El documento describe conceptos fundamentales relacionados con grafos, incluyendo matrices de adyacencia e incidencia, y sus propiedades. Se analiza la conectividad, regularidad y la posibilidad de que un grafo sea euleriano o hamiltoniano a través de ejemplos específicos. También se discute la representación de ciclos y cadenas dentro de grafos, apoyándose en matrices de accesibilidad para evaluar la conectividad.

1. V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8
V1 0 1 1 1 1 0 0 1
V2 1 0 1 0 0 1 1 1
V3 1 1 0 1 1 1 1 0
V4 1 0 1 0 1 1 0 0
V5 1 0 1 1 0 1 0 1
V6 0 1 1 1 1 0 1 1
V7 0 1 1 0 0 1 0 1
V8 1 1 0 0 1 1 1 0
Una matriz de adyacencia es aquella que muestra de la forma más rústica
cómo está compuesto un grafo, esto es que donde se coloque un uno se
representa como una arista que una a los dos nodos y con 0 donde no hay
ninguna unión; así, se puede obtener un grafo a partir de la matriz de
adyacencia.
Propiedades:
Es cuadrada y simétrica
La suma de cada fila o columna es el grado del vértice correspondiente
A)

2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
V1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
V2 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
V3 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
V4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0
V5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0
V6 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0
V7 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
V8 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1
Una matriz de incidencia está compuesta por unos y ceros,
en la que se representan los nodos unidos por las aristas.
Cada arista une dos y nada más que dos nodos.
B)

3. El grafo si es conexo ya
que un grafo es conexo si
cada par de vértices está
conectado por un camino;
es decir, si para cualquier
par de vértices (a, b),
existe al menos un camino
posible desde a hacia b.
C) D) El grafo si es simple ya
que un grafo es simple si
a lo más existe una arista
uniendo dos vértices
cualesquiera. Esto es
equivalente a decir que
una arista cualquiera es la
única que une dos vértices
específicos.
E) El grafo no es regular ya
que un grafo regular es un
grafo donde cada vértice
tiene el mismo grado o
valencia y en este caso
hay un grado de
incidencia en los vértices
v5 y también en el v2=5
F) Si es un grafo completo.
Ya que un grafo es
completo si existen aristas
uniendo todos los pares
posibles de vértices. Es
decir, todo par de vértices
(a,b) debe tener una arista
e que los une. Y es simple

4. G) Cadena simple no elemental
de grado 6
En el caso de que
C=[V1 a1 V2 a10 V6
a16 V5 a14 V4 a3 V2] se
repite el vértice [V2]
por lo tanto no es
elemental.
H) Árbol generador aplicando
algoritmo generador
En el caso de C=[V5
a19 V8 a18 V7 a17 V5
a19 V7 a9 V2] se repite
la aristas [a19] por lo
tanto no es simple.
Seleccionamos S1=V1 haciendo H1=[V1]
2) Se elige la arista a4 que conecta a V1 con V4
haciendo
H2=[V1,V4]
3) Se elige la arista a15 que conecta V4 con V7
haciendo
H3=[V1, V4, V7]
4) Se elige la arista a17 que conecta a V7 con V5
haciendo
H4=[V1, V4, V7, V5]
5) Se elige la arista a19 que conecta a V5 con V8
haciendo
H5=[V1, V4, V7, V5, V8]
6) Se elige la arista a20 que conecta a V8 con V6
haciendo
H6=[V1, V4, V7, V5, V8, V6]
7) Se elige la arista a10 que conecta a V6 con v2
haciendo
H7=[V1, V4, V7, V5, V8, V6 ,V2]
8) Se elige la arista a3 que conecta a V2 con V3
H) Un ciclo no simple de
grado 5

5. Un subgrafo de un grafo G es un grafo cuyos conjuntos de
vértices y aristas son subconjuntos de los de G. Se dice
que un grafo G contiene a otro grafo H si algún subgrafo
de G es H o es isomorfo a H (dependiendo de las
necesidades de la situación).
i)

