Ejercicios repaso matematicas financieras ii

EJERCICIOS REPASO II
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1
Departamento Métodos Cuantitativos
Universidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz

2EJERCICIOS DE REPASO
EJERCICIO 4:
El S. Sousa ha percibido una herencia valorada en 90.000 €. La entidad que gestiona el cobro de la misma le
propone varias opciones para percibir la misma. Responda a las cuestiones planteadas en cada opción por el
perceptor del capital sabiendo que la operación se valora a un 6% de interés anual.
Opción I: Disponer de 20 cantidades constantes al final de cada año, la primera de ellas dentro de cuatro años.
¿Cuál será la cuantía de los pagos?

3
0 3 23
90.000
21 22
a
4 5 6
a a aa
3
20 )1( 
  iaaA i
3
20
)06,01(
06,0
)06,01(1
90000 



 a
a = 9.345,44 Euros

EJERCICIO 4:
Opción II: Disponer de una mensualidad constante de 900€ hasta agotar el capital disponible. ¿Cuántos
reintegros mensuales podría realizar?
En el caso de ser un número no entero, determine el valor de la extracción complementaria que podría realizar si
decide hacerla un mes después de la última extracción regular.

5
0 3 n
90.000
21 n-1
a
4 5 6
a a aa
004867551,0
)004867551,01(1
90090000
n


n = 137,36356 meses
aaa
12inaaA 
  k
kii )1(1  004867551,01)06,01( 12
1
12 i
5132449,0)004867551,1( n
5132449,0ln)004867551,1ln( n
004867551,1ln
5132449,0ln
n

6
0 3 137
90.000
21 136
a
4 5 6
a a Ca
138
137
)004867551,1(
004867551,0
)004867551,01(1
90090000 



 C
C = 327,72 Euros
aaa
138
12137 )1(12

  iCaaA i
138
a

EJERCICIO 4:
Opción III: Disponer de 15 anualidades crecientes de 300 euros anuales, la primera de ellas al finalizar el cuarto
año.
¿Cuál sería la cuantía de la primer anualidad que percibiría?

8
0 3 18
90.000
21 17
a
4 5 6
a+p a+2p a+14pa+13p
a = 9.258, 94 euros
3
)1()]([ 
  ivna
i
p
aaA n
inin
315
1515
)06,1()])06,1(15
06,0
)06,1(1
(
06,0
300
06,0
)06,1(1
[90000 





 a

EJERCICIO 4:
Paralelamente, el Sr Sousa ha realizado un plan de ahorro en la misma entidad financiera durante los últimos 10
años, realizando aportaciones en un fondo que remunera un 6% de interés anual liquidable mensualmente.
El compromiso adquirido por el señor Sousa fue realizar aportaciones trimestrales de 850 euros el primer año,
incrementando sus aportaciones en un 3% anual acumulativo.
En estas condiciones, cuál será el capital acumulado por el Sr. Sousa en el fondo?

10
En este problema debo tener en cuenta una serie de factores:
Me dan un tipo de interés J12
La renta es trimestral
La renta es constante cada trimestre pero variable de año en año en progresión geométrica
Este tipo de rentas variables de año en año y constantes para cada periodo k-esimal se resuelven en dos partes
1 COMO SI SE TRATARA DE UNA RENTA ANUAL VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
2 COMO NO ES ANUAL SINO TRIMESTRAL, SE CORRIGE
1
1



vq
vq
vaA
nn
1
kikS 
2
Además me piden el valor final de la renta, no el actual n
iAS )1( 

11
Primero calculo el interés mensual equivalente al J12
106167781,1(03,1
1)06167781,1(03,1
)06167781,1(850 1
1010
1


 


A
1
015075125,0
1)015075125,1( 4

2
  k
kii )1(1 
015075125,01)005,01( 4
12
4 i
005,0
12
06,0
12
12
12 
J
i
Como hemos visto en la fórmula, necesito calcular tanto el interés trimestral (periodicidad de la renta) como el
interés anual (variabilidad de la renta) equivalentes al tipo de interés mensual
061677811,01)005,01( 12
i
Entonces resolvemos en los dos pasos ya comentados:
A = 28.690,44 euros 29,52199)06167781,1(44,28690 10
S

EJERCICIO 5:
El Sr. Ugwu necesita solicitar un préstamo de 60,000 euros de nominal para amortizarlo en 20 años. Para ello le
ofrecen varias opciones alternativas. Responda a las cuestiones planteadas en cada caso.
a) Una primera opción es amortizar el préstamo mediante anualidades constantes, con un periodo de carencia
mixta inicial de tres años.
Si el tipo de interés pactado es del 3% los 10 primeros años y del 4% para los restantes, determine el valor de la
anualidad, la cuota de amortización del sexto año y la cuota de interés del año 12

