝑣𝐵
Del mismo modo, si derivados la velocidad con respecto al tiempo se
tiene:
𝑎𝐴 = −𝑎𝐵
0 0

DINÁMICA
Analizando el siguiente ejemplo, en el cual se desprecian las longitudes de arco de las poleas se tiene:
𝑆𝐵 + 𝑆𝐵 + ℎ + 𝑆𝐴 = 𝑙𝑇
2𝑆𝐵 + ℎ + 𝑆𝐴 = 𝑙𝑇
Si derivados la expresión anterior con respecto al tiempo y se toma en cuenta que es positivo a la
derecha para 𝑆𝐴 y positivo hacia abajo para 𝑆𝐵 se tiene:
𝑑2𝑆𝐵
𝑑𝑡
+
𝑑ℎ
𝑑𝑡
+
𝑑𝑆𝐴
𝑑𝑡
=
𝑑𝑙𝑇
𝑑𝑡
∴ 2𝑣𝐵 = −𝑣𝐴
∴ 2𝑎𝐵 = −𝑎𝐴
Por lo tanto, cuando B se mueve hacia abajo, A lo hace a la izquierda.
0 0

DINÁMICA
EJERCICIO 11
EJERCICIO 12
EJERCICIO 13
EJERCICIO 14

DINÁMICA
CINEMÁTICA DEL CUEPO RÍGIDO

DINÁMICA
MOVIMIENTO PLANO
El movimiento plano de un cuerpo rígido ocurre cuando todas sus
partículas se desplazan a lo largo de trayectorias equidistantes de un
plano fijo. Existen tres tipos de movimiento plano de un cuerpo rígido:
TRASLACIÓN
Este tipo de movimiento ocurre cuando una línea en el cuerpo permanece
paralela a su orientación original durante todo el movimiento.
Cuando las trayectorias del
movimiento de dos puntos
del cuerpo son líneas
paralelas, el movimiento se
llama traslación rectilínea.
Si las trayectorias del
movimiento se desarrollan a lo
largo de líneas curvas
equidistantes el movimiento
se llama traslación curvilínea.
Traslación
Rotación alrededor de un eje fijo
Movimiento plano general

DINÁMICA
MOVIMIENTO PLANO
ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE FIJO
Cuando un cuerpo rígido gira alrededor de un eje fijo, todas sus
partículas, excepto las que quedan en el eje de rotación, se mueven a
lo largo de trayectorias circulares.
MOVIMIENTO PLANO GENERAL
Cuando un cuerpo se somete a un movimiento plano general,
experimenta una combinación de traslación y rotación. La traslación
se presenta en un plano de referencia y la rotación ocurre alrededor
de un eje perpendicular al plano de referencia.

DINÁMICA
MOVIMIENTO PLANO

DINÁMICA
MOVIMIENTO PLANO - TRASLACIÓN
Para el análisis se considera un cuerpo rígido sometido a traslación
rectilínea o a traslación curvilínea en el plano x – y.
POSICIÓN
La posición de B con respecto a A está denotada por el vector de posición
relativa 𝒓𝑩/𝑨 (r de B con respecto a A), lo cual, por suma vectorial se
tiene:
𝑟𝐴 + 𝑟𝐵/𝐴 = 𝑟𝐵
VELOCIDAD
La velocidad es la misma en todos los
puntos del cuerpo rígido, por lo tanto:
𝑉𝐵 = 𝑉𝐴
ACELERACIÓN
Si se deriva la velocidad con respecto al
tiempo se tiene:
𝑎𝐵 = 𝑎𝐴
Estas dos ecuaciones
indican que todos los
puntos en cuerpo rígido
sometidos a traslación
rectilínea o curvilínea se
mueven con la misma
velocidad y aceleración.

DINÁMICA
MOVIMIENTO PLANO – ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE FIJO
Cuando un cuerpo gira alrededor de un eje fijo, cualquier punto P
localizado en él se desplaza a lo largo de una trayectoria circular.
MOVIMIENTO ANGULAR
Considere el cuerpo de la figura, tiene un
movimiento angular de una línea radial r
localizada en el plano sombreado.
POSICIÓN ANGULAR
En el instante mostrado, la posición angular
de r está definida por el ángulo Ө, medido
desde una línea de referencia fija hasta r.
DESPLAZAMIENTO ANGULAR
El cambio de posición angular dӨ se llama
desplazamiento angular y se lo mide en
grados, radianes o revoluciones.
Se debe tomar en cuenta que: 1 𝑟𝑒𝑣 = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑
La dirección se la determina con la regla de la mano derecha, es decir,
los dedos de esta mano se curvan en el sentido de rotación, de modo
que en este caso el pulgar, o dӨ apuntan hacia arriba.

