El documento presenta un problema de rentas constantes donde un señor vende un apartamento por 120.000 euros e invierte el dinero en una entidad financiera para recibir una renta anual durante 18 años. Se calcula la renta anual que recibiría con un interés del 3.5%, y también se analiza qué interés se necesitaría para recibir 12.000 euros anuales. Finalmente, se calculan varias extracciones complementarias.

1. PROBLEMAS DE RENTAS DISCRETAS
Rentas Constantes I
www.clasesuniversitarias.com
Departamento Métodos Cuantitativos
Universidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz

2. EJERCICIO 1:
El señor Previsor ha conseguido vender un apartamento por 120.000 €. Decide invertir ese importe en una entidad
financiera a cambio de recibir una renta constante al final de cada año, durante los 18 años que le restan hasta
alcanzar su jubilación. La entidad financiera le ofrece un interés del 3,5% anual.
a) ¿Qué cantidad podría obtener cada año?
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3. 0 3 18
120.000
21 17
a
4 5 6
a a aa
iaaA ¬×= 18
035,0
)035,01(1
120000
18−
+−
×= a
a = 9.098,02 Euros
aaa
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4. EJERCICIO 1:
El señor Previsor ha conseguido vender un apartamento por 120.000 €. Decide invertir ese importe en una entidad
financiera a cambio de recibir una renta constante al final de cada año, durante los 18 años que le restan hasta
alcanzar su jubilación. La entidad financiera le ofrece un interés del 3,5% anual.
b) Si en lugar de recibir el importe obtenido en el apartado a), quisiera recibir una cantidad anual de 12,000 euros, con
qué tipo de interés debería trabajar la entidad financiera?
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5. 0 3 18
120.000
21 17
a
4 5 6
a a aa
iaaA ¬×= 18
i
i 18
)1(1
12000120000
−
+−
×=
aaa
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Para que a sea igual a 12.000,00 Euros, cuál debe ser el tipo de interés?
i
i 18
)1(1
10
−
+−
=

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No podemos despejar el valor de i, por lo que utilizamos un sistema para su
estimación, que se llama INTERPOLACIÓN, y se compone de 3 pasos
i
i 18
)1(1
10
−
+−
= ia ¬= 1810
PASO 1: Representar GRÁFICAMENTE la función , y marcar el valorina ¬ ia ¬= 1810
ina ¬
i
ia ¬18
i

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PASO 2: INVENTARME tipos de interés hasta obtener un ''18'18 10 ii aa ¬¬ ff
ina ¬
i
1018 =¬ ia
i
Por ejemplo, empiezo con un 6% y calculo el importe de 06.018 ¬a
8276,10
06.0
)06.01(1 18
06.018 =
+−
=
−
¬a
8276,1006.018 =¬a
06,0' =i
He encontrado un, por lo que ahora debo encontrar un10'18 fia ¬ ''1810 ia ¬f
OJO!!! Debo utilizar un tipo de interés que, COMO MÁXIMO, SEA UN 1%
MAYOR O MENOR!!!
En este caso, debo utilizar un tipo de interés mayo, por lo que pruebo
con el 7%
0591,10
07.0
)07.01(1 18
07.018 =
+−
=
−
¬a
Sigue siendo un , pero al estar más próximo a este
valor, es el que utilizo, descartando el tipo de interés del 6%
10'18 fia ¬

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PASO 2: INVENTARME tipos de interés hasta obtener un ''18'18 10 ii aa ¬¬ ff
ina ¬
i
1018 =¬ ia
i
Por ejemplo, empiezo con un 6% y calculo el importe de 06.018 ¬a
8276,10
06.0
)06.01(1 18
06.018 =
+−
=
−
¬a
0591,1007.018 =¬a
07,0' =i
He encontrado un, por lo que ahora debo encontrar un10'18 fia ¬ ''1810 ia ¬f
OJO!!! Debo utilizar un tipo de interés que, COMO MÁXIMO, SEA UN 1%
MAYOR O MENOR!!!
En este caso, debo utilizar un tipo de interés mayo, por lo que pruebo
con el 7%
0591,10
07.0
)07.01(1 18
07.018 =
+−
=
−
¬a
Sigue siendo un , pero al estar más próximo a este
valor, es el que utilizo, descartando el tipo de interés del 6%
10'18 fia ¬

