Este documento presenta un examen de matemáticas sobre sistemas de ecuaciones y sus aplicaciones. Contiene 7 preguntas que involucran resolver sistemas de ecuaciones algebraicamente y gráficamente, determinar el número de soluciones, y aplicar sistemas de ecuaciones a problemas financieros y de mezclas. También incluye instrucciones para los estudiantes sobre cómo abordar la prueba.

1. 3º ESO B- Matemáticas Académicas
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Sistemas de ecuaciones. Aplicaciones - © Marta Martín Sierra
SIMULACRO
SISTEMAS DE ECUACIONES.
APLICACIONES
INSTRUCCIONES SUGERENCIAS
(1) Las respuestas han de ser razonadas, y se valorarán los
procedimientos de resolución.
(2) En esta prueba se recomienda la calculadora.
(3) Cuida la presentación.
(4) Tiempo máximo de realización: 50 minutos.
(1) Lee atentamente los enunciados varias veces.
(2) Dedica tiempo a pensar, para luego poder plantear, escoger la
estrategia adecuada, resolver y analizar críticamente los resultados.
(3) Comprueba siempre los resultados para ver si contestas a lo que
se te pregunta.
CUESTIONES
01. (3 puntos) Dados los siguientes sistemas de ecuaciones:
(1a)



=+
=+
251010
522
yx
yx
(1b)



=+−
=+
154
52
yx
yx
(1c)



=+
=+
1233
522
yx
yx
(1d)



−=−
=+
46
823
yx
yx
(i) Resuélvelos algebraicamente, el (1a) por SUSTITUCIÓN, el (1b) por IGUALACIÓN, el
(1c) por REDUCCIÓN y el (1d) GRÁFICAMENTE. Cuando tenga infinitas soluciones, da 2
posibles.
(ii) A la vista de las soluciones obtenidas, di el nombre que recibe cada uno de los 4
sistemas anteriores e interpreta geométricamente los apartados (a), (b) y (c).
02. (2 puntos) Dados los siguientes sistemas de ecuaciones, resuélvelos por el método
ALGEBRAICO que consideres oportuno, señalando las soluciones lo más simplificadas
posible:
(2a) (0.75 ptos)







−=+−
=+
8
11
8
11
yx
yx
(2b) (1.25 ptos)






=
+−
−
+−
−
=
−
−
−−
3
32
3
3
2
6
3
3
2
xyyx
yxyx
03. (1 punto) Un ramo con igual número de rosas que de tulipanes cuesta 7
euros. Los tulipanes costaban 5 euros más que las rosas. ¿Qué precio tienen las
rosas y los tulipanes?
04. (1 punto) Un restaurante recibe mensualmente un pedido de “x” litros de licor e “y”
litros de vino. En Enero el litro de licor costaba 1 euro, al igual que el litro de vino, lo que
supuso que el coste del pedido fue de 220 euros. En Febrero, el precio del licor se duplicó y el
del vino se incrementó en un euro, lo que llevó al restaurante a pagar 380 euros por el pedido.
Calcula el número de litros de licor y de vino pedidos.
05. (1 punto) Tenemos 500 euros repartidos en billetes de 20 y de 50 euros. Si sabemos que en
total disponemos de 10 billetes, ¿cuántos billetes de cada clase tenemos?
06. (1 punto) Un bar recibe el pedido diario de refrescos y cervezas, por el que paga 6
euros, siendo el precio de cada refresco de 20 céntimos de euro y el de cada cerveza otros 25
céntimos de euro. Si se intercambiasen los precios unitarios de los refrescos y las cervezas,
habría pagado 6 euros y 50 céntimos. Calcula el número de refrescos y el número de cervezas
adquiridos ese día.
07. (1 punto) Un señor tiene 42 años y su hijo 10. ¿Dentro de cuánto tiempo el padre tendrá
el triple que el hijo?
Febrero
142017
Calificación

2. 01. (2.5 puntos) Dados los siguientes sistemas de ecuaciones:
(1a)



=+
=+
251010
522
yx
yx
(1b)



=+−
=+
154
52
yx
yx
(1c)



=+
=+
1233
522
yx
yx
(1d)



−=−
=+
46
823
yx
yx
(i) Resuélvelos algebraicamente, el (1a) por SUSTITUCIÓN, el (1b) por IGUALACIÓN, el
(1c) por REDUCCIÓN y el (1d) GRÁFICAMENTE. Cuando tenga infinitas soluciones, da 2
posibles.
(ii) A la vista de las soluciones obtenidas, di el nombre que recibe cada uno de los 4
sistemas anteriores e interprétalos geométricamente.
(1a)



=+
=+
251010
522
yx
yx
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:
Despejamos la "x" de la primera ecuación:
2x = 5 – 2y
x =
2
25 y−
Sustituimos el valor de "x" en la segunda ecuación:
10x + 10y = 25
10·
2
25 y−
+ 10y = 25
5·(5 – 2y) + 10y = 25
25 – 10y + 10y = 25
0 = 0
Infinitas soluciones
Nos ayudamos de una tabla de valores para determinar algunas soluciones:
2x + 2y = 5
x y
0 5/2
5/2 0
(5/2, 0) (0, 5/2)
A la vista de las soluciones son 2 rectas superpuestas
Sistema compatible indeterminado
Comprobación con ClassWiz

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(1b)



=+−
=+
154
52
yx
yx
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN:
y = 5 – 2x 4y = 15 + x
y =
4
15 x+
5 – 2x =
4
15 x+
4(5 – 2x) = 15 + x
20 – 8x = 15 + x
– 9x = – 5
9x = 5
x = 5/9
Calculamos el valor de la otra incógnita sustituyendo en y = 5 – 2x
y = 5 – 2 





9
5
=
=
9
1045 −
=
9
35
y = 35/9
x = 5/9 ; y = 35/9 Esta solución es común en ambas ecuaciones
A la vista de las soluciones son dos rectas que se cortan en el punto (5/9, 35/9)
Sistema compatible determinado
Comprobación con ClassWiz
(1c)



=+
=+
1233
522
yx
yx
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN



=+
=+
+
−
1233
522
2
3
yx
yx
)(
)(
→



=+
−=−−
2466
1566
yx
yx
0 = 9 →
Pero como 0 ≠ 9
Incoherencia
No existe ninguna solución común en ambas ecuaciones

4. A la vista de las soluciones son dos rectas paralelas.
Sistema incompatible.
Comprobación con ClassWiz
(1d)



−=−
=+
46
823
yx
yx
Buscamos con la calculadora la solución del sistema:
Creamos, con lápiz y papel, unas tablas de valores:
3x + 2y = 8 x – 6y = – 4
x y x y
0 4 0 4/6
8/3 0 – 4 0
Representamos gráficamente ambas rectas y comprobamos que el punto común que hemos
obtenido como solución con la calculadora es común a ambas ecuaciones:
x = 2 ; y = 1 ; Esta solución es común en ambas ecuaciones
Comprobación con ClassWiz

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02. (2 puntos) Dados los siguientes sistemas de ecuaciones, resuelve el (2a) y (2b) por el
método ALGEBRAICO que consideres oportuno y el (2c) por el método de Gauss, señalando
las soluciones lo más simplificadas posible e indicando qué nombre recibe este último sistema.
(2a) (0.75 ptos)







−=+−
=+
8
11
8
11
yx
yx
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN:
Por reducción vemos CLARAMENTE que 1/x y – 1/x se "van"...
0
11
8
11
8
11
=+







−=+−
=+
yy
yx
yx
+
x
1
(1ª ecuación) –
x
1
(2ª ecuación) se anulan directamente
x
1
–
x
1
= 0
2 caminos a seguir:
y
1
+
y
1
= 0
mcm: y
1 + 1 = 0
2 = 0
y
2
= 0
2 = 0
Pero, sin embargo 2 ≠ 0 → Incoherencia
Sistema incompatible
No hace falta buscar el valor de x pues el sistema es incompatible.
(2b) (1.25 ptos)






=
+−
−
+−
−
=
−
−
−−
3
32
3
3
2
6
3
3
2
xyyx
yxyx
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN:
Simplificamos cada una de las ecuaciones que conforman el sistema:
3
2
6
3
3
2 −
=
−
−
−− yxyx
mcm: 6
2(– 2x – y) – (x – 3y) = – 4
– 4x – 2y – x + 3y = – 4
– 5x + y = – 4
3
32
3
=
+−
−
+− xyyx
mcm: 6

6. 3(– x + 3y) – 2(– y + x) = 18
– 3x + 9y + 2y – 2x = 18
– 5x + 11y = 18
Resolvemos el sistema formado por las nuevas expresiones obtenidas



=+−
−=+−−
18115
451
yx
yx)(
→



=+−
=−
18115
45
yx
yx
y = 22/10
y = 11/5



=+−
−=+−−
18115
45
1
11
yx
yx
)(
)(
→



=+−
=−
18115
441155
yx
yx
50x = 62
x = 62/50
x = 31/25
(b) A la vista de las soluciones obtenidas se trata de 2 rectas que se cortan en el punto
(31/25, 11/5)
(c) A la vista del número de soluciones el sistema se dice que es
COMPATIBLE DETERMINADO
Comprobación de las soluciones con la calculadora
03. (1 punto) Un ramo con igual número de rosas que de tulipanes cuesta 7 euros. Los
tulipanes costaban 5 euros más que las rosas. ¿Qué precio tienen las rosas y los tulipanes?
DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS
x ≡ "Precio en euros del ramo de rosas"
y ≡ "Precio en euros del ramo de tulipanes"
PLANTEAMIENTO DEL SISTEMA
y – x = 5
x + y = 7



=+
=+−
7
5
yx
yx
RESOLUCIÓN CON CALCULADORA
ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS
Las rosas tienen un precio de 1 euro y los tulipanes de 6 euros
04. (1 punto) Un restaurante recibe mensualmente un pedido de “x” litros de licor e “y”
litros de vino. En Enero el litro de licor costaba 1 euro, al igual que el litro de vino, lo que
supuso que el coste del pedido fue de 220 euros. En Febrero, el precio del licor se duplicó y el
del vino se incrementó en un euro, lo que llevó al restaurante a pagar 380 euros por el pedido.
Calcula el número de litros de licor y de vino pedidos.
DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS

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Sistemas de ecuaciones. Aplicaciones - © Marta Martín Sierra
x ≡ "Número de litros de licor"
y ≡ "Número de litros de vino"
PLANTEAMIENTO DEL SISTEMA:
Enero
x + y = 220
Febrero
2x + 2y = 380



=+
=+
38022
220
yx
yx
RESOLUCIÓN MENTAL
Mentalmente observamos que la 2ª ecuación resulta de multiplicar la 1ª por 2,
quedando de la forma:
0 = 160 → Pero 0 ≠ 160
Sistema incompatible
RESOLUCIÓN CON CALCULADORA
ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS
Jamás se podrían dar simultáneamente las condiciones del enunciado. Es un sistema
incompatible.
05. (1 punto) Tenemos 500 euros repartidos en billetes de 20 y de 50 euros. Si sabemos
que en total disponemos de 10 billetes, ¿cuántos billetes de cada clase tenemos?
DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS
x ≡ "Número de billetes de 20 euros"
y ≡ "Número de billetes de 50 euros"
PLANTEAMIENTO DEL SISTEMA
20x + 50y = 500
x + y = 10



=+
=+
5052
10
yx
yx
RESOLUCIÓN CON CALCULADORA
ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS
Tendría solo billetes de 50 euros, es decir, 10 billetes de 50 euros.
06. (1 punto) Un bar recibe el pedido diario de refrescos y cervezas, por el que paga 6
euros, siendo el precio de cada refresco de 20 céntimos de euro y el de cada cerveza otros 25

8. céntimos de euro. Si se intercambiasen los precios unitarios de los refrescos y las cervezas,
habría pagado 6 euros y 50 céntimos. Calcula el número de refrescos y el número de cervezas
adquiridos ese día.
DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS
x ≡ "Número de refrescos del pedido"
y ≡ " Número de cervezas del pedido "
PLANTEAMIENTO DEL SISTEMA
0.20x + 0.25y = 6
0.25x + 0.20y = 6.5



=+
=+
6.5y.0.25x
6y.0.2x
20
250
RESOLUCIÓN CON CALCULADORA
ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS
Jamás se podrían dar simultáneamente las condiciones del enunciado ya que el número de
refrescos tiene que ser un número natural.
07. (1 punto) Un señor tiene 42 años y su hijo 10. ¿Dentro de cuánto tiempo el padre tendrá
el triple que el hijo?
LECTURA comprensiva del enunciado verbal
DATOS DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS
x ≡ "años que tienen que transcurrir"
PASADO PRESENTE FUTURO
Padre 42 42 + x
Hijo 10 10 + x
PLANTEAMIENTO y transcripción al lenguaje algebraico
42 + x = 3 (10 + x)
RESOLUCIÓN
42 + x = 30 + 3x
x – 3x = 30 – 42
–2x = –12
2x = 12
x =
2
12
x = 6
COMPROBACIÓN en el enunciado verbal
Actualidad:
Padre → 42
Hijo → 10
Dentro de 6 años:
Padre → 48
Hijo → 18
48 = 16 · 3
VÁLIDA
ANÁLISIS CRÍTICO de los resultados
El padre tendrá el triple que el hijo dentro de 6 años