DINÁMICA
VELOCIDAD ANGULAR
El cambio con respecto al tiempo de la posición angular se conoce
como velocidad angular (𝝎) y suele medirse en rad/s.
𝜔 =
𝑑𝜃
𝑑𝑡
ACELERACIÓN ANGULAR
La aceleración angular (𝜶) mide el cambio con respecto al tiempo de la
velocidad angular.
𝛼 =
𝑑𝜔
𝑑𝑡
=
𝑑2
𝜃
𝑑𝑡2
La línea de acción de 𝜶 es la misma que la de 𝝎, sin embargo, su
sentido de dirección depende de si 𝝎 se incrementa o decrece.
Si 𝝎 decrece, entonces 𝜶 se llama desaceleración angular y por
consiguiente su dirección se opone a 𝝎.
La velocidad angular (𝝎) y la aceleración angular (𝜶) se relacionan con
la siguiente ecuación:
𝛼 𝑑𝜃 = 𝜔 𝑑𝜔

DINÁMICA
ACELERACIÓN ANGULAR CONSTANTE
Si la aceleración angular de un cuerpo rígido es constante se tienen las
siguientes fórmulas que relacionan la velocidad angular, la posición
angular de un cuerpo y el tiempo.
𝜔 = 𝜔0 + 𝛼𝑐𝑡
𝜃 = 𝜃0 + 𝜔0𝑡 +
1
2
𝛼𝑐𝑡2
𝜔2
= 𝜔0
2
+ 2𝛼𝑐 𝜃 − 𝜃0
En donde, 𝜃0 y 𝜔0 son los valores iniciales de la posición angular y la
velocidad angular del cuerpo, respectivamente.
Tomar siempre en cuenta que en estas ecuaciones la aceleración
angular es CONSTANTE.

DINÁMICA
MOVIMIENTO DE UN PUNTO
Posición y desplazamiento
Si el cuerpo gira 𝑑𝜃 entonces P se
desplazará:
𝑑𝑠 = 𝑟 𝑑𝜃
Velocidad
𝑣 = 𝜔𝑟
La dirección de 𝑣 es tangente a la
trayectoria circular.
Vectorialmente:
V = 𝜔 x 𝑟𝑝
Aceleración
Puede expresarse en función de sus componentes normal y
tangencial:
𝑎𝑡 = 𝛼𝑟
𝑎𝑛 = 𝜔2
𝑟
Tangencial
Normal
Puesto que 𝑎𝑡 y 𝛼𝑛 son
perpendiculares entre si, se tiene:
𝑎 = 𝑎𝑛
2
+ 𝑎𝑡
2

DINÁMICA
EJERCICIO 15
EJERCICIO 16

CAPITULO 2
CINÉTICA DE LAS PARTÍCULAS
Y CUERPOS RÍGIDOS
DOCENTE:

DINÁMICA
CAPÍTULO 2: CINÉTICA DE LAS PARTÍCULAS Y CUERPOS RÍGIDOS
CINÉTICA DE LAS PARTÍCULAS

DINÁMICA
FUERZA Y ACELERACIÓN
La cinética se ocupa de la relación entre el cambio de movimiento de
un cuerpo y las fuerzas que lo provocan.
La base de la cinética es la segunda ley de Newton, la cual establece:
“Que cuando una fuerza desbalanceada actúa en una partícula, ésta se
acelerará en la dirección de la fuerza con una magnitud que es
proporcional a ésta”
Si la masa de la partícula es m, la segunda ley del movimiento de
Newton se escribe en forma matemática como:
𝐹 = 𝑚. 𝑎
Fuerza Aceleración
Masa
Análogamente sabemos que:
𝑊 = 𝑚. 𝑔
Peso Gravedad
Masa
9.81
𝑚
𝑠2
= 32.2
𝑝𝑖𝑒𝑠
𝑠2
En el sistema SI la masa de un cuerpo se especifica en kilogramos y el
peso se calcula con la ecuación anterior.
𝑊 = 𝑚. 𝑔 𝑁 (𝑔 = 9.81𝑚/𝑠2
)
En el sistema FPS (pies-libras-segundo) el peso de un cuerpo se
especifica en libras. La masa se mide en slugs, por lo tanto se calcula
con la siguiente ecuación:
𝑚 =
𝑊
𝑔
𝑠𝑙𝑢𝑔 (𝑔 = 32.2 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠2
)

DINÁMICA
ECUACIÓN DE MOVIMIENTO
Cuando más de una fuerza actúa en una partícula, la fuerza resultante
se determina por medio de la suma de todas las fuerzas, por lo tanto, la
ecuación de movimiento se escribe como:
෍ 𝐹 = 𝑚. 𝑎
Considere la partícula mostrada en la siguiente figura, con masa m y
sometida a la acción de dos fuerzas 𝑭𝟏 𝑦 𝑭𝟐:
Gráficamente se puede tener en cuenta la magnitud y dirección de
cada una de las fuerzas que actúan en la partícula si se dibuja un
diagrama de cuerpo libre de la partícula. Como la resultante de estas
fuerzas produce el vector m.a, su magnitud y dirección se representa
gráficamente en el diagrama cinético.