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PASO 2: INVENTARME tipos de interés hasta obtener un ''18'18 10 ii aa ¬¬ ff
ina ¬
i
1018 =¬ ia
i
Sigo intentando obtener un , por lo que pruebo ahora con un 8%
3719,9
08.0
)08.01(1 18
08.018 =
+−
=
−
¬a
37,908.018 =¬a
08,0'' =i
De este modo he completado el Paso 2 de la INTERPOLACIÓN, ya que he
encontrado lo que buscaba, es decir,
10'18 fia ¬
06,1007.018 =¬a
07,0' =i
37,91006,10 %8''18%)7('18 == =¬=¬ ii aa ff

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PASO 3: Aplicar la teoría de los TRIÁNGULOS SEMEJANTES.
ina ¬
i
1018 =¬ ia
i
37,908.018 =¬a
08,0'' =i
Estos dos triángulos son equivalentes si el cociente entre sus catetos
coincide, es decir, si06,1007.018 =¬a
07,0' =i
A
B
'A
'B
'
'
B
A
B
A
=
Tras realizar el PASO 2 del proceso de INTERPOLACIÓN, en
la GRÁFICA aparecen tres triángulos, ¿LOS VES?

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PASO 3: Aplicar la teoría de los TRIÁNGULOS SEMEJANTES.
ina ¬
i
1018 =¬ ia
i
37,908.018 =¬a
08,0'' =i
Estos dos triángulos son equivalentes si el cociente entre sus catetos
coincide, es decir, si06,1007.018 =¬a
07,0' =i
A
B
'A
'B
'
'
B
A
B
A
=
Tras realizar el PASO 2 del proceso de INTERPOLACIÓN, en
la GRÁFICA aparecen tres triángulos, ¿LOS VES?

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PASO 3: Aplicar la teoría de los TRIÁNGULOS SEMEJANTES.
ina ¬
i
1018 =¬ ia
i
37,908.018 =¬a
08,0'' =i
Estos dos triángulos son equivalentes si el cociente entre sus catetos
coincide, es decir, si06,1007.018 =¬a
07,0' =i
A
B
'A
'B
'
'
B
A
B
A
=
Tras realizar el PASO 2 del proceso de INTERPOLACIÓN, en
la GRÁFICA aparecen tres triángulos, ¿LOS VES?

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PASO 3: Aplicar la teoría de los TRIÁNGULOS SEMEJANTES.
ina ¬
i
1018 =¬ ia
i
37,908.018 =¬a
08,0'' =i
Estos dos triángulos son equivalentes si el cociente entre sus catetos
coincide, es decir, si06,1007.018 =¬a
07,0' =i
A
B
'A
'B
'
'
B
A
B
A
=
Tras realizar el PASO 2 del proceso de INTERPOLACIÓN, en
la GRÁFICA aparecen tres triángulos, ¿LOS VES?
Pues bien, esos tres triángulos SON SEMEJANTES entre sí, lo que quiere decir que el cociente entre sus
catetos coincide. Por tanto, cogemos DOS DE ELLOS (siempre uno de ellos debe ser el triángulo
GRANDE!!!

