Este documento explica la distribución binomial, incluyendo su función de probabilidad, características y ejemplos. La distribución binomial cuenta el número de éxitos en una secuencia de ensayos de Bernoulli independientes. Se utiliza para problemas con dos resultados posibles, como lanzar una moneda múltiples veces. El documento también proporciona ejemplos numéricos y resume las propiedades de la distribución binomial.

1. Distribucion
Binomial
Universidad Fermín Toro
Vice-rectorado Académico
Facultad de Ciencias Sociales y Económicas
Cabudare
Osward Lucena
C.I: 24.667.741

2. Distribución Binomial
O Es una distribución de probabilidad discreta que
cuenta el número de éxitos en una secuencia
de n ensayos de Bernoulli independientes entre
sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del
éxito entre los ensayos. Un experimento de
Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto
es, sólo son posibles dos resultados. A uno de
estos se denomina éxito y tiene una probabilidad
de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una
probabilidad q = 1 - p

3. Representación
O Para representar que una variable
aleatoria X ,sigue una distribución
binomial de parámetros n y p, se escribe:

4. Características Analíticas
O Su función de probabilidad es
Donde
siendo
las combinaciones de en
(elementos tomados de en )

5. Origen de la Distribución
Binomial
O La distribución binomial fue desarrollada por
Jakob Bernoulli (Suiza, 1654-1705)
O Es la principal distribución de probabilidad
discreta.
O La binomial proviene de experimentos que solo
tienen dos posibles resultados, a los que se les
puede nombrar como éxito o fracaso.
O Los datos son resultado de un conteo, razón por
la cual se clasifica como distribución discreta.

6. Ejemplo 1:
O Supongamos que se lanza un dado (con 6
caras) 50 veces y queremos conocer la
probabilidad de que el número 3 salga 20
veces. En este caso tenemos una X ~
B(50, 1/6) y la probabilidad sería P(X=20):

7. Utilidad
La distribution binomialse utiliza en situaciones
cuya solución tiene dos posibles resultados.
Por ejemplo:
Al nacer un/a bebé puede ser varón o hembra.
En el deporte un equipo puede ganar o perder.
En pruebas de cierto o falso sólo hay dos
alternativas.

8. Utilidad
También se utiliza cuando el resultado se puede reducir
a dos opciones.
Por ejemplo:
Un tratamiento médico puede ser efectivo o inefectivo.
La meta de producción o ventas del mes se pueden o
no lograr.
En pruebas de selección múltiple, aunque hay cuatro o
cinco alternativas, se pueden clasificar como correcta
o incorrecta.

9. Propiedades de un
experimento de Bernoulli
1 - En cada prueba del experimento sólo hay dos
posibles resultados: éxitos o fracasos.
2 - El resultado obtenido en cada prueba es
independiente de los resultados obtenidos en
pruebas anteriores.
3 - La probabilidad de un suceso es constante, la
representamos por p, y no varía de una prueba a
otra. La probabilidad del complemento es 1- p y la
representamos por q .

10. Ejemplo2 de la función
F(x=k)
O ¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al
lanzar una moneda 10 veces?
O El número de aciertos k es 6. Esto es x=6
O El nnúmero de experimentos n son 10
O La probabilidad de éxito p, es decir, que salga
"cara" al lanzar la moneda es 50% ó 0.50
O La fórmula quedaría:

11. Tabla de probabilidad
binomial
Utilizando la tabla de probabilidad binomial
se pueden resolver los ejemplos
anteriores.
Para esto debe saber los valores k y B (n,p)
.
O k es el número de éxitos que buscamos.
Este valor se encuentra entre 0 y n.
O En el parámetro B(n,p), n debe ser mayor
de 0 y p un valor desde 0 al 1.

12. Aproximación de la
distribución binomial por la
normal
O Una distribución binomial B (n, p) se
puede aproximar por una distribución
normal, siempre que n sea grande y p no
esté muy próxima a 0 ó 1. La
aproximación consiste en utilizar una
distribución normal con la misma media y
desviación típica de la distribución
binomial.

13. En resumen
En este módulo hemos determinado la probabilidad binomial
mediante el uso de la función binomial, tablas de distribución y
la calculadora del enlace. Además, aprendimos que:
O La distribución binomial se forma de una serie de
experimentos de Bernoulli
O La media (μ) en la distribución binomial se obtiene con el
producto de n x p
O La desviación estándar (σ ) en la distribución binomial se
obtiene del producto de n x p x q.
O El valor de q es el complemento de p y se obtiene con 1 – p.