DINÁMICA
Cuando una partícula se mueve con respecto a x, y, z las fuerzas que
actúan en la partícula, lo mismo que su aceleración, pueden expresarse
en función de sus componentes i, j, k.
෍ 𝐹𝑥 = 𝑚. 𝑎𝑥
෍ 𝐹𝑦 = 𝑚. 𝑎𝑦
෍ 𝐹𝑧 = 𝑚. 𝑎𝑧

DINÁMICA
EJERCICIO 1
EJERCICIO 2
EJERCICIO 3
EJERCICIO 4
EJERCICIO 5

DINÁMICA
TRABAJO Y ENERGÍA

DINÁMICA
TRABAJO Y ENERGÍA
TRABAJO DE UNA FUERZA
Una fuerza F realizará trabajo en una partícula sólo cuando ésta sufra
un desplazamiento en la dirección de la fuerza.
En la figura la partícula se mueve
una distancia dr por lo tanto, la
componente de la fuerza que
actúa para realizar el trabajo es
F.CosӨ. Por lo tanto el trabajo
realizado por F es una cantidad
escalar definida por:
𝑑𝑈 = 𝐹 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝑠
Distancia
Fuerza
Trabajo
Por definición del producto punto esta ecuación también puede
escribirse como:
𝑑𝑈 = 𝐹 . 𝑑𝑟
TRABAJO DE UNA FUERZA VARIABLE
Si la partícula en la que actúa una fuerza F sobre un desplazamiento
finito a lo largo de su trayectoria de 𝑟1 𝑎 𝑟2 o de 𝑠1 𝑎 𝑠2, el trabajo
realizado por la fuerza F sería igual a:
𝑈1−2 = න
𝑟1
𝑟2
𝐹 . 𝑑𝑟 = න
𝑠1
𝑠2
𝐹 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝑠 𝐽 = 𝑁. 𝑚
Por lo tanto, el área bajo la gráfica limitada por 𝑠1 𝑦 𝑠2 representa el
trabajo total:

DINÁMICA
TRABAJO Y ENERGÍA
TRABAJO DE UNA FUERZA CONSTANTE QUE SE MUEVE A LO LARGO DE
UNA LÍNEA RECTA
Si la magnitud de la fuerza Fc es constante y actúa a un ángulo
constante Ө, el trabajo realizado por la partícula cuando se desplaza de
𝑠1 𝑦 𝑠2 es:
𝑈1−2 = 𝐹 𝑐𝑜𝑠𝜃 න
𝑠1
𝑠2
𝑑𝑠 = 𝐹 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠2 − 𝑠1 𝐽 = 𝑁. 𝑚
Aquí el trabajo realizado por Fc representa el área del rectángulo.
TRABAJO DE UN PESO
Considere una partícula de peso W, el cual se desplaza a lo largo de
una trayectoria de la posición 𝑠1 𝑎 𝑠2. En un punto intermedio, el
desplazamiento es 𝑑𝑟 = 𝑑𝑥𝒊 + 𝑑𝑦𝒋 + 𝑑𝑧𝒌 y 𝑊 = −𝑊𝒋, por lo tanto:
𝑈1−2 = න 𝐹. 𝑑𝑟 = න
𝑟1
𝑟2
−𝑊𝒋 . 𝑑𝑥𝒊 + 𝑑𝑦𝒋 + 𝑑𝑧𝒌
𝑈1−2 = න
𝑦1
𝑦2
−𝑊 𝑑𝑦 = −𝑊 𝑦2 − 𝑦1
𝑈1−2 = −𝑊 ∆𝑦 𝐽 = 𝑁. 𝑚

DINÁMICA
TRABAJO Y ENERGÍA
TRABAJO DE UNA FUERZA DE RESORTE
Si un resorte elástico se alarga una distancia ds, entonces el trabajo
realizado por la fuerza que actúa en la partícula es:
𝑑𝑈 = −𝐹𝑠 𝑑𝑠 = −𝑘𝑠 𝑑𝑠
El trabajo es negativo ya que Fs actúa en sentido opuesto a ds. Si la
partícula se desplaza de 𝑠1 𝑎 𝑠2 se tiene:
𝑈1−2 = න
𝑠1
𝑠2
−𝐹𝑠 𝑑𝑠 = න
𝑠1
𝑠2
−𝑘𝑠 𝑑𝑠
𝑈1−2 = −
1
2
𝑘𝑠2
2
−
1
2
𝑘𝑠1
2
Este trabajo representa el área trapezoidal bajo la línea 𝐹𝑠 = 𝑘𝑠.

