En matemáticas y ciencias de la computación, un grafo (del griego grafos: dibujo, imagen)​ es un conjunto de objetos llamados vértices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos, que permiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto.

1. Ejercicios Grafos y Dígrafos
Marycé Martínez
Estructuras discretas II

3. V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8
V1 0 1 1 1 1 0 0 1
V2 1 0 1 0 0 1 1 1
V3 1 1 0 1 1 1 1 0
V4 1 0 1 0 1 1 0 0
V5 1 0 1 1 0 1 0 1
V6 0 1 1 1 1 0 1 1
V7 0 1 1 0 0 1 0 1
V8 1 1 0 0 1 1 1 0
Matriz adyacencia:
La matriz de adyacencia es una matriz
cuadrada que se utiliza como una forma
de representar relaciones binarias entre
los vertices de un grafo, si coinciden se
coloca 1 y si no coinciden se coloca 0.

4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
V1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
V2 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
V3 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
V4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0
V5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0
V6 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0
V7 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
V8 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1
Matriz Incidencia:
La matriz de incidencia es una matriz binaria (sus
elementos sólo pueden ser unos o ceros) que se utiliza
como una forma de representar relaciones binarias, entre
las aristas y vértices de un grafo. Si coinciden se coloca 1, y
si no coinciden se coloca 0

5. ¿Es conexo? Justifique su respuesta: Si. Un grafo es conexo si desde cualquier
vértice existe un camino hasta cualquier otro vértice del grafo por lo tanto
debido a que existe una cadena entre cualquier par de vértices se dice que es
conexo.
¿Es simple? Justifique su respuesta: Si. El grafo es simple ya que no tiene
ciclos y no posee mas de una arista uniendo un par de vértices, se puede
observar que para cada par de vértices que están unidos dicha unión es a
través de una sola arista.
¿Es Regular? Justifique su respuesta: No. El grafo estudiado no es regular
debido a que el grado de incidencia del vértice V2=5 y el del vértice V5, por lo
tanto para que un grafo sea regular todos los vértices deberían de tener el
mismo grado de incidencia y en nuestro caso, tiene grados de incidencia
diferentes.
¿Es completo? Justifique su respuesta: Si. En teoría de grafos, un grafo
completo es un grafo simple donde cada par de vértices está conectado por
una arista. Por lo tanto, si es simple, es completo.

6. Cadena simple no elemental de grado 6:
V2a10V7a20V8a9V2a1V1a4V4a14V6
Se repite el V2
Ciclo no simple de grado 5:
V1a4V4a11V3a12V5a15V4a4V1.
Se repite V1 y a4
Una cadena simple es la
que no repite aristas, y una
cadena elemental es la que
no repite vértices, por lo
tanto una cadena NO
elemental es la que repite
vértices. A continuación, se
presenta dicha cadena:
En un ciclo no simple si se
pueden repetir las aristas sin
importar cuantas veces pase
por el vértice.

7. Árbol generador aplicando algoritmo constructor:
Tomé V1 como punto de inicio, y tracé V1a1V2, corresponde a H1[V1V2],
Luego, V1a1V2a10V7, lo cual corresponde a H2[V1V2V7], sigue
V1a1V2a10V7a20V8, corresponde a H3[V1V2V7V8]. Tomé otra vez desde
V1a2V3, corresponde a H4[V1V3], sigue V1a2v3a13V6, corresponde a
H5[V1V3V6]. Por ultimo V1a4V4, H6[V1V4], y al final V1a4V4a15V5,
correspondiente a H7[V1V4V5]. Así cree mi árbol generador a tomando
como punto de partida el vértice V1.
Un árbol generador
de G es una
selección de aristas
de G que forman
un árbol que cubre
todos los vértices.

8. Subgrafo parcial
Un subgrafo de un grafo G es un grafo cuyos
conjuntos de vértices y aristas son subconjuntos
de los de G.

9. Ciclo euleriano:
V1a1V2a10V7a7V3a11V4a14V6a16V7a20V8a6V1a4V4a15V5a5V1a2V3a13V6
a17V5a12V3a3V2a8V6a19V8a18V5.
Vértices eliminados: V1, V3, V4, V5, V6, V7
Aristas faltantes: a9.
Un ciclo o circuito euleriano es un camino cerrado que recorre cada arista
exactamente una vez.
Por lo tanto no se puede afirmar que es euleriano ,debido a que no es posible
la construcción de un ciclo, ya que no todos los vértices tienen grado par.