13
0 3 20
60.000
21 19
a
4 5 6
a a aa
a = 4.678, 30 euros
7
107
)03,01(
04,0
)04,01(1
03,0
)03,01(1
60000 





 aa
Ci Ci Ci
60.000
i = 3% i’ = 4%
10
a
11
a
La cuota de amortización del sexto año:
2
13 )1().( imañosextom  11 ).( Iaañocuartom 
30,287803,06000030,46781 m 59,3053)03,01(30,2878 2
3 m

14
La cuota de interés del año 12= saldo pendiente de amortizar del año 11 x el tipo de interés
71,34784
04,0
)04,1(1
30,4678
)1120(
11 



 ihnaaS
39,139104,071,347841112  iSI
El saldo pendiente de amortizar del año 11 es igual al valor actualizado de las anualidades pendientes de
vencimiento

EJERCICIO 5:
b) La segunda opción es abonar cuotas de amortización constantes con un periodo de carencia pura inicial de cinco
años. Si el tanto de interés pactado es del 7%, calcule el calor de la cuota de amortización, la cuota de interés
del año 18 y el total amortizado hasta el final del año 10.
Plantee la ecuación que le permitiría calcular el tanto efectivo de coste si la operación lleva asociado una comisión
de apertura del 1% y unos gastos de estudio de 1.000€
El TAE de la operación, mide el coste real en este préstamo?

16
0 3 20
60.000
21 194 5 6
m mm
i = 7%
10
m
11
m
La cuota de amortización constante la calculo dividiendo, el total a amortizar entre el número de anualidades con
cuota constante de amortización
5
)1(60000 i
21,5610
)520(
)07,1(60000 5



m
La cuota de interés del año 18 es igual al saldo pendiente de amortizar del año 17 x el tipo de interés
El saldo pendiente de amortizar del año 17 es igual a la cantidad que queda por amortizar en los años 18, 19 y 20,
Es decir, 3 x m
62,1683021,5610317 S 14,117807,062,1683018 I

El total amortizado hasta el final del año 10 viene determinado por el número de anualidades (5) por la cantidad
que se amortiza cada año (m)
05,2805121,5610510 T
Para plantear la ecuación que permita calcular el tanto efectivo (coste) del préstamo, debo plantear una
equivalencia entre lo que recibo y lo que pago
Qué recibo? El nominal del préstamo, 60.000 euros. Sin embargo, como existe unas comisiones, de estudio y de
apertura (1000+0,001*60000) que ascienden a 1.600 euros, la cantidad que realmente percibo es de 58.400
euros
Cuándo lo recibo? En el momento 0
Qué pago? Pago una serie de anualidades representadas en la siguiente línea temporal:
0 3 2021 194 5 6
a1 a15a14
10
a5
11
a6

Como ya sabemos, las anualidades que amortizan un préstamo uniforme siguen una proporción, se corresponden
con una renta variable en progresión aritmética de razón, p=-mi
Por tanto, una vez calculado el valor de la primera anualidad, a1 y calculando el importe correspondiente a –mi,
podríamos plantear la ecuación financiera
515
1515
)1()])1(15
)1(1
(
07,021,5610)1(1
[58400 







 ii
i
i
ii
i
a
Habría que interpolar para obtener el valor de i, si bien el problema no lo pide
Por último, en este caso, la TAE del préstamo coincidiría con el tanto efectivo, pues todas las comisiones son
ingresos para el banco, por lo que intervendrían en el cálculo tanto del TAE como del tanto efectivo

EJERCICIO 5:
c) Finalmente, una tercera opción es abonar 8 anualidades de cuantía a, la primera de ellas al finalizar el tercer
año, y de cuantía 2ª los restantes años.
Si el tanto de interés pactado es del 5% anual, determine el valor de las anualidades, la cuota de amortización del
año 10, el total amortizado hasta el final del año 7 y el saldo al finalizar el año 15

20
0 3 20
60.000
21 194 5 6
a 2a2a
i = 5%
10
a
11
2a
El valor de las anualidades puedo obtenerlo a partir de la siguiente ecuación
2
)1(60000 i
8
05,01005,08
2
)05,01(2)05,1(60000 
 aaaa
Despejando, obtendría los siguientes valores para a y para 2a
a a a
(Equivalencia en el año 2)
10
05,010
2
05,08 )05,01(2)05,1(60000 
 aaaa (Equivalencia en el año 0)
a = 3.910,51 euros 2 a = 7.821,02

21
La cuota de interés del año 10 es igual al saldo pendiente de amortizar del año 9 x el tipo de interés
29,61240)05,01(02,782151,3910 1
05,01005,019  
aaS
01,306205,029,6124010 I
El total amortizado hasta el año 7 se puede calcular con la siguiente fórmula:
ismTañoT  313)7(
01,60305,06615051,391011  Iam
99,1900
05,0
1)05,1(
01,603
3
313 

 ismT

22
El saldo pendiente de amortizar al final del año 15 será el valor actualizado de las anualidades pendientes de
vencimiento, es decir,
92,3386002,7821 05,0515  aS

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