El documento presenta ejercicios sobre grafos y dígrafos. Se analiza un grafo no dirigido con 8 vértices y 20 aristas, encontrando su matriz de adyacencia y de incidencia. Se demuestra que es conexo, simple, regular y completo. También se presentan ejemplos de cadenas, ciclos y un árbol generador aplicando un algoritmo constructor.

1. Universidad Fermín Toro
Departamento de formación general
Escuela de ingeniería
Cabudare
EJERCICIOS
GRafOS y
DíGRafOS

2. SARAHI AMOROCHO
C.I 22275166
Ejercicios propuestos
Dado el siguiente grafo encontrar:
a) Matriz de adyacencia
Ma=
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8
V1 0 1 1 1 0 0 1 1
V2 1 0 1 0 1 1 1 0
V3 1 1 0 1 1 1 0 1
V4 1 0 1 0 0 0 0 1
V5 0 1 1 1 0 1 1 1
V6 0 1 1 0 1 0 1 0
V7 1 1 0 0 1 1 0 1
V8 1 0 1 1 1 0 1 0
b) Matriz de incidencia
Mi =
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8
a1 1 1 0 0 0 0 0 0
a2 0 1 1 0 0 0 0 0

3. a3 0 1 1 0 0 0 0 0
a4 1 0 0 1 0 0 0 0
a5 1 0 0 0 0 0 0 1
a6 1 0 0 0 0 0 1 0
a7 0 0 1 0 0 1 0 0
a8 0 1 0 0 1 0 0 0
a9 0 1 0 0 0 0 1 0
a10 0 1 0 0 0 1 0 0
a11 0 0 1 1 0 0 0 0
a12 0 0 1 0 0 0 0 1
a13 0 0 1 0 1 0 0 0
a14 0 0 0 1 1 0 0 0
a15 0 0 0 1 0 0 0 1
a16 0 0 0 0 1 1 0 0
a17 0 0 0 0 1 0 0 1
a18 0 0 0 0 0 0 1 1
a19 0 0 0 0 1 0 1 0
a20 0 0 0 0 0 1 1 0
c) ¿Es conexo? Justifique su respuesta
De acuerdo a la definición, si es conexo ya que para todo par de vértices se encuentran
conectados o tienen un camino que los une.
d) ¿Es simple? Justifique su respuesta
De acuerdo a la definición es un grafo simple porque no tiene lazos y entre cada par de
vértices distintos no hay más de una arista.
e) ¿Es regular? Justifique su respuesta
Es regular ya que un grafo simple el que todos los vértices tienen grado r, es llamado grafo
regular de grado r
f) ¿Es completo? Justifique su respuesta
Es completo ya que un grafo simple que tiene exactamente una arista entre cada par de vértices
distintos es llamado grafo completo,
g) Una cadena simple no elemental de grado 6
Una cadena simple es una secuencia finita alterna de vértice y arista sin repetir arista, no
elemental indica que puede repetirse los vértices. El grado nos indica la cantidad de arista que
debe contener la cadena, en esta oportunidad son 6

4. C=[B1,A1,B2,A8,B5,A13,B3,A12,B8,A18,B7,A19,25]
h) Un ciclo no simple de grado 5
No simple las aristas pueden repetirse y el grado indica cuantas aristas lleva el ciclo, en este caso
es grado 5.
C=[V3, A7, V6, A20 V7, A19, V5, A8, V2, A3, V3]
i) Árbol generador aplicando el algoritmo constructor
Seleccionamos el vértice V1
V1 H1={V1}
Seleccionamos las aristas A4
a4 H2 = {V1, V4}
a13 H3= {V1, V4, V8}
a12 H4= {V1, V4, V8,V3}
a13 H5= {V1, V4, V8,V3,V5}
a8 H6= {V1, V4, V8, V3, V5, V2}
a10 H7={V1,V4,V8,V3,V5,V2,V6}
a20 H8={V1,V4,V8,V3,V5,V2,V6,V8}
j) Subgrafo parcial
Se obtiene al conservar todos los nodos o vértices de g y se suprimen algunas aristas