14. Ejercicio:
1.En una oficina de servicio al cliente se atienden 100
personas diarias. Por lo general 10 personas se van sin
recibir bien el servicio. Determine la probabilidad de
que en una encuesta a 15 clientes
A)3 no hayan recibido un buen servicio
B)Ninguno haya recibido un buen servicio
C)A lo más 4 personas recibieron un buen servicio
D)Entre 2 y cinco personas

15. A)X=3
Datos:
P=10/100=0,10 N=15
Sea X el numero de personas que no hayan recibido un buen servicio.
P(x=3)=(
𝑛
𝑥
) 𝑃 𝑥
(1 − 𝑃) 𝑛−𝑥
=(
15
3
)
(0,10)3
(1 − 0,10)15−3
=455.(0,001)(0,90)12
P(x=3)=0,455.(0,2824)=0,1285
∴la probabilidad de que 3 personas no hayan recibido un buen servicio
es de 12,85%
B)Sea x=0 el numero de personas que no haya recibido un buen
servicio
P(x=0)=(
𝑛
𝑥
) 𝑃 𝑥(1 − 𝑃) 𝑛−𝑥=(
15
0
) (0,10)0(1 − 0,10)15−0=1.1(0,90)15
P(x=0)=0,2058
∴la probabilidad de que ninguno haya recibido un buen servicio es de
20,58%

16. C)Sea x≤ 4 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 de personas que recibieron un buen servicio
P(x ≤4)=P(4)+P(3)+P(2)+P(1)+P(0)
Calcular cada probabilidad por separado:
P(4)=(
15
4
)(0,10)4(0,90)11=1365.0,0001.0,3138=0,0428
P(3)=(
15
3
)(0,10)3
(0,90)12
=0,1285
P(2)=(
15
2
)(0,10)2(0,90)13=0,2668
P(1)=(
15
1
)(0,10)1(0,90)14=0,3431
P(0)=(
15
0
)(0,10)0
(0,90)15
=0,2058
Luego
P(x ≤4)=0,1285+0,2668+0,3431+0,2058=0,987
∴ la probabilidad de que a lo mas 4 personas reciban un buen servicio es de
𝟗𝟖, 𝟕𝟎%

17. D)Sea x= de personas que recibieron y buen servicio
P(2≤ 𝑥 ≤ 5) = 𝑥=∞
5
𝑃 𝑋 − 5
2
𝑃 𝑋
Resolvemos por separado
P(0)=(
15
0
) (0,10)0
(0,90)15
= 0,2058
P(1)=(
15
1
) (0,10)1
(0,90)14
= 0,3432
P(2)=(
15
2
) (0,10)2
(0,90)13
= 0,2668
P(3)=(
15
3
) (0,10)3
(0,90)12
= 0,1285
P(4)=(
15
4
) (0,10)4 (0,90)11= 0,0428
P(5)=(
15
5
) (0,10)5 (0,90)10= 0,0052
Luego:
P(2≤ 𝑥 ≤ 5) = 𝑥=∞
5
𝑃 𝑋 − 5
2
𝑃 𝑋 =(p(5)+p(4)+p(3)+p(2)+p(1)+p(0))-
(p(1)+p(0))
=(0,0523+0,0428+0,1285+0,2668+0,3432+0,2058)-(0,3431+0,2058)
=0,4503

18. ∴ la probabilidad de que entre 2 y 5 personas reciban
un buen servicio es de 45,03%

19. 2)Muchos jefes se dan cuenta de que algunas de las personas que
contrataron no son lo que pretenden ser. Detectar personas que
solicitan un trabajo y que falsifican la información en su solicitud ha
generado un nuevo negocio. Una revista nacional notificó sobre este
problema mencionando que una agencia, en un periodo de dos meses,
encontró que el 35% de los antecedentes examinados habían sido
alterados. Suponga que usted ha contratado la semana pasada 5
nuevos empleados y que la probabilidad de que un empleado haya
falsificado la información en su solicitud es 0.35.
A)¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las cinco solicitudes
haya sido falsificada?
B)¿Ninguna de las solicitudes haya sido falsificada?
C)¿Las cinco solicitudes hayan sido falsificadas?

20. Sea x=numero de solicitudes
P=0,35 n=5
A)P(1≤ 𝑋 ≤ 5) =) =) = 𝑥=4
5
𝑃 𝑋
P(5)=(
5
5
) (0,35)5 (1 − 0,35)0=0,00525
P(4)=(
5
4
) (0,35)4
(1 − 0,35)1
=0,0487
P(3)=(
5
3
) (0,35)3 (1 − 0,35)2=0,18083
P(2)=(
5
2
) (0,35)2 (1 − 0,35)3=0,3364
P(1)=(
5
1
) (0,35)1
(1 − 0,35)4
=0,3123
Luego:
P(1≤ 𝑋 ≤ 5) = 0,00525 + 0,0487 + 0,18083 + 0,3364 + 0,3123 = 0,5804
∴la probabilidad de que al menos una de las 5 solicitudes hay sido
falcificada es de 58,04%

21. B)Sea x=solicitudes no falcificadas
P(x=0)=(
5
0
) (0,35)0
(1 − 0,35)5
=0,1260
∴ la probabilidad que las solicitudes no hayan sido falcificadas es de
12,60%
C)Sea x=solicitudes falcificadas
P(x=5)=(
5
5
) (0,35)5 (1 − 0,35)0=0,00525
∴ la probabilidad que las solicitudes hayan sido falcificadas es de
0,52%