DINÁMICA
TRABAJO Y ENERGÍA
EJERCICIO 6

DINÁMICA
TRABAJO Y ENERGÍA
PRINCIPIO DE TRABAJO Y ENERGÍA
Considere la partícula de la figura, la cual tiene una masa m y se está
sometida a un sistema de fuerzas externas, representado por: 𝐹𝑅 = σ 𝐹 ,
por lo tanto, la ecuación de movimiento de la partícula en la dirección
tangencial es:
෍ 𝐹𝑡 = 𝑚. 𝑎𝑡
Sabemos que:
𝑎. 𝑑𝑠 = 𝑣. 𝑑𝑣
Por lo tanto:
𝑎 = 𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑠
Si se integra entre los siguientes límites:
𝑠1 → 𝑣1
𝑠2 → 𝑣2
෍ 𝐹𝑡 = 𝑚. 𝑎𝑡
෍ 𝐹𝑡 = 𝑚. 𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑠
෍ න
𝑠1
𝑠2
𝐹𝑡 𝑑𝑠 = න
𝑣1
𝑣2
𝑚 𝑣 𝑑𝑣
෍ 𝐹𝑡 𝑠2 − 𝑠1 =
1
2
𝑚𝑣2
2
−
1
2
𝑚𝑣1
2
෍ 𝑈2 − 𝑈1 =
1
2
𝑚𝑣2
2
−
1
2
𝑚𝑣1
2
෍ 𝑈1−2 =
1
2
𝑚𝑣2
2
−
1
2
𝑚𝑣1
2

DINÁMICA
TRABAJO Y ENERGÍA
෍ 𝑈1−2 =
1
2
𝑚𝑣2
2
−
1
2
𝑚𝑣1
2
Esta ecuación representa el PRINCIPIO DE TRABAJO Y ENERGÍA para una
partícula, donde:
1
2
𝑚𝑣2 Es la
ENERGÍA CINÉTICA
A diferencia del trabajo que puede ser positivo o negativo, la energía
cinética siempre es positiva, sin importar la dirección del movimiento de
la partícula.
Si:
1
2
𝑚𝑣2
= 𝑇
Por lo tanto:
෍ 𝑈1−2 = 𝑇2 − 𝑇1
𝑇1 + ෍ 𝑈1−2 = 𝑇2
Esta ecuación establece que la energía cinética inicial de la partícula, más
el trabajo realizado por todas las fuerzas que actúan en ella cuando se
mueve de su posición inicial a su posición final, es igual a la energía
cinética final de la partícula.
Si se tienen varias partículas sería:
෍ 𝑇1 + ෍ 𝑈1−2 = ෍ 𝑇2

DINÁMICA
TRABAJO Y ENERGÍA
TRABAJO DE FRICCIÓN ORIGINADO POR DESLIZAMIENTO
Sabemos que:
𝑇1 + ෍ 𝑈1−2 = 𝑇2
Donde:
𝑇1 =
1
2
𝑚𝑣1
2
𝑦 𝑇2 =
1
2
𝑚𝑣2
2
෍ 𝑈1−2 = 𝑈𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑃 + 𝑈𝐹𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛
෍ 𝑈1−2 = 𝑃. 𝑠 + −𝐹. 𝑠
෍ 𝑈1−2 = 𝑃. 𝑠 + −𝜇𝑘. 𝑁. 𝑠
Por lo tanto:
1
2
𝑚𝑣1
2
+ 𝑃𝑠 − 𝜇𝑘𝑁𝑠 =
1
2
𝑚𝑣2
2

DINÁMICA
TRABAJO Y ENERGÍA
EJERCICIO 7
EJERCICIO 8
EJERCICIO 9
EJERCICIO 10
EJERCICIO 11

DINÁMICA
TRABAJO Y ENERGÍA
FUERZAS CONSERVADORAS Y ENERGÍA POTENCIAL
FUERZA CONSERVADORA
Si el trabajo de una fuerza es independiente de la trayectoria y depende
sólo de la posición inicial y final en la trayectoria, entonces podemos
clasificarla como una fuerza conservadora. Por ejemplo:
El trabajo realizado por el peso depende solo del
desplazamiento vertical del peso.
El trabajo realizado por una fuerza de
resorte depende solo del alargamiento o
compresión del resorte.
En contraste con una fuerza conservadora, considere la fuerza de fricción
ejercida en un objeto que se desliza por una superficie fija. El trabajo
realizado por la fuerza de fricción depende de la trayectoria, cuanto más
larga sea la trayectoria, mayor será el trabajo, por lo tanto, las fuerzas de
fricción no son conservadoras.
ENERGÍA
La energía se define como la capacidad de realizar trabajo. Por ejemplo,
si una partícula está en reposo, entonces el principio de trabajo y energía
establece que:
෍ 𝑈1−2 = 𝑇2
La energía cinética es igual al trabajo que debe realizarse en la partícula
para llevarla del estado de reposo al estado de velocidad 𝑣.
Por lo tanto, la energía cinética es una medida de la capacidad de la
partícula de realizar trabajo, la cual está asociada con el movimiento de
la partícula.
Cuando la energía se deriva de la posición de la partícula, medida con
respecto a un plano referencial, se llama energía potencial.

