Este archivo contiene una guía para el cálculo de las distancia entre puntos u objetos geométricos en el espacio.

1. DISTANCIAS
VECTORES APLICADOS A LA
GEOMETRÍA DEL ESPACIO
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA GABRIEL RENE MORENO
FACULTAD DE CS. EXACTAS Y TECNOLOGÍA
ÁLGEBRA LINEAL
Ing. Carmen Maida

2. 8.3. Distancia del punto P0=(x0,y0,z0)
a la recta que pasa por P=(x,y,z)
y es paralela a u=(a,b,c)
u
P0
P

·
D u
uxPP
D
0


3. Ejemplo 27. Encuentre la distancia del
punto P0 (–2, 4, 3) a la recta que pasa por
P=(3, 0, 6) y es paralela a u=(5,–7,1)
)3,4,5()3,4,2()6,0,3(PP0 
)15,10,17(
175
345
uxPP0 



614)15(1017uxPP 222
0 
751)7(5u 222 
86,2
75
614
u
uxPP
D
0
 (unidades de longitud)

4. Ejemplo 28. Hallar la distancia del punto
P0 (1, 3, −2) a la recta








k21z
k1y
k32x
r
)2,1,3(u 
uxPP0 
31513115uxPP 222
0 
74,4
14
315
D  (unidades de longitud)
P = (2, −1, 1) u = (3, 1, −2)
)3,4,1()21,31,12()2,3,1()1,1,2(0 PP
)13,11,5(
213
341
0 


PP

5. Ejemplo 29. Hallar la distancia del punto
P(1, 2, 3) a la recta k=
2
4-z
=
4
3y
-=
4
2-x
:r




)1,1,1()43,32,21(PP0 
)4,3,2(P0 
)2,4,4(u 
j2i2)0,2,2(
422
111
uxPP0 


8022uxPP 222
0 
47,0
3
2
6
8
D  (unidades de longitud)

6. 8.4. Distancia entre rectas paralelas
u
P0
P
DPoP
r
su
u
uxPP
d
0
)s,r( 

7. 8.5. Distancia entre rectas que se cruzan
u
sv
AB
A
B
r
||||
|)(|
),(
vu
vuAB
A
V
D
x
x
sr



8. Ejemplo 30. Hallar la mínima distancia entre
r y s
k=
1
6z
=
3
10y
-=
2
8x
:r



 
k=
4
1z
=
2
1y
-=
1-
1x
:s



 
)6,10,8(A  )1,3,2(u 
)1,1,1(B  )4,2,1(v 
)5,9,9(AB 
k7j9i10)7,9,10(
421
132
vxu 


2307)9(10v*uA 222
b 
97,8
230
136
||||
|)(|
),( 


vu
vuAB
A
V
D
x
x
sr
136
421
132
599
)( 


 vuABV x
Para r, el punto y el vector
Para s, punto y el vector
(unidades de longitud)

9. 8.6. Distancia del punto P(x0,y0,z0) al
plano : ax+by+cz+d = 0
222
000 ||
cba
dczbyax
D




10. Ejemplo 31.
Determine la distancia del punto P(-6, 2, 5)
al plano : 7x–4y+z–16 = 0
27,6
66
51
1)4(7
16)5)(1()2)(4()6)(7(
cba
dczbyax
D
222222









Ejemplo 32. Hallar la distancia del punto
P(3, 1, −2) a los planos 1: 2x+y–z+1 = 0 y
2: 2y–3 = 0
08,4
6
10
)1(12
1)2)·(1(1·13·2
D
222),P( 1




50,0
4
1
020
31·2
D
222),P( 2



 (unidades de
longitud)
(unidades de
longitud)
(unidades de longitud)

11. 8.7. Distancia entre planos paralelos
0dczbyax 11 
0dczbyax 22 
222
12
)2,1(
cba
dd
d




12. Ejemplo 33. Calcular la distancia entre los
planos 1:2x–y–2z+5=0 y 2:4x–2y–4z+15=0
0
2
15
z2yx22 
83,0
6
5
)2()1(2
5
2
15
d
222)2,1( 


 (unidades
de longitud)

13. FIN