Una ecuación diferencial es exacta si corresponde a la diferencial de alguna función. Para que una ecuación de la forma M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 sea exacta, la expresión del lado izquierdo debe ser una diferencial exacta. Una ecuación diferencial puede generarse a partir de una familia de curvas f(x, y) = c al calcular la diferencial total de f(x, y).

1. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

2. Una ecuación diferencial M(x,y) + N(x,y) es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencial de alguna función F(x,y). Una ecuación diferencial de primer orden de la forma M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

3. Es una ecuación diferencial exacta o ecuación exacta, si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta. La ecuación diferencial dy + P(x)y = f(x)yn dx

4. En cálculo diferencial, el lector debe recordar que si z =f(x, y) es una función con primeras derivabas parciales continuas en una región R del plano xy, su diferencial (que también se llama la diferencial total) es

5. Entonces, si f(x, y) = c

6. En otras palabras, dada una familia de curvas f(x, y) = c, podemos generar una ecuación diferencial de primer orden si calculamos la diferencial total; por ejemplo, si 2 - 5xy + y3 = c

7. (2x – 5y) dx + (-5 + 3y2) dy = 0 o sea

8. La ecuación = 0 es exacta, porque

9. Criterio para una ecuaciondiferencial exacta Sean continuas M(x, y) y N(x, y), con derivadas parciales continuas en una región rectangular R, definida por a< x < b, c < y < d. Entonces, la condicionnecesaria y suficiente para que M(x, y)dx + N(x, y)dysea una diferencial exacta es que