DINÁMICA
TRABAJO Y ENERGÍA
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL
Si una partícula se encuentra a una distancia y por encima de un plano
de referencia seleccionado, el peso de la partícula W tiene una energía
potencial gravitacional positiva 𝑽𝒈 puesto que W tiene la capacidad de
realizar trabajo positivo cuando la partícula regresa al plano de
referencia.
Si la partícula se encuentra a una distancia y por debajo del plano de
referencia, 𝑽𝒈 es negativa puesto que le peso realiza trabajo negativo
cuando la partícula regresa al plano de referencia.
En general, si y es positiva hacia arriba, la energía potencial
gravitacional de la partícula de peso W es:
𝑉
𝑔 = 𝑊. 𝑦

DINÁMICA
TRABAJO Y ENERGÍA
ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA
Cuando se alarga o comprime un resorte elástico una distancia s a partir
de su posición no alargada, en el resorte puede almacenarse energía
potencial elástica 𝑽𝒆. Esta energía es:
𝑉
𝑒 = +
1
2
𝑘𝑠2
Aquí 𝑽𝒆 siempre es positiva ya que en la posición deformada, la fuerza
del resorte tiene la capacidad o “potencial” de realizar siempre trabajo
en la partícula cuando el resorte regresa a su posición no alargada.

DINÁMICA
TRABAJO Y ENERGÍA
FUNCIÓN POTENCIAL
En el caso general, si una partícula se somete tanto a fuerzas
gravitacionales como elásticas, la energía potencial se expresa como una
función potencial, la cual es:
𝑉 = 𝑉
𝑔 + 𝑉
𝑒
La medida de V depende de la ubicación de la partícula con respecto a un
plano de referencia.
Por lo tanto, el trabajo realizado por una fuerza conservadora al mover
una partícula de un punto a otro es:
𝑈1−2 = 𝑉1 − 𝑉2
Por ejemplo, se tiene una partícula de peso W suspendida de un resorte,
si la partícula se mueve de 𝑠1 a una posición más baja 𝑠2 se tiene:
𝑈1−2 = 𝑉1 − 𝑉2
𝑈1−2 = 𝑉𝑔1 + 𝑉𝑒1 − 𝑉𝑔2 + 𝑉𝑒2
Donde:
𝑉𝑔1 = −𝑊𝑠1 𝑉𝑔2 = −𝑊𝑠2
𝑉𝑒1 =
1
2
𝑘𝑠1
2
𝑉𝑒2 =
1
2
𝑘𝑠2
2
𝑈1−2 = −𝑊𝑠1 +
1
2
𝑘𝑠1
2
− −𝑊𝑠2 +
1
2
𝑘𝑠2
2
𝑈1−2 = 𝑊 𝑠2 − 𝑠1 −
1
2
𝑘𝑠2
2
−
1
2
𝑘𝑠1
2

DINÁMICA
TRABAJO Y ENERGÍA
CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA
Cuando en una partícula actúa un sistema tanto de fuerzas
conservadores como no conservadoras, el principio de trabajo y energía
se escribe como:
𝑇1 + 𝑉1 + ෍ 𝑈1−2
𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠
= 𝑇2 + 𝑉2
Donde σ 𝑈1−2 𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠 representa el trabajo de las fuerzas no
conservadoras.
Si sólo fuerzas conservadoras realizan trabajo, entonces se tiene:
𝑇1 + 𝑉1 = 𝑇2 + 𝑉2
Esta ecuación se conoce como la conservación de la energía mecánica o
simplemente como la conservación de la energía.
“Expresa que durante el movimiento la suma de las energías potencial y
cinética de la partícula permanecen constantes”.
SISTEMA DE PARTÍCULAS
Si un sistema de partículas se somete sólo a fuerzas conservadoras,
entonces la ecuación de la conservación de la energía es:
෍ 𝑇1 + ෍ 𝑉1 = ෍ 𝑇2 + ෍ 𝑉2
Aquí la suma de la energías cinética y potencial iniciales del sistema es
igual a la suma de las energías cinética y potencial finales del sistema, en
otras palabras:
෍ 𝑇 + ෍ 𝑉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

DINÁMICA
TRABAJO Y ENERGÍA
CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA
EJERCICIO 12
EJERCICIO 13
EJERCICIO 14

