Propiedades de la Transformada de Laplace

2. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Diego Sandoval
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
LINEALIDAD DE LA TRANSFORMADA
LINEALIDAD
Para dos funciones f(t) y g(t) para las cuales existe la transformada de
Laplace de cada una de la forma L{f} = F(s) y L{g} = G(s), entonces
L {αf(t) + βg(t)} = αL {f(t)} + βL {g(t)} = αF(s) + βG(s)
EJEMPLO
Calculemos la transformada de Laplace de f(t) = 5t2 + 3e−2t, Usando la
linealidad de la transformada de Laplace obtenemos:
L 5t2
+ 3e−2t
= 5L t2
+ 3L e−2t
= 5
2
s3
+ 3
1
s + 2
=
10
s3
+
3
s + 2

4. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
TEOREMA DE TRASLACI ´ON
TEOREMA
Si L{f(t)} = F(s) y a es cualquier n´umero real, entonces
L eat
f(t) = F(s − a)
EJEMPLO
Calculemos la transformada de Laplace de f(t) = e−2t cos(4t), Sabemos que
la transformada de cos(4t) es:
L{cos(4t)} = F(s) =
s
s2 + 16
Usando el teorema de traslaci´on obtenemos :
L e−2t
cos(4t) = F(s + 2)
=
(s + 2)
(s + 2)2 + 16

5. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
TRANSFORMADA DE UNA DERIVADA
TRANSFORMADA DE f(n)(t)
Si L{f(t)} = F(s) y f (t) es continua para t ≥ 0, entonces
L f (t) = sF(s) − f(0)
Si f (t) es continua para t ≥ 0, entonces para la segunda derivada tenemos
L f (t) = s2
F(s) − sf(0) − f (0)
En general, si f(t) y sus derivadas hasta f(n−1)(t) son continuas, entonces
para la n-esima derivada de f tenemos
L f(n)
(t) = sn
F(s) − sn−1
f(0) − sn−2
f (0) · · · − f(n−1)
(0)

6. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
DERIVADA DE UNA TRANSFORMADA
DERIVADA DE F(s)
Si L{f(t)} = F(s); calculemos
d
ds
F(s), usando la definici´on de F(s)
d
ds
F(s) =
d
ds
∞
0
e−st
f(t)dt =
∞
0
∂
∂s
e−st
f(t) dt
= −
∞
0
e−st
tf(t)dt = −L{tf(t)}
Es decir,
L{tf(t)} = −
d
ds
L{f(t)}
CASO GENERAL
En general, si L{f(t)} = F(s); para n = 1, 2, ..., entonces Es decir,
L{tn
f(t)} = (−1)n dn
n
F(s)

7. BIBLIOGRAF´IA
ZILL, D., CULLEN, M., Ecuaciones diferenciales con problemas con valores
en la frontera, octava edici´on, Cengage Learning, Mexico, DF, 2014.
BOYCE, W., DIPRIMA, R., Elementary Differential Equation and Boundary
Value problems, Novena edici´on, JohnWiley and Sons, Inc. USA, 2009.
NAGLE, R.K., SAFF, E.B., Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales, Addison-
Wesley, Iberoamericana, 1992.
POLKING, J., BOGGESS, A., ARNOLD, D., Differential equations with boun-
dary value problems, Segunda edici´on, Pearson Prentice Hall, 2005.