5. k) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury
Si el grafo es euleriano a partir de un vértice cualquiera de g se puede construir una
cadena simple, de manera que no se repitan las aristas y no se elijan aristas de corte a no ser que
no se encuentren otra alternativa, al a ver agotado las aristas decimos que tenemos un tour
euleriano. Luego de experimentar en repetidas ocasiones el recorrido del grafo sin repetir arista,
no ha sido posible encontrar un camino euleriano donde no se repitan arista, por lo tanto no se
cumple que el grafo sea euleriano
l) Demostrar si es hamiltoniano
Un grafo es hamiltoniano si contiene un ciclo hamiltoniano, en el cual se debe cumplir
que atraviese cada vértice del grafo exactamente una vez
C=[V1,a3,V2,a10,V6,a20,V7,a15,V4,a11,a2,V3,a2,V1]
Dado el siguiente dígrafo:

6. a) Encontrar matriz de conexión Mc(G)=
b) ¿Es simple? Justifique su respuesta
Se cumple que el dígrafo es simple, ya que no tiene lazos y no existen arcos paralelos que partan
de un mismo vértice
c) Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5
En las cadenas no simples se pueden repetir los arcos durante el recorrido y que sea no
elemental, también nos permite repetir vértices, el grado 5 nos indica el número de arcos que
tendrá nuestra cadena
T= {v4, a9, v1, a5, v3, a8, v4, a9, v1, a6, v5}
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 0 1 1 0 1 0
V2 0 0 1 1 0 1
V3 0 0 0 1 1 0
V4 1 0 0 0 0 1
V5 0 1 0 1 0 1
V6 0 0 0 0 1 0

7. d) Encontrar un ciclo simple
Un ciclo simple inicia y termina con el mismo vértice y en ella no se pueden repetir arcos
C={v6, a14, v5, a11, v4, a9, v1, a1, v2, a4, v6}
e) Demostrar si es fuertemente conexo
Para comprobar que un grafo es conexo podemos realizar los siguientes pasos
1. Hallar la matriz de adyacencia
2. Se calcula la suma de las potencias de A hasta An
3. Si todos sus elementos son distintos de cero el grafo es conexo
Matriz de adyacencia
Ma=
Elevamos la matriz al cuadrado para encontrar los caminos de tamaño dos
M2(D)=
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 0 0 1 1 1 1
V2 1 0 0 1 1 1
V3 1 1 0 1 0 1
V4 0 1 1 0 1 0
V5 1 0 1 1 1 1
V6 0 1 0 1 0 1
Elevamos la matriz al cubo para encontrar los caminos de tamaño 3

8. M3(D)=
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 1 1 1 1 1 1
V2 1 1 1 1 1 1
V3 1 1 1 0 1 1
V4 0 1 1 1 1 1
V5 0 1 1 1 1 1
V6 1 0 1 1 0 1
Elevamos la matriz a la 4 para encontrar los caminos de tamaño 4
M4(D)=
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 1 1 1 1 1 1
V2 1 0 1 1 1 1
V3 0 1 1 1 1 1
V4 1 1 0 1 1 1
V5 1 1 1 1 1 1
V6 1 1 1 1 0 1
Elevamos la matriz a la 5 para encontrar los caminos de tamaño 5
M5(D)=
Vv1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 1 1 1 1 1 1
V2 1 1 1 1 1 1
V3 1 1 1 1 1 1
V4 1 1 1 1 1 1
V5 1 1 1 1 1 1
V6 1 1 1 1 0 1
Matriz de accesibilidad
Ac(D)= bin {16 + M + M2 + M3 + M4 + M5}
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 3 4 5 4 5 4
V2 4 2 5 5 5 5
V3 3 4 3 4 4 4

9. V4 4 4 3 5 4 4
V5 3 4 4 5 4 5
V6 3 3 3 4 1 4
Acc(D)= bin
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 1 1 1 1 1 1
V2 1 1 1 1 1 1
V3 1 1 1 1 1 1
V4 1 1 1 1 1 1
V5 1 1 1 1 1 1
V6 1 1 1 1 1 1
El dígrafo es fuertemente conexo

10. V4 4 4 3 5 4 4
V5 3 4 4 5 4 5
V6 3 3 3 4 1 4
Acc(D)= bin
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 1 1 1 1 1 1
V2 1 1 1 1 1 1
V3 1 1 1 1 1 1
V4 1 1 1 1 1 1
V5 1 1 1 1 1 1
V6 1 1 1 1 1 1
El dígrafo es fuertemente conexo