DINÁMICA
CINÉTICA DEL CUERPO RÍGIDO

DINÁMICA
ECUACIONES DE MOVIMIENTO DE CINÉTICA PLANA
MOMENTO DE INERCIA DE UNA MASA
El momento de inercia mide la resistencia de un cuerpo a la aceleración
angular 𝑴 = 𝑰. 𝜶 del mismo modo que la masa mide la resistencia de
un cuerpo a la aceleración 𝑭 = 𝒎𝒂 .
𝑀 = 𝐼. 𝛼
Aceleración angular
Momento de inercia
Momento
ECUACIÓN DE MOVIMIENTO DE TRASLACIÓN
La ecuación de movimiento de traslación del centro de masa de un cuerpo
rígido plantea que la suma de todas las fuerzas externas que actúan en el
cuerpo es igual a su masa por la aceleración de su centro de masa G.
෍ 𝐹 = 𝑚. 𝑎𝐺
Si el movimiento se realiza en el plano x-y, la ecuación de movimiento de
traslación es:
෍ 𝐹𝑥 = 𝑚 𝑎𝐺 𝑥
෍ 𝐹𝑦 = 𝑚 𝑎𝐺 𝑦

DINÁMICA
Si la traslación es rectilínea se tiene:
෍ 𝐹𝑥 = 𝑚 𝑎𝐺 𝑥
෍ 𝐹𝑦 = 𝑚 𝑎𝐺 𝑦
෍ 𝑀𝐺 = 0
෍ 𝑀𝐴 = ෍ 𝑚. 𝑎𝐺 𝑑
Si se considera la
sumatoria con respecto
a su centro de masa G
Si se considera la
sumatoria con respecto a
un punto A cualquiera.

DINÁMICA
Si la traslación es curvilínea se tiene:
෍ 𝐹𝑛 = 𝑚 𝑎𝐺 𝑛
෍ 𝐹𝑡 = 𝑚 𝑎𝐺 𝑡
෍ 𝑀𝐺 = 0
෍ 𝑀𝐵 = ෍ 𝑚 𝑎𝐺 𝑡 𝑒 − 𝑚 𝑎𝐺 𝑛 ℎ
Si se considera la
sumatoria con respecto
a su centro de masa G
Si se considera la
sumatoria con respecto a
un punto B cualquiera.

DINÁMICA
EJERCICIO 15
EJERCICIO 16
EJERCICIO 17
EJERCICIO 18

CAPITULO 3
IMPULSO
Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO
DOCENTE:

DINÁMICA
CAPÍTULO 3: IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO
IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL

DINÁMICA
Sabemos que:
෍ 𝐹 = 𝑚. 𝑎 = 𝑚.
𝑑𝑉
𝑑𝑡
Si se ordena esta ecuación y se integra cuando 𝑡1 → 𝑉1 y 𝑡2 → 𝑉2, se
tiene:
෍ න
𝑡1
𝑡2
𝐹. 𝑑𝑡 = 𝑚 න
𝑉1
𝑉2
𝑑𝑉
෍ න
𝑡1
𝑡2
𝐹. 𝑑𝑡 = 𝑚. 𝑉2 − 𝑚. 𝑉1
Impulso lineal Cantidad de movimiento lineal
PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL
Ordenando la ecuación, para la solución de problemas se tiene:
𝑚. 𝑉1 + ෍ න
𝑡1
𝑡2
𝐹. 𝑑𝑡 = 𝑚. 𝑉2
Esta ecuación expresa que la cantidad de movimiento lineal de un
partícula en el instante 𝑡1 más la suma de todos los impulsos aplicados
a la partícula de 𝑡1 a 𝑡2 equivale a la cantidad de movimiento final de la
partícula en el instante 𝑡2.

DINÁMICA
Si se tiene un movimiento en x, y, z, se tiene:
𝑚 𝑉
𝑥 1 + ෍ න
𝑡1
𝑡2
𝐹𝑥. 𝑑𝑡 = 𝑚 𝑉
𝑥 2
𝑚 𝑉
𝑦 1
+ ෍ න
𝑡1
𝑡2
𝐹𝑦. 𝑑𝑡 = 𝑚 𝑉
𝑦 2
𝑚 𝑉
𝑧 1 + ෍ න
𝑡1
𝑡2
𝐹𝑧. 𝑑𝑡 = 𝑚 𝑉
𝑧 2
Los problemas que tienen las variables de FUERZA, VELCIDAD Y
TIEMPO, pueden ser resueltos por el principio de impulso y cantidad de
movimiento.
EJERCICIO 1
EJERCICIO 2
EJERCICIO 3

DINÁMICA
IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y MOMENTO CINÉTICO

DINÁMICA
CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL
La cantidad de movimiento lineal de un cuerpo es una cantidad
vectorial de magnitud 𝑚. 𝑣𝐺
𝐿 = 𝑚. 𝑣𝐺
Velocidad del centro de masa G
Masa del cuerpo
CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR
La cantidad de movimiento angular de un cuerpo con respecto a G es
igual al producto del momento de inercia del cuerpo con respecto a un
eje que pasa por G y la velocidad angular del cuerpo.
𝐻𝐺 = 𝐼𝐺. 𝜔
Velocidad angular del cuerpo
Momento de inercia del cuerpo
con respecto a G
TRASLACIÓN
Cuando un cuerpo rígido se somete a traslación rectilínea o curvilínea
entonces 𝜔 = 0 y su centro de masa tiene una velocidad de 𝑣𝐺 = 𝑣,
por lo tanto, la cantidad de movimiento lineal y la cantidad de
movimiento angular con respecto a G son:
𝐻𝐺 = 0
ROTACIÓN CON RESPECTO A UN EJE FIJO
Cuando un cuerpo rígido gira alrededor de un eje fijo, la cantidad de
movimiento lineal y la cantidad de movimiento angular con respecto a
G son:

DINÁMICA
MOVIMIENTO PLANO GENERAL
Cuando un cuerpo rígido se somete a movimiento plano general, la
cantidad de movimiento lineal y la cantidad de movimiento angular con
respecto a G son:
EJERCICIO 4

DINÁMICA
PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO
PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL
Establece que la suma de todos los impulsos creados por el sistema de
fuerzas externas que actúa en el cuerpo durante el intervalo de 𝑡1 a 𝑡2
es igual al cambio de la cantidad de movimiento lineal del cuerpo
durante ese intervalo:
෍ න
𝑡1
𝑡2
𝐹. 𝑑𝑡 = 𝑚 𝑣𝐺 2 − 𝑚 𝑣𝐺 1
PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR
Establece que la suma del impulso angular que actúa en el cuerpo
durante el intervalo de 𝑡1 a 𝑡2 es igual al cambio de la cantidad de
movimiento angular del cuerpo durante ese intervalo:
෍ න
𝑡1
𝑡2
𝑀𝐺. 𝑑𝑡 = 𝐼𝐺. 𝜔2 − 𝐼𝐺. 𝜔1
Resumiendo estos conceptos, si el movimiento se desarrolla en x-y, se tiene:
𝑚 𝑣𝐺𝑥 1 + ෍ න
𝑡1
𝑡2
𝐹𝑥. 𝑑𝑡 = 𝑚 𝑣𝐺𝑥 2
𝑚 𝑣𝐺𝑦 1
+ ෍ න
𝑡1
𝑡2
𝐹𝑦. 𝑑𝑡 = 𝑚 𝑣𝐺𝑦 2
𝐼𝐺. 𝜔1 + ෍ න
𝑡1
𝑡2
𝑀𝐺. 𝑑𝑡 = 𝐼𝐺. 𝜔2

DINÁMICA
෍
𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒
𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙
𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑥1
+ ෍
𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙
𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
𝑥 1−2
= ෍
𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑥2
෍
𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑦1
+ ෍
𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙
𝑦 1−2
= ෍
෍
𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟
+ ෍
𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟
𝑦 1−2
= ෍
𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟

DINÁMICA
EJERCICIO 5
EJERCICIO 6

CAPITULO 4
VIBRACIONES MECÁNICAS
DOCENTE:

DINÁMICA
CAPÍTULO 4: VIBRACIONES MECÁNICAS
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

DINÁMICA
El “Movimiento armónico simple” llamado también, “Movimiento
vibratorio armónico” es un movimiento periódico y lineal, cuya
aceleración es directamente proporcional a su desplazamiento, pero en
sentido contrario:
𝑎 = −𝑘. 𝑥
Desplazamiento
Ctte de proporcionalidad
ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
Elongación “x” – Es medida desde el centro Q de la circunferencia
(centro de vibración) hasta el punto “P”.
Amplitud “R” – Es la elongación máxima QA.
Periodo “T” – Es el tiempo que demora el móvil “P” en realizar una
oscilación completa, es decir , una ida y vuelta (AB + BA = 4R). En
general el periodo se determina mediante la siguiente ecuación:
𝑇 =
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑏𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
Frecuencia “f” – Es el número de vibraciones por unidad de tiempo. Se
miden en ciclos por segundo (cps) y se denomina “hertz”.
𝑓 =
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑏𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜
=
1
𝑇
Aceleración
Es similar al movimiento lineal que realiza la proyección “P”, sobre el
diámetro de un punto “M” que se desplaza sobre una circunferencia
referencial, con movimiento circunferencial uniforme.

DINÁMICA
ECUACIÓN DE LA ELONGACIÓN Por lo tanto, reemplazando se tiene:
𝑥 = 𝑅. 𝐶𝑜𝑠 𝜔. 𝑡
Donde:
𝜔 =
2𝜋
𝑇
Por lo tanto:
𝑥 = 𝑅. 𝐶𝑜𝑠
2𝜋
𝑇
. 𝑡
Como:
1
𝑇
= 𝑓
Por lo tanto:
𝑥 = 𝑅. 𝐶𝑜𝑠 2𝜋. 𝑓. 𝑡
Sea 𝜶 el ángulo desarrollado por el punto móvil “M”. En el triángulo
OPM se tiene:
𝑥 = 𝑂𝑀1. 𝐶𝑜𝑠𝛼
Donde: 𝑂𝑀1 = 𝑅
𝛼 = 𝜔. 𝑡