6. Se selecciona a1, Se selecciona a3
Se selecciona a2, Se selecciona a4
Se selecciona a11, Se selecciona a12
Se selecciona a5, Se selecciona a6
Se selecciona a9, Se selecciona a10
Se selecciona a7, Se selecciona a13
Se selecciona a14, Se selecciona a15
Se selecciona a18, Se selecciona a20
Se selecciona a16
k) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury
Debería quedar así
El grafo no es euleriano,
ya que los vértices no
tienen grado par, por lo
cual no es posible
construir un ciclo
euleriano
Si es Hamiltoniano ya que el número de
vértices de G en 8, Gr(V1)≥ 8/2=4 (i=1,2,8)
l) Demostrar si es hamiltoniano

7. V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 0 1 1 0 1 0
V2 0 0 1 1 0 1
V3 0 0 0 1 1 0
V4 1 0 0 0 0 1
V5 0 1 0 1 0 1
V6 0 0 0 0 1 0
A) Encontrar matriz de conexión

8. B) El dígrafo es simple, porque no tiene un lazo y
además tampoco tiene arcos paralelos que puedan
partir de un mismo vértice a otro.
C) Encontrar una cadena no simple no elemental de grado
5:
En este caso C=[ V1 a6 V5 a11 V4 a12 V6 a14 V5 a13 V6]
D) Encontrar un ciclo simple:
En este caso C=[ V5 a11 V4 a12 V6 a14 V5]

9. E) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz
de accesibilidad:
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 0 1 1 0 1 0
V2 0 0 1 1 0 1
V3 0 0 0 1 1 0
V4 1 0 0 0 0 1
V5 0 1 0 1 0 1
V6 0 0 0 0 1 0
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 0 1 1 1 1 1
V2 1 0 0 1 1 1
V3 1 1 0 1 0 1
V4 0 1 1 0 1 0
V5 1 0 1 1 1 1
V6 0 1 0 1 0 1
Mcd:
Se eleva la
matriz al
cuadrado:
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 1 1 1 1 1 1
V2 1 1 1 1 1 1
V3 1 1 1 1 1 1
V4 0 1 1 1 1 1
V5 1 1 1 1 1 1
V6 1 0 1 1 1 1
Matris
elevada a
la 3:
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 1 1 1 1 1 1
V2 1 1 1 1 1 1
V3 1 1 1 1 1 1
V4 1 1 1 1 1 1
V5 1 1 1 1 1 1
V6 1 1 1 1 1 1
Matris
elevada a
la 4:

10. V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 1 1 1 1 1 1
V2 1 1 1 1 1 1
V3 1 1 1 1 1 1
V4 1 1 1 1 1 1
V5 1 1 1 1 1 1
V6 1 1 1 1 1 1
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 1 1 1 1 1 1
V2 1 1 1 1 1 1
V3 1 1 1 1 1 1
V4 1 1 1 1 1 1
V5 1 1 1 1 1 1
V6 1 1 1 1 1 1
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 1 0 0 0 0 0
V2 0 1 0 0 0 0
V3 0 0 1 0 0 0
V4 0 0 0 1 0 0
V5 0 0 0 0 1 0
V6 0 0 0 0 0 1
Matris elevada a la 5: Matris elevada a la 6: Mi:
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 1 1 1 1 1 1
V2 1 1 1 1 1 1
V3 1 1 1 1 1 1
V4 1 1 1 1 1 1
V5 1 1 1 1 1 1
V6 1 1 1 1 1 1
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 31 40 33 65 62 79
V2 22 33 24 47 47 58
V3 20 26 22 39 43 49
V4 16 29 21 42 38 48
V5 23 34 25 49 53 60
V6 11 14 12 23 23 30
Ahora calculamos la Matriz de Accesibilidad
ACC(D)= bin [ I7 +M+M2 +M3 +M4 +M5+ M6
]
=
Es conexo ya que todos los
valores de la matriz es = a 1