10. En teoría de grafos, un camino hamiltoniano en un grafo es un
camino, que visita todos los vértices del grafo una sola vez. Si además
el primer y último vértice visitado coincide, el camino es un ciclo
hamiltoniano.

12. V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 0 1 1 0 1 0
V2 0 0 1 1 0 1
V3 0 0 0 1 1 0
V4 1 0 0 0 0 1
V5 0 1 0 1 0 1
V6 0 0 0 0 1 0
Matriz conexión
La matriz de conexión se realiza
con la multiplicidad de todos los
pares de vértices, de la siguiente
forma:

13. ¿Es simple? Justifique su respuesta: Si ya que no contiene ni arcos ni
lazos paralelos.
Una cadena no simple es cualquier trayectoria
que repita arcos y una
cadena no elemental es cualquier trayectoria que
repita vértices
Cadena no simple, no elemental de
grado 5:
C1= [V2 a3 V3 a12 V6
a14 V5 a11 V3 a12 V6],
Se repite el vértice V3 y
V6 y la arista a12

14. Se repite el vértice V2, con el que
se inicia, también finaliza.
En teoría de grafos, un grafo ciclo
o simplemente ciclo es un grafo
que consiste en un camino simple
cerrado, es decir, en el que no se
repite ningún vértice, salvo el
primero con el último.

15. v1 v2 v3 v4 v5 v6
v1 0 1 1 0 1 0
v2 0 0 1 1 0 1
v3 0 0 0 1 1 0
v4 1 0 0 0 0 1
v5 0 1 0 1 0 1
v6 0 0 0 0 1 0
McD=
v1 v2 v3 v4 v5 v6
v1 0 1 1 1 1 1
v2 1 0 0 1 1 1
v3 1 1 0 1 0 1
v4 0 1 1 0 1 0
v5 1 0 1 1 1 1
v6 0 1 0 1 0 1
M2=
v1 v2 v3 v4 v5 v6
v1 1 1 1 1 1 1
v2 1 1 1 1 1 1
v3 1 1 1 1 1 1
v4 0 1 1 1 1 1
v5 1 1 1 1 1 1
v6 1 0 1 1 1 1
M3=
M4=
v1 v2 v3 v4 v5 v6
v1 1 1 1 1 1 1
v2 1 1 1 1 1 1
v3 1 1 1 1 1 1
v4 1 1 1 1 1 1
v5 1 1 1 1 1 1
v6 1 1 1 1 1 1

16. v1 v2 v3 v4 v5 v6
v1 1 1 1 1 1 1
v2 1 1 1 1 1 1
v3 1 1 1 1 1 1
v4 1 1 1 1 1 1
v5 1 1 1 1 1 1
v6 1 1 1 1 1 1
v1 v2 v3 v4 v5 v6
v1 1 1 1 1 1 1
v2 1 1 1 1 1 1
v3 1 1 1 1 1 1
v4 1 1 1 1 1 1
v5 1 1 1 1 1 1
v6 1 1 1 1 1 1
v1 v2 v3 v4 v5 v6
v1 1 0 0 0 0 0
v2 0 1 0 0 0 0
v3 0 0 1 0 0 0
v4 0 0 0 1 0 0
v5 0 0 0 0 1 0
v6 0 0 0 0 0 1
M5= M6=
Mi=

17. Para finalizar : Acc(D)=bin= [I7 + M+M2+M3+M4+M5+M6]
v1 v2 v3 v4 v5 v6
v1 31 40 33 65 62 79
v2 22 33 24 47 47 58
v3 20 26 22 39 43 49
v4 16 29 21 42 38 48
v5 23 34 25 49 53 60
v6 11 14 12 23 23 30
=
v1 v2 v3 v4 v5 v6
v1 1 1 1 1 1 1
v2 1 1 1 1 1 1
v3 1 1 1 1 1 1
v4 1 1 1 1 1 1
v5 1 1 1 1 1 1
v6 1 1 1 1 1 1
Por lo tanto, como todos los valores de la matriz son 1,
se dice que es fuertemente conexo, si alguno de sus
valores fuese cero, ya dejaría de cumplirse esta
propiedad.

18. Encontrar la distancia de v2 a los
demás vértices utilizando el
algoritmo de Dijkstra.

19. Me guie del material colocado por el profesor en la plataforma
SAIA