DINÁMICA
RESORTES – FUERZA DEFORMADORA – LEY DE HOOK
Para cambiar la forma de un cuerpo se requiere la acción de una fuerza
que se llama “fuerza deformadora”, la cual es proporcional a la
deformación, siempre que no se pase del límite de elasticidad del
cuerpo deformado. La Ley de Hook se expresa matemáticamente así:
𝐹 = 𝑘. 𝑥 FUERZA RECUPERADORA
Es una fuerza igual pero de sentido contrario a la fuerza deformadora.
Su expresión matemática es:
𝐹 = −𝑘. 𝑥
Deformación o elongación, en “m”
Constante elástica, propia de cada
resorte, en “N/m”
Fuerza deformadora, en “N”

DINÁMICA
ECUACIÓN DE LA VELOCIDAD “V” DEL M.A.S
La velocidad del punto “P” del M.A.S es la proyección de la velocidad
tangencial “𝑉𝑡” sobre el diámetro de la circunferencia de referencia.
Donde:
𝑆𝑀1 = 𝑉
𝑄𝑀1 = 𝑉𝑡
𝛼 = 𝜔. 𝑡
Por lo tanto:
𝑉 = −𝑉𝑡. 𝑆𝑒𝑛 𝜔. 𝑡
Donde:
𝑉𝑡 =
2𝜋. 𝑅
𝑇
= 2𝜋. 𝑓. 𝑅
𝜔 =
2𝜋
𝑇
= 2𝜋. 𝑓
Por lo tanto:
𝑉 = −
2𝜋. 𝑅
𝑇
. 𝑆𝑒𝑛
2𝜋
𝑇
. 𝑡
𝑉 = −2𝜋. 𝑓. 𝑅. 𝑆𝑒𝑛 2𝜋. 𝑓 . 𝑡
𝑉 = −𝑅. 𝜔. 𝑆𝑒𝑛 𝜔. 𝑡
En el triángulo vectorial 𝑆𝑀1𝑄 se tiene:
𝑆𝑀1 = −𝑄𝑀1. 𝑆𝑒𝑛𝛼

DINÁMICA
ECUACIÓN DE LA VELOCIDAD “V” DEL M.A.S
La velocidad del punto “P” del M.A.S es la proyección de la velocidad
tangencial “𝑉𝑡” sobre el diámetro de la circunferencia de referencia.
Pero:
𝑀1𝑃 = ± 𝑂𝑀1
2 − 𝑂𝑃 2 = ± 𝑅2 − 𝑥2
Por lo tanto:
𝑆𝑒𝑛𝛼 = ±
𝑅2 − 𝑥2
𝑅
Por lo tanto:
𝑉 = ±2𝜋. 𝑓. 𝑅2 − 𝑥2
También del triángulo 𝑂𝑃𝑀1 se tiene:
𝑆𝑒𝑛𝛼 =
𝑀1𝑃
𝑂𝑀1

DINÁMICA
ECUACIÓN DE LA ACELERACIÓN
Analizando el movimiento circunferencial del punto “M”:
Por lo tanto:
𝑎 = −𝜔2
. 𝑅. 𝐶𝑜𝑠 2𝜋. 𝑓. 𝑡
Como:
𝑅. 𝐶𝑜𝑠 2𝜋. 𝑓. 𝑡 = 𝑥
Por lo tanto:
𝑎 = −𝜔2
. 𝑥
Y:
𝑎 = −4. 𝜋2
. 𝑓2
. 𝑥
En el triángulo vectorial 𝑆𝑀𝑁 se tiene:
𝑎 = −𝑎𝑐. 𝐶𝑜𝑠𝛼
Donde:
𝑎𝑐 = 𝜔2
. 𝑅
𝛼 = 𝜔. 𝑡 = 2𝜋. 𝑓. 𝑡

DINÁMICA
VELOCIDAD MÁXIMA Y ACELERACIÓN MÁXIMA
La velocidad es máxima en la posición de equilibrio de tal forma que se
cumple la siguiente ecuación:
𝑉 = ±2𝜋. 𝑓. 𝑅2 − 𝑥2
Para 𝑥 = 0, se tiene:
𝑉
𝑚𝑎𝑥 = ±2𝜋. 𝑓. 𝑅
La aceleración máxima se obtiene en los extremo, de tal forma que se
cumple:
𝑎 = −𝜔2
. 𝑥
Para 𝑥 = ±𝑅
𝑎𝑚𝑎𝑥 = ±𝜔2
. 𝑅
ECUACIÓN DEL PERIODO Y LA FRECUENCIA
Para calcular el periodo y la frecuencia de vibración de un cuerpo de
masa “m” que se mueve bajo la acción de una fuerza recuperadora se
tiene:
FRECUENCIA f
𝑓 =
1
2𝜋
𝑘
𝑚
PERIODO T
𝑇 = 2𝜋
𝑚
𝑘

DINÁMICA
EJERCICIOS

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