explicacion y ejercicios acerca de la distribucion binomial

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
ESCUELA DE ADMINISTRACION Y RELACIONES INDUSTRIALES
ESTUDIANTE:
Valeria De Los Santos
C.I.: 23.573.481
CABUDARE, JUNIO 2016

2. Distribución Binomial
En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta
que cuenta el número de éxitos en una secuencia de “n” ensayos de Bernoulli
independientes entre sí
Posee una probabilidad fija “p” de ocurrencia del éxito
entre los ensayos
Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser
dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados.
Éxito Fracaso

3. Características analíticas
Su función de probabilidad es:
𝑓 𝑥 =
𝑛
𝑥
𝑝 𝑥 ∗ 𝑞 𝑛−𝑥
𝑝 = 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑒𝑥𝑖𝑡𝑜
𝑞 = 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑎𝑠𝑜
𝑛 = 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑠𝑎𝑦𝑜𝑠
𝑥 = 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑡𝑜𝑠
𝑛
𝑥
= 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 "𝑛" 𝑒𝑛 "𝑥".
Se calcula:
𝑛!
𝑥! 𝑛 − 𝑥 !
Ejemplo
Supongamos que se lanza un dado (con 6 caras) 51 veces y queremos conocer la
probabilidad de que el número 3 salga 20 veces.
n=51
x=20
p=1/6 = 0,17
q=5/6 = 0,83
𝑓 20 =
51
20
0,1720
∗ 0,8351−20
𝑓 20 = 7,75 ∗ 1013
4,06 ∗ 10−16
∗ 3,10 ∗ 10−03
= 9,75 ∗ 10−05
Éxito: que salga el numero 3
Fracaso: que no salga el numero 3
51
20
=
51!
20! 51 − 20 !
= 7,75 ∗ 1013

4. Relaciones con otras variables aleatorias
Si “n” tiende a infinito y “p” es tal que el producto entre
ambos parámetros tiende a λ
entonces la distribución de la variable aleatoria binomial
tiende a una distribución de Poisson de parámetro λ
Por último, se cumple que cuando “p” =0.5 y “n” es muy
grande (usualmente se exige que “n” ≥ 30)
La distribución binomial puede aproximarse mediante la
distribución normal

5. Ejercicios:
En una oficina de servicio al cliente se atienden 100 personas diarias. Por lo general
10 personas se van sin recibir bien el servicio. Determine la probabilidad de que en
una encuesta a 15 clientes:
1) 3 no hayan recibido un buen servicio
p= 10/100= 0,1
q= 90/100= 0,9
n=15
x=3
𝑓 𝑥 = 3 =
15
3
0,13 ∗ 0,915−3 = 0,13
15
3
=
15!
3! 15 − 3 !
= 455
2) Ninguno haya recibido un buen servicio
p= 10/100= 0,1
q= 90/100= 0,9
n=15
x=0
𝑓 𝑥 = 0 =
15
0
0,10 ∗ 0,915−0 = 0,020
15
0
=
15!
0! 15 − 0 !
= 1
Éxito: no reciba un buen servicio
Fracaso: que reciba un buen servicio
Éxito: no reciba un buen servicio
Fracaso: que reciba un buen servicio

6. En una oficina de servicio al cliente se atienden 100 personas diarias. Por lo general
10 personas se van sin recibir bien el servicio. Determine la probabilidad de que en
una encuesta a 15 clientes:
3) A lo más 4 personas recibieron un buen
servicio
p= 90/100= 0,9
q= 10/100= 0,1
n=15
x ≤ 4
𝑝 𝑥 ≤ 4 = 𝑝 𝑥 = 0 + 𝑝 𝑥 = 1 + 𝑝(𝑥 = 2) + 𝑝(𝑥 = 3) +𝑝(𝑥 = 4)
Éxito: reciba un buen servicio
Fracaso: que no reciba un buen servicio
𝑓 𝑥 ≤ 4 =
15
0
0,90
∗ 0,115−0
+
15
1
0,91
∗ 0,115−1
+
15
2
0,92
∗ 0,115−2
+
15
3
0,93
∗ 0,115−3
+
15
4
0,94
∗ 0,115−4
𝑝 𝑥 ≤ 4 = 𝑝 1 ∗ 10−15
+ 𝑝 1,35 ∗ 10−13
+ 𝑝(8,50 ∗ 1012
) + 𝑝(3,31 ∗ 10−10
) +𝑝(8,95 ∗ 10−09
)
𝑝 𝑥 ≤ 4 = 9,28 ∗ 10−09
Ejercicios:

7. 4) Entre 2 y cinco personas
En una oficina de servicio al cliente se atienden 100 personas diarias. Por lo general
10 personas se van sin recibir bien el servicio. Determine la probabilidad de que en
una encuesta a 15 clientes:
Ejercicios:
p= 90/100= 0,9
q= 10/100= 0,1
n=15
x ≥ 2 ≤ 5
𝑝 𝑥 =≥ 2 ≤ 5 = 𝑝 𝑥 = 2 + 𝑝(𝑥 = 3) +𝑝(𝑥 = 4) + 𝑝(𝑥 = 5)
𝑓 𝑥 ≥ 2 ≤ 5 =
15
2
0,92 ∗ 0,115−2 +
15
3
0,93 ∗ 0,115−3 +
15
4
0,94 ∗ 0,115−4 +
15
5
0,95 ∗ 0,115−5
𝑝 𝑥 ≥ 2 ≤ 5 = 𝑝(8,50 ∗ 1012
) + 𝑝(3,31 ∗ 10−10
) +𝑝 8,95 ∗ 10−09
+ 𝑝 1,77 ∗ 10−07
𝑝 𝑥 ≥ 2 ≤ 5 = 1,86 ∗ 10−07
Éxito: reciba un buen servicio
Fracaso: que no reciba un buen servicio

8. Ejercicios:
Muchos jefes se dan cuenta de que algunas de las personas que contrataron no son lo que pretenden ser. Detectar
personas que solicitan un trabajo y que falsifican la información en su solicitud ha generado un nuevo negocio.
Una revista nacional notificó sobre este problema mencionando que una agencia, en un periodo de dos meses,
encontró que el 35% de los antecedentes examinados habían sido alterados. Suponga que usted ha contratado la
semana pasada 5 nuevos empleados y que la probabilidad de que un empleado haya falsificado la información en
su solicitud es 0.35.
1) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos
una de las cinco solicitudes haya sido
falsificada?
p= 0,35
q= 0,65
n=5
x= 1
𝑓 𝑥 = 1 =
5
1
0,351
∗ 0,655−1
= 1,92
5
1
=
5!
1! 5 − 1 !
= 5
Éxito: que la solicitud haya sido
falsificada
Fracaso: que la solicitud no haya sido
falsificada
2) ¿Ninguna de las solicitudes haya sido falsificada?
p= 0,35
q= 0,65
n=5
x= 0
𝑓 𝑥 = 0 =
5
0
0,350
∗ 0,655−0
= 0,11
5
0
=
5!
0! 5 − 0 !
= 1
Éxito: que la solicitud haya sido
falsificada
Fracaso: que la solicitud no haya sido
falsificada

9. Ejercicios:
Muchos jefes se dan cuenta de que algunas de las personas que contrataron no son lo que pretenden ser. Detectar
personas que solicitan un trabajo y que falsifican la información en su solicitud ha generado un nuevo negocio.
Una revista nacional notificó sobre este problema mencionando que una agencia, en un periodo de dos meses,
encontró que el 35% de los antecedentes examinados habían sido alterados. Suponga que usted ha contratado la
semana pasada 5 nuevos empleados y que la probabilidad de que un empleado haya falsificado la información en
su solicitud es 0.35.
3) ¿Las cinco solicitudes hayan sido falsificadas?
p= 0,35
q= 0,65
n=5
x= 5
𝑓 𝑥 = 1 =
5
5
0,355
∗ 0,655−5
= 0,0052
5
5
=
5!
5! 5 − 5 !
= 1
Éxito: que la solicitud haya sido
falsificada
Fracaso: que la solicitud no haya sido
falsificada