Ejercicio ecuaciones diferenciales

1. *Verificaque lafamiliade funcionesde dosparámetrosessoluciónde laecuacióndiferencial nohomogéneadada.
𝑦” + 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐(𝑥) ; 𝑦(𝑥) = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛(𝑥) + 𝑥𝑠𝑖𝑛(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝐼𝑛[𝑐𝑜𝑠(𝑥)]
Solución
Realizandoprimeraysegunda derivadade lafuncióny(x)
𝑦(𝑥) = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 𝐶2 𝑠𝑖𝑛(𝑥) + 𝑥𝑠𝑖𝑛(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑙𝑛[𝑐𝑜𝑠(𝑥)]
𝑦′( 𝑥) = −𝐶1 sin( 𝑥) + 𝐶2 cos( 𝑥) + 𝑥 cos( 𝑥) − sin( 𝑥) ln(cos( 𝑥))
𝑦"( 𝑥) = −𝐶1 cos( 𝑥) − 𝐶2 sin( 𝑥) + cos( 𝑥) − 𝑥 sin( 𝑥) + sin( 𝑥) tan( 𝑥) − cos( 𝑥) ln(cos( 𝑥))
*Sustituyendoy”(x) yy(x) enla ecuacióndiferencial:
*Simplificando: 𝑦”(𝑥) + 𝑦(𝑥)
−𝐶1 cos( 𝑥) − 𝐶2 sin( 𝑥) + cos( 𝑥) − 𝑥 sin( 𝑥) + sin( 𝑥) tan( 𝑥) − cos( 𝑥) ln(cos( 𝑥)) +
𝐶1 𝑐𝑜𝑠( 𝑥) + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛( 𝑥) + 𝑥𝑠𝑖𝑛( 𝑥) + 𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝐼𝑛[𝑐𝑜𝑠(𝑥)]
+cos( 𝑥) + sin( 𝑥) tan(𝑥)
*Comprobandoigualdad
cos( 𝑥) + sin( 𝑥) tan( 𝑥) = sec(𝑥)
Usando identidadestrigonométricas
cos( 𝑥) + sin( 𝑥)
sin(x)
cos( 𝑥)
= sec(𝑥)
cos( 𝑥) +
sin2(x)
cos( 𝑥)
= sec(𝑥)
cos2 𝑥 + sin2(x)
cos( 𝑥)
= sec(𝑥)
1
cos( 𝑥)
= sec(𝑥)
sec(𝑥) = sec(𝑥)
Respuesta:
Si se cumple larespuestapropuestade laecuacióndiferencial