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PASO 3: Aplicar la teoría de los TRIÁNGULOS SEMEJANTES.
ina ¬
i
1018 =¬ ia
i
37,908.018 =¬a
08,0'' =i
06,1007.018 =¬a
07,0' =i
ina ¬
i
1018 =¬ ia
i
37,908.018 =¬a
08,0'' =i
06,1007.018 =¬a
07,0' =i
''''
18'18''18'18
ii
aa
ii
aa iiii
−
−
=
−
− ¬¬¬¬
07,0
100591,10
07,008,0
3719,90591,10
−
−
=
−
−
i
De donde despejamos el valor de i, que resulta %08,7=i

15. EJERCICIO 1:
El señor Previsor ha conseguido vender un apartamento por 120.000 €. Decide invertir ese importe en una entidad
financiera a cambio de recibir una renta constante al final de cada año, durante los 18 años que le restan hasta
alcanzar su jubilación. La entidad financiera le ofrece un interés del 3,5% anual.
c) Si no encontrara ninguna entidad financiera que le ofreciera el interés calculado en el apartado b) y decide trabajar
con el interés del 3,5% que le ofrece la primera entidad, cuántas extracciones anuales de 12,000 euros podría
obtener?
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16. 0 3 n
120.000
21 n-1
a
4 5 6
a a aa
035,0
)035,01(1
12000120000
n−
+−
×=
n = 12,5222398 años
aaa
inaaA ¬×=
65,0ln035,1ln =×− n
035,1ln
65,0ln
−=n
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n−
+−= )035,01(135,0 65,0)035,01( =+ − n
65,0ln035,1ln =− n

17. EJERCICIO 1:
El señor Previsor ha conseguido vender un apartamento por 120.000 €. Decide invertir ese importe en una entidad
financiera a cambio de recibir una renta constante al final de cada año, durante los 18 años que le restan hasta
alcanzar su jubilación. La entidad financiera le ofrece un interés del 3,5% anual.
d) En caso de que se trate de un número de extracciones no enteras, calcular cómo y cuando agotaría los 120.000
euros.
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18. 0 3 n
120.000
21 12
a
4 5 6
a a a
035,0
)035,01(1
12000120000
12−
+−
×≠
aaa
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12,52
C
5222398,12
12
)035,01(
035,0
)035,01(1
12000120000 −
−
++
+−
×= C
€37,215.6=C

19. EJERCICIO 1:
El señor Previsor ha conseguido vender un apartamento por 120.000 €. Decide invertir ese importe en una entidad
financiera a cambio de recibir una renta constante al final de cada año, durante los 18 años que le restan hasta
alcanzar su jubilación. La entidad financiera le ofrece un interés del 3,5% anual.
d) Calcule el valor de la extracción complementaria si se realizara al año de la última extracción de 12.000 euros.
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20. 0 3 13
120.000
21 12
a
4 5 6
a a a
035,0
)035,01(1
12000120000
12−
+−
×≠
aaa
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C
13
12
)035,01(
035,0
)035,01(1
12000120000 −
−
++
+−
×= C
€36,318.6=C

21. EJERCICIO 1:
El señor Previsor ha conseguido vender un apartamento por 120.000 €. Decide invertir ese importe en una entidad
financiera a cambio de recibir una renta constante al final de cada año, durante los 18 años que le restan hasta
alcanzar su jubilación. La entidad financiera le ofrece un interés del 3,5% anual.
e) Calcule el valor de la extracción complementaria si se realizara junto con la última extracción de 12.000 euros.
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22. 0 3 13
120.000
21 12
a
4 5 6
a a a
035,0
)035,01(1
12000120000
12−
+−
×≠
aaa
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12
12
)035,01(
035,0
)035,01(1
12000120000 −
−
++
+−
×= C
€70,104.6=C
+C

23. EJERCICIO 1:
El señor Previsor ha conseguido vender un apartamento por 120.000 €. Decide invertir ese importe en una entidad
financiera a cambio de recibir una renta constante al final de cada año, durante los 18 años que le restan hasta
alcanzar su jubilación. La entidad financiera le ofrece un interés del 3,5% anual.
f) Calcule el valor de la extracción complementaria si la cobrara en el momento inicial.
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24. 0 3 13
120.000
21 12
a
4 5 6
a a a
035,0
)035,01(1
12000120000
12−
+−
×≠
aaa
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C+
+−
×=
−
035,0
)035,01(1
12000120000
12
€99,039.4=C
C