Ecuaciones Reducibles a Primer Orden

2. ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
Diego Sandoval
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. ED REDUCIBLES A ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
M´ETODO
Dada la ecuaci´on diferencial lineal de segundo orden
y + f(x)y + g(x)y = 0
Es natural suponer que una forma de resolverla es integrar dos veces la
ecuaci´on. De hecho, as´ı se realizar´a, s´olo que se utilizar´a el cambio
z = y −→ z = y
Para que las constantes de integraci´on aparezcan en su momento.
En los casos en que no aparece expl´ıcitamente la variable independiente x, se
hace la siguiente transformaci´on:
y = z −→ y = z
dz
dx

4. ED REDUCIBLES A ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
EJEMPLO 1
1 Dada la ecuaci´on xy = y , reducirla a una ecuaci´on de primer orden y
encontrar su soluci´on.
Soluci´on:
Sea z = y −→ z = y
la ecuaci´on es, entonces, xz = z de primer orden.
Separando variables
dz
z
=
dx
x
E integrando: ln z = ln x + ln c
es decir: z = c1xdx
Como z = y −→ dy = c1xdx
Integrando nuevamente aparece la soluci´on general:
y = c1
x2
2
+ c2

5. ED REDUCIBLES A ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
EJEMPLO 2
1 Dada la ecuaci´on y − yy = y , reducirla a una ecuaci´on de primer
orden y encontrar su soluci´on.
Soluci´on: En esta caso utilizaremos la sustituci´on y = z −→ y = z
dz
dx
la ecuaci´on es, entonces, z
dz
dy
− yz = z.
Dividiendo entre z y separando variables: dz = (y + 1)dy
Integrando: z =
y2
2
+ y + c1, es decir:
dy
dx
=
y2
2
+ y + c1
o de forma equivalente:
2dy
y2 + 2y + c1
= dx
Completando el cuadrado en el denominador y tomando 2c1 − 1 = c2
1
2dy
(y + 1)2 + c2
1
= dx Integrando y = c1 tan(c1x + c2) − 1

6. BIBLIOGRAF´IA
ZILL, D., CULLEN, M., Ecuaciones diferenciales con problemas con valores
en la frontera, octava edici´on, Cengage Learning, Mexico, DF, 2014.
BOYCE, W., DIPRIMA, R., Elementary Differential Equation and Boundary
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NAGLE, R.K., SAFF, E.B., Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales, Addison-
Wesley, Iberoamericana, 1992.
POLKING, J., BOGGESS, A., ARNOLD, D., Differential equations with boun-
dary value problems, Segunda edici´on, Pearson Prentice Hall, 2005.