ejercicios

1. FI-UAEMex. Cálculo 2, grupo 02. Semestre 2008A. Ejercicios 22. Aproximación lineal, y gradiente.
1. Suponga que w=x
3
ln yy
2
cos3 x cambia su valor: para x, de 0 a 0.1; para y, de 1 a 0.92. Calcule la
aproximación lineal del incremento de w. ¿Cuál es el error cometido al evaluar el cambio de w por medio de la
aproximación lineal?
Respuesta. Se proponen unos valores de referencia, para las variables independientes (los cuales se usarán para desarrollar el
diferencial, de w, de primer orden). Los valores propuestos serán: x0=x0 , y0=0,1 ; así que, los incrementos de tales
variables son: d x=dx ,dy=0.1,−0.08 . La aproximación lineal requerida, dw , es obtiene con la expresión:
dw  x0 ; d x=
[∂w
∂ x ]x0
dx
[∂ w
∂ y ]x0
dy . Al desarrollar y sustituir los valores antes propuestos se tiene:
dw  x0 ; d x=[3 x
2
ln y –3 y
2
sen3 x]x0
dx[
x
3
y
2 y cos3 x]x0
dy=0−0.16=−0.16 .
Por otro lado, al evaluar directamente los valores que toman las variables independientes, se obtiene el incremento en w:
w=w0.1,0.92−w0,1=0.001ln0.920.922
cos0.3−1=−0.1915 .
Finalmente, el error porcentual que se produce al usar una aproximación lineal para el incremento de w, dw , en lugar del
cambio en w debido al cambio en sus variables, w , es: e%=∣w – dw
w ∣∗100≈16% .
¿Cuál sería el porcentaje de error si se usa un diferencial de segundo orden?
2. ¿Es tangente la esfera x
2
 y
2
z
2
−8 x−8 y−6 z24=0 al elipsoide x
2
3 y
2
2 z
2
=9 en el punto
M 2,1,1 ?
Respuesta. Para las superficies del problema, éstas serán tangentes si se verifica que los gradientes de ellas son paralelos en el
punto M, y que tal punto está en ambas superficies.
Usando la función F x , y , z=x2
y2
z2
−8 x−8 y−6 z24 , un vector normal a la esfera es
∇ F x0 , y0 , z0=2 x0−8,2 y0−8,2 z0−6 ; usando la función G x , y , z=x2
3 y2
2 z2
−9 , un
vector normal al elipsoide es ∇ Gx0 , y0 , z0=2 x0 ,6 y0 ,4 z0 . El punto x0 , y0 ,z0=2,1,1 . Así que,
∇ F 2,1,1=−4,−6,−4 ∧ ∇ G2,1,1=4,6,4 . Los vectores anteriores sí son paralelos.
Si acaso en el problema se buscara conocer el punto en el cual las superficies son tangentes, se tiene la misma condición:
∇ F∥∇G . Lo cual se puede averiguar mediante la expresión: ∇ F x0 , y0 , z0×∇ G x0 , y0 , z0=0 . En donde
las incógnitas x0 , y0 ∧ z0 se obtienen al resolver el sistema de tres ecuaciones que resulta; de ser necesario se hace uso de las
dos ecuaciones que corresponden a las superficies.
En la figura 1 se muestran las superficies junto con sus gradientes, en el punto M.
Figura 1
El archivo, en Winplot, de la figura 1 está aquí.
José Luis Núñez Mejía. Abúlico IA pag.1 de 1