Es un método sencillo para encontrar las soluciones a sistemas lineales. Este documento forma parte de un libro en edicion. Solicito sugerencias....

1. Solucion del sistema de ecuaciones lineales por el metodo de reduccion
Sean los sistemas:
1. 2x+y-2z=10
2. 3x+2y+2z=1
3. 5x+4y+3z=4
El método de reducción consiste en ir reduciendo poco a poco lo más que se pueda el sistema de ecuaciones. Así, lo primero que hay que hacer es dividir las ecuaciones por un número tal que nos reduzca a uno por lo menos el coeficiente existente.
Importante que cuando se manipula una ecuación para sumar a otra, esta quede tal como estaba antes de la operación.
Si observamos, cada ecuación tiene coeficientes diferentes a uno, lo que hay que hacer para obtener un uno (1) de coeficiente, es dividir entre el coeficiente inicial. Así: 12(2푥+푦−2푧=10) 푥+ 푦 2−푧=5
Lo hacemos con la segunda ecuación:
15(5푥+4푦+3푧=4) 푥+ 4푦 5+ 3푧 5= 45
Lo hacemos con la tercera ecuación:
13(3푥+2푦+2푧=1) 푥+ 2푦 3+ 2푧 3= 13

2. Nuestro nuevo sistema de ecuaciones equivalente es: 풙+ 풚 ퟐ −풛=ퟓ 푥+ 4푦 5+ 3푧 5= 45 푥+ 2푦 3+ 2푧 3= 13
Multiplico a la primera ecuación por (-1) y se la sumo a la segunda ecuación y a la tercera ecuación: (−1)(푥+ 푦 2−푧=5)
−푥− 푦 2+푧=−5 푥+ 4푦 5+ 3푧 5= 45
0+ 3푦 10+ 8푧 5=− 215
Ahora con la tercera ecuacion: −푥− 푦 2+푧=−5 푥+ 2푦 3+ 2푧 3= 13
0+ 푦 6+ 5푧 3=− 143
Nuevamente obtengo un nuevo sistema de ecuaciones equivalente: +풙+ 풚 ퟐ −풛=ퟓ 0+ 3푦 10+ 8푧 5=− 215 0+ 푦 6+ 5푧 3=− 143

3. Necesito reducir más: para lograr esto multiplicamos a la tercera ecuación por (6): (6)(0+ 푦 6+ 5푧 3=− 143) 0+푦+10푧=−28
Multiplico por (10) a la segunda ecuación:
(10)(0+ 3푦 10+ 8푧 5=− 215) 0+3푦+16푧=−42
El nuevo sistema de ecuaciones equivalente: +풙+ 풚 ퟐ −풛=+ퟓ 0+푦+10푧=−28 0+3푦+16푧=−42
Nuestro siguiente paso consiste en lo mismo, seguir reduciendo más nuestro sistema pero sin cambiar su esencia. Si observas, el segundo término de la tercera ecuación es (3y) y la segunda ecuación es (y). Multiplicando a la segunda ecuación por (-3) y sumándola a la tercera reducimos un poco más nuestro sistema:
(−3)(0+푦+10푧=−28) 0−3푦−30푧=84 0+3푦+16푧=−42
0+0−14푧=42

4. El sistema equivalente queda ahora como se muestra:
1. 풙+ 풚 ퟐ −풛=ퟓ
2. 0푥+푦+10푧=−28
3. 0푥+0푦−14푧=42
De donde como observas, de la tercera ecuación podemos despejar a (z) e ir descubriendo las incógnitas: Procedemos así: −14푧=42 푧=− 4214 풛=−ퟑ
Este valor de (z) lo sustituimos en la segunda ecuación: 푦+10푧=−28 푦+10(−3)=−28 푦−30=−28 풚=ퟐ
Con estos dos valores nos vamos a la primera ecuación y los sustituimos: 푥+ 푦 2−푧=5 푥+ 22−(−3)=5 푥+1+3=5 푥=5−4 풙=ퟏ
Luego, dando respuesta al sistema concluimos que la solución ocurre en el punto de intersección (1, 2,-3).
Segundo Sistema:
4. 5x-y+4z=5
5. 2x+3y+5z=2
6. 7x-2y+6z=5
Dividimos entre los coeficientes de sus primeros términos. Iniciamos con la primera ecuación:

5. ( 15)(5푥−푦+4푧=5) 푥− 푦 5+ 4푧 5=1
Con la segunda ecuación: ( 12)(2푥+3푦+5푧=2) 푥+ 3푦 2+ 5푧 2=1
Con la tercera ecuación: ( 17)(7푥−2푦+6푧=5) 푥− 27+ 6푧 7= 57
Obtenemos un nuevo sistema equivalente sin alterar su esencia: 푥− 푦 5+ 4푧 5=1 푥+ 3푦 2+ 5푧 2=1 푥− 27+ 6푧 7= 57
Ahora manipulamos a la primera ecuación para obtener un sistema más reducido. Multiplicamos a la primera ecuación por (-1) y la sumamos a la segunda ecuación y a la tercera: (−1)(푥− 푦 5+ 4푧 5=1) −푥+ 푦 5− 4푧 5=−1 푥+ 3푦 2+ 5푧 2=1
0푥+ 17푦 10+ 17푧 10=0
Ahora con la tercera ecuación: −푥+ 푦 5− 4푧 5=−1

6. 푥− 27+ 6푧 7= 57
0푥− 3푦 35+ 2푧 35=− 27
Nuevamente obtenemos un nuevo sistema de ecuaciones lineales sin cambiar su esencia: 푥− 푦 5+ 4푧 5=1 0푥+ 17푦 10+ 17푧 10=0 0푥− 3푦 35+ 2푧 35=− 27
Ahora cambiamos a la segunda y a la tercera ecuación para no trabajar con las fracciones: a la segunda ecuación la multiplicamos por (10) y a la tercera por (35). (10)(0푥+ 17푦 10+ 17푧 10=0) 0푥+17푥+17푧=0
La tercera: (35)(0푥− 3푦 35+ 2푧 35=− 27) 0푥−3푦+2푧=−10
Obtenemos un nuevo sistema equivalente sin alterar su esencia: 푥− 푦 5+ 4푧 5=1 0푥+17푥+17푧=0 0푥−3푦+2푧=−10
Necesitamos que sea aún más reducido y para ello observamos lo que podemos hacer: Si miras la tercera ecuación veras que solo hay dos incógnitas, aquí necesitamos que solo se encuentre una y el sistema se reduce más. Para ello utilizaremos la técnica de la división: queremos sumar la segunda ecuación con la tercera ecuación de forma tal que se elimine la variable (y) en la tercera ecuación. Para ello, dividimos a la segunda por (ퟑ ퟏퟕ ) 푦∶

7. ( 317)(0푥+17푦+17푧=0) 0푥+3푦+3푧=0
La sumamos con la tercera:
0푥+3푦+3푧=0 0푥−3푦+2푧=−10
0푥+0푦+5푧=−10
Nuestro ultimo sistema equivalente queda de la siguiente forma: 푥− 푦 5+ 4푧 5=1 0푥+17푥+17푧=0 0푥+0푦+5푧=−10
De la tercera ecuación resolvemos para la variable buscada (z):
5푧=−10 푧=− 105 풛=−ퟐ
Con este valor nos vamos a la segunda ecuación del nuevo sistema equivalente y sustituimos:
0푥+17푦+17푧=0 17푦+17(−2)=0 17푥푦34 푦= 3417 풚=ퟐ

