El documento presenta dos ejercicios sobre rentas fraccionadas con tipos de interés. El primer ejercicio calcula las cantidades trimestrales a cobrar de una inversión inicial de 25,000 euros a un 3% de interés efectivo mensual durante 4 años. El segundo ejercicio calcula el pago inicial para cancelar una deuda de 18,000 euros a través de pagos trimestrales durante 5 años con un interés anual del 4%.

1. PROBLEMAS DE RENTAS DISCRETAS
Rentas Fraccionadas
www.clasesuniversitarias.com
Departamento Métodos Cuantitativos
Universidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz

2. EJERCICIO 1:
Unos sellos que mi padre me regaló cuando era pequeño, han incrementado su valor enormemente. Tanto es así que
acabo de venderlos por 25,000 euros. Como empiezo en 4 meses un grado en Administración de Empresas de
cuatro años de duración, he decidido invertir este importe en una entidad que me abonará una cantidad
trimestral, la primera de ellas dentro de cuatro meses.
Calcular la cantidad que cobraré cada vez, si la entidad trabaja con un tipo de interés del 3% efectivo mensual
www.clasesuniversitarias.com RENTAS FRACCIONADAS. PROBLEMAS

3. www.clasesuniversitarias.com RENTAS FRACCIONADAS. PROBLEMAS
0 3
25.000
21
a
T2
1
124 )1(4
−
¬⋅ +⋅×= iaaA in
a
T3
a
T4
a
T5
a
T6
a
T1
a
T15 T16
4 años4
( )ii +=+ 1)1( 4
4
( ) 00741707,0103,111 4
1
4
1
4 =−=−+= ii
( )ii +=+ 1)1( 12
12
( ) 00246627,0103,111 12
1
12
1
12 =−=−+= ii
a

4. www.clasesuniversitarias.com RENTAS FRACCIONADAS. PROBLEMAS
0 3
25.000
21
a
T1
1
16
)00246627,1(
00741707,0
)00741707,1(1
000.25 −
−
⋅
−
⋅= a
a
T2
a
T3
a
T4
a
T5
a
T0
a
T15 T16
4 años4
a = 1.666,92 euros

5. EJERCICIO 2:
A consecuencia de los impagos producidos, un cliente nos adeuda un importe que asciende a 18.000 euros. Nos
propone para cancelar la deuda, pagar una cantidad trimestral durante cinco años. Utilizando un tipo de interés
anual del 4% con liquidaciones semestrales.
Calcular el importe del primer pago si:
a) Las cantidades trimestrales se incrementan en 50 euros cada trimestre.
www.clasesuniversitarias.com RENTAS FRACCIONADAS. PROBLEMAS

6. www.clasesuniversitarias.com RENTAS FRACCIONADAS. PROBLEMAS
18.000 a
T1
)4( 4
4
4
4 44
⋅
¬⋅¬⋅ ⋅⋅+⋅+×= n
inin vna
i
p
aaA
a+p
T2
a+2p
T3
a+3p
T4
a+4p
T5
a+5p a+18p
T19 T20
5 años
T0 T6
a+19p
En este problema debo tener en cuenta una serie de factores:
Me dan un tipo de interés J2
La renta es trimestral
Primero calculo el interés semestral equivalente al J2 02,0
2
04,0
2
2
2 ===
J
i
Como hemos visto en la fórmula, necesito calcular el interés trimestral
( ) k
kii )1(1 +=+ 00995049,01)02,01( 4
2
4 =−+=i

7. www.clasesuniversitarias.com RENTAS FRACCIONADAS. PROBLEMAS
18.000 a
T1
))00995049,1(20
00995049,0
)00995049,1(1
(
00995049,0
50
00995049,0
)00995049,1(1
000.18 20
2020
−
−−
⋅+
−
⋅+
−
⋅= a
a+p
T2
a+2p
T3
a+3p
T4
a+4p
T5
a+5p a+18p
T19 T20
5 años
T0 T6
a+19p
a = 538,43 euros

8. EJERCICIO 2:
A consecuencia de los impagos producidos, un cliente nos adeuda un importe que asciende a 18.000 euros. Nos
propone para cancelar la deuda, pagar una cantidad trimestral durante cinco años. Utilizando un tipo de interés
anual del 4% con liquidaciones semestrales.
Calcular el importe del primer pago si:
b) Las cantidades se mantienen constantes para cada trimestre se incrementan en 100 euros cada año.
www.clasesuniversitarias.com RENTAS FRACCIONADAS. PROBLEMAS

9. www.clasesuniversitarias.com RENTAS FRACCIONADAS. PROBLEMAS
18.000
)( n
inin vna
i
p
aaA ⋅+⋅+×= ¬¬
año 50 año 4año 3año 2año 1
a a a a a+p a+p a+p a+p a+2p a+2p a+2p a+2p a+4p
a+4pa+4p a+4pa+3p
En este problema debo tener en cuenta una serie de factores:
Me dan un tipo de interés J2
La renta es trimestral
La renta es constante cada trimestre pero variable de año en año en progresión aritmética
Este tipo de rentas variables de año en año y constantes para cada periodo k-esimal se resuelven en dos partes
1 COMO SI SE TRATARA DE UNA RENTA ANUAL VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
2 COMO NO ES ANUAL SINO TRIMESTRAL, SE CORRIGE
kikS ¬
1 2

10. www.clasesuniversitarias.com RENTAS FRACCIONADAS. PROBLEMAS
)04,15
04,0
)0404,1(1
(
04,0
100
04,0
)0404,1(1
000.18 5
55
−
−−
⋅+
−
⋅+
−
⋅= a
00995049,0
1)00995049,1( 4
−
Primero calculo el interés semestral equivalente al J2
( ) k
k
k
k ii )1(1
'
' +=+
Como hemos visto en la fórmula, necesito calcular tanto el interés trimestral (periodicidad de la renta) como el interés
anual (variabilidad de la renta) equivalentes al tipo de interés semestral
0404,01)02,01( 2
=−+=i
Entonces resolvemos en los dos pasos ya comentados:
02,0
2
04,0
2
2
2 ===
J
i
00995049,01)02,01( 4
2
4 =−+=i
a = 804,89 euros