Este documento presenta varios ejemplos resueltos de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas, utilizando los métodos de igualación y gráfico. Se muestran sistemas compatibles determinados e incompatibles, y cómo encontrar geométricamente si las rectas correspondientes se cortan o son paralelas.

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© Marta Martín Sierra 1
13



=−−
=+−
21
213
yx
yx
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN:
Por ejemplo despejamos la x
– x = 21 – 3y
x = – 21 + 3y
– x = 21 + y
x = – 21 – y
– 21 + 3y = – 21 – y
3y + y = – 12 + 21
4y = 0
y = 0
Sustituimos el valor obtenido en la primera ecuación:
x = – 21 – y
x = – 21 – 0
x = – 21
x = – 21 ; y = 0 Esta solución es común en ambas ecuaciones
Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (– 21, 0)
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
15



=+
−=−
52
943
yx
yx
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN:
Por ejemplo despejamos la y
– 4y = – 9 – 3x
4y = 9 + 3x
y =
4
39 x+
2x + y = 5
y = 5 – 2x
4
39 x+
= 5 – 2x
9 + 3x = 20 – 8x
3x + 8x = – 9 + 20
11x = 11
x = 1
Sustituimos el valor de "x" en la segunda ecuación:
y = 5 – 2x
y = 5 – 2·1
y = 3
x = 1 ; y = 3 Esta solución es común en ambas ecuaciones
Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (1, 3)
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
16



=−
=−
722
5
yx
yx
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN:
Por ejemplo despejamos la x
x = 5 + y 2x = 7 + 2y
x =
2
27 y+

2. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
5 + y =
2
27 y+
10 + 2y = 7 + 2y
2y – 2y = 7 – 10
0y = – 3
0 = – 3
Pero como 0 ≠ – 3 → Incoherencia
No existe ninguna solución común en ambas ecuaciones
Geométricamente se trata de 2 rectas paralelas
Sistema INCOMPATIBLE
17



−=+−
−=−−
yx
yx
52
1
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN:
Por ejemplo despejamos la x
– x = – 1 + y
x = 1 – y
– 2x = – y – 5
2x = y + 5
x =
2
5+y
1 – y =
2
5+y
2(1 – y) = y + 5
2 – 2y = y + 5
– 2y – y = – 2 + 5
– 3y = 3 → 3y = – 3
y = – 1
Sustituimos en x = 1 – y:
x = 1 – (– 1)
x = 2
x = 2 ; y = – 1 Esta solución es común en ambas ecuaciones
Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (2, – 1)
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
18



=−
=+
22
112
yx
yx
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN:
Por ejemplo despejamos la x
x + 2y = 11
x = 11 – 2y
2x = 2 + y
x =
2
2 y+
11 – 2y =
2
2 y+
Sustituimos el valor de "x" en la segunda ecuación 2x – y = 2
2(11 – 2y) = 2 + y
22 – 4y = 2 + y
– 4y – y = 2 – 22
– 5y = – 20 → 5y = 20
y = 4

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Sustituimos el valor de "x" en la primera ecuación x + 2y = 11
x + 2·4 = 11
x = 11 – 8
x = 3
x = 3 ; y = 4 ; Esta solución es común en ambas ecuaciones
Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (3, 4)
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
19



=−
=+−
555
227
yx
yx
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO
Como se trata de 2 rectas bastará con realizar unas sencillas tablas de valores:
– 7x + 2y = 2 5x – 5y = 5
x y x y
0 1 0 – 1
–2/7 0 1 0
Repasando la construcción de tabla de valores:
Cruzamos ceros…
Para x = 0 en la primera ecuación: – 7·0 + 2y = 2 → 2y = 2 → y = 1
Para y = 0 en la primera ecuación: – 7·x + 2 ·0 = 2 → – 7·x = 2 → x = 2/7
Para x = 0 en la segunda ecuación: 5·0 - 5y = 5 → – 5y = 5 → 5y = –5 → y = –1
Para y = 0 en la segunda ecuación: 5x – 5 ·0 = 5 → 5x = 5 → x = 1
Buscamos con la calculadora un 3º punto perteneciente a ambas rectas:
Representamos gráficamente ambas rectas y buscamos el punto común a ambas
ecuaciones:

4. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
x = – 4/5 ; y = – 9/5 Esta solución es común en ambas ecuaciones
Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (– 4/5, – 9/5)
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
20



=−
=+
yx
yx
283
32
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO
Como se trata de 2 rectas bastará con realizar unas sencillas tablas de valores:
2x + y = 3 3x – 8 = 2y
x y x y
0 3 0 – 4
3/2 0 8/3 0
Buscamos con la calculadora un 3º punto perteneciente a ambas rectas:
Representamos gráficamente ambas rectas y buscamos el punto común a ambas
ecuaciones:

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x = 2 ; y = – 1 ; Esta solución es común en ambas ecuaciones
Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (2, – 1)
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
21



−=
=−
yx
yx
10
162
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO
Como se trata de 2 rectas realizaremos unas sencillas tablas de valores:
x – 2y = 16 x = 10 – y
x y x y
0 – 8 0 10
16 0 10 0
Buscamos con la calculadora un 3º punto perteneciente a ambas rectas:
Representamos gráficamente ambas rectas y buscamos el punto común a ambas
ecuaciones:

6. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
x = 12 ; y = – 2 ; Esta solución es común en ambas ecuaciones
Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (12, – 2)
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
22



−=+−
−=−
1886
943
yx
yx
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO
Como se trata de 2 rectas bastará con realizar unas sencillas tablas de valores:
3x – 4y = – 9 – 6x + 8y = – 18
x y x y
0 9/4 0 – 9/4
– 3 0 3 0
Buscamos con la calculadora un 3º punto perteneciente a ambas rectas:
En los sistemas compatibles indeterminados e incompatibles LA CALCULADORA CIENTÍFICA
nos da el mensaje de Math ERROR o Sin solución
Representamos gráficamente ambas rectas y buscamos el punto común a ambas
ecuaciones:

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No existe ninguna solución común en ambas ecuaciones
Geométricamente se trata de 2 rectas paralelas
Sistema INCOMPATIBLE
23



−=−
=−
xy
yx
224
28
Como se trata de 2 rectas realizamos unas sencillas tablas de valores:
x – 8 = 2y – 4y = 2 – 2x
x y x y
0 – 4 0 – 0.5
8 0 1 0
Buscamos con la calculadora un 3º punto perteneciente a ambas rectas:
Representamos gráficamente ambas rectas:
Las dos ecuaciones que forman el sistema no tienen ninguna solución en común.
Geométricamente son dos rectas paralelas y que por lo tanto nunca se cortan.
Se denominan SISTEMAS INCOMPATIBLES ya que no tienen ningún punto común.
24



=+
=+
92
5
yx
yx

8. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
Como se trata de 2 rectas bastará con realizar unas sencillas tablas de valores:
x + y = 5 2x + y = 9
x y x y
0 5 0 9
5 0 4.5 0
Buscamos con la calculadora un 3º punto perteneciente a ambas rectas:
Representamos gráficamente ambas rectas:
1
1
Las dos ecuaciones que forman el sistema tienen una solución en común. Como podemos ver,
son dos rectas secantes que se cortan en el punto (4, 1)