8. Seguimos escalando hasta llegar a la primera ecuación y sustituimos los valores de las incógnitas encontradas:
푥− 푦 5+ 4푧 5=1 푥− 25+ 4(−2) 5=1 푥=1+ 25+ 85 풙=ퟑ
Luego, dando respuesta al sistema concluimos que la solución ocurre en el punto de intersección (3, 2,-2).
El tercer sistema:
7. x+2y+z=1
8. x +y+2z=4
9. 2x+y+z=3
El sistema nos muestra los unos en la primera y segunda ecuación, entonces procedemos a reducir a la tercera ecuación para obtener un uno en el primer coeficiente: ( 12)(2푥+푦+푧=3) 푥+ 푦 2+ 푧 2= 32
Ahora manipulamos a la primera ecuación multiplicándola por (-1) y sumándola a la segunda ecuación y a la tercera ecuación:
(−1)(푥+2푦+푧=1) −푥−2푦−푧=−1)

9. La sumamos a la segunda ecuación: −푥−2푦−푧=−1) 푥+푦+2푧=4
0푥−푦+푧=3
Ahora la sumamos a la tercera ecuación:
−푥−2푦−푧=−1 푥+ 푦 2+ 푧 2= 32 0푥− 3푦 2− 푧 2= 12
Nuestro nuevo sistema de ecuaciones equivalente sin alterar su esencia queda de la manera siguiente: 푥+2푦+푧=1 0푥−푦+푧=3 0푥− 3푦 2− 푧 2= 12
Ahora para no trabajar con fracciones multiplicamos a la tercera ecuación por (2): (2)( 0푥− 3푦 2− 푧 2= 12) 0푥−3푦−푧=1
Necesitamos seguir reduciendo más nuestro nuevo sistema así que multiplicamos por (-3) a la segunda ecuación y se la sumamos a la tercera:
(−3)(0푥−푦+푧=3) 0푥+3푦−3푧=−9

10. Sumada a la tercera nos queda que:
0푥+3푦−3푧=−9 0푥−3푦−푧=1
0푥+0푦−4푧=−8
El nuevo sistema equivalente sin alterar su esencia queda como sigue. 푥+2푦+푧=1 0푥+3푦−3푧=−9 0푥+0푦−4푧=−8
De la tercera ecuación resolvemos para la variable (z) buscada: −4푧=−8 푧= 84 푧=2
Con este valor escalamos hasta la segunda ecuación en donde sustituimos este valor encontrado: 0푥+3푦−3푧=−9 3푦−3(2)=−9 3푦=−9+6 3푦=−3 푦=− 33 푦=−1
Seguimos escalando hasta llegar a la primera ecuación del nuevo sistema equivalente sin alterar su esencia:
푥+2푦+푧=1 푥+2(−1)+2=1 푥=1

11. Luego, dando respuesta al sistema concluimos que la solución ocurre en el punto de intersección (1, -1,2).
El cuarto sistema:
10. -3x+y-2z=0
11. 2x+7y+9z=5
12. x+5y+6z=4
Procederemos de igual forma que en los anteriores sistemas, dividiendo cada ecuación entre el inverso de su primer coeficiente. Aquí la primera ecuación: ( 13)(−3푥+푦−2푧=0) −푥+ 푦 3− 2푥 3=0
Para la segunda se tiene que:
( 12)(2푥+7푦+9푧=5) 푥+ 7푦 2+ 9푧 2= 52
Y para la tercera no se efectúa pues ya tiene un uno como coeficiente de su primer término. Así, nuestro nuevo sistema de ecuaciones lineales queda como: −푥+ 푦 3− 2푥 3=0 푥+ 7푦 2+ 9푧 2= 52 푥+5푦+6푧=4
Observamos que la primera ecuación se puede sumar con la segunda y con la tercera, entonces procederemos a efectuar las operaciones:

12. −푥+ 푦 3− 2푥 3=0 푥+ 7푦 2+ 9푧 2= 52 0푥+ 23푦 6+ 23푧 6= 52
Para la tercera ecuación: −푥+ 푦 3− 2푥 3=0 푥+5푦+6푧=4
0푥+ 16푦 3+ 16푧 3=4
Encontramos un nuevo sistema equivalente sin alterar su esencia: −푥+ 푦 3− 2푥 3=0 0푥+ 23푦 6+ 23푧 6= 52 0푥+ 16푦 3+ 16푧 3=4
Para no trabajar con las fracciones podemos multiplicar a la segunda ecuación por (6) y a la tercera ecuación por (3) realizando estas operaciones tenemos que:
(6)(0푥+ 23푦 6+ 23푧 6= 52) 0푥+23푦+23푧=15
Y la tercera: (3)(0푥+ 16푦 3+ 16푧 3=4) 0푥+16푦+16푧=12

13. Nuestro nuevo sistema de ecuaciones quedara como: −푥+ 푦 3− 2푥 3=0 0푥+23푦+23푧=15 0푥+16푦+16푧=12
Para eliminar otra variable en la tercera ecuación, multiplicamos a la segunda por (− 1623): (− 1623)( 0푥+23푦+23푧=15) 0푥−16푦−16푧=− 24023
Sumándola a la tercera ecuación: 0푥−16푦−16푧=− 24023 0푥+16푦+16푧=12 0푥+0푦+0푧= 3623
Luego, dando respuesta al sistema concluimos que el sistema no tiene solución.
Quinto sistema:
13. 2x-5y+4z=-1
14. 4x+5y+4z=3
15. 5x-3z=13
Procederemos de igual forma para el quinto sistema: pondremos unos en los coeficientes del primer término de cada ecuación:
( 12)(2푥−5푦+4푧=−1) 푥− 5푦 2+2푧=− 12

14. En la segunda ecuación: ( 14)(4푥+5푦+4푧=3) 푥+ 5푦 4+푧= 34
Y en la tercera ecuación: ( 15)(5푥+0푦−3푧=13 푥+0푦− 3푧 5= 135
Nuestro nuevo sistema lineal de ecuaciones queda como:
푥− 5푦 2+2푧=− 12 푥+ 5푦 4+푧= 34 푥+0푦− 3푧 5= 135
Ahora multiplicamos por (-1) la primera ecuación y la sumamos a la segunda y tercera ecuación para obtener un sistema más reducido: (−1)(푥− 5푦 2+2푧=− 12) −푥+ 5푦 2−2푧= 12
Sumando a la segunda: −푥+ 5푦 2−2푧= 12 푥+ 5푦 4+푧= 34
0푥+ 154−푧= 54

15. Sumando a la tercera: −푥+ 5푦 2−2푧=+ 12 푥+0푦− 3푧 5= 135 0푥+ 5푦 2− 13푧 5= 3110
Este nuevo sistema queda como:
푥− 5푦 2+2푧=− 12 0푥+ 154−푧= 54 0푥+ 5푦 2− 13푧 5= 3110
Arreglamos para no trabajar con las fracciones: multiplicamos a la segunda ecuación por (4) y a la tercera por (2):
(4)(0푥+ 154−푧= 54) 0푥+15푦−4푧=5
Y a la tercera: (2)(0푥+ 5푦 2− 13푧 5= 3110) 0푥+5푦− 26푧 5= 315
Entonces el sistema sin alterar su esencia queda como: 푥− 5푦 2+2푧=− 12 0푥+15푦−4푧=5

16. 0푥+5푦− 26푧 5= 315
Ahora queda eliminar la variable (y) de la tercera ecuación. Para ello, utilizaremos la técnica de la división: Dividimos a la segunda ecuación entre (-530), con lo que tendremos: (− 515)(0푥+15푦−4푧=5) 0푥−5푦+ 4푧 3=− 53
Sumándola a la tercera nos queda: 0푥−5푦+ 4푧 3=− 53 0푥+5푦− 26푧 5= 315 0푥+0푦− 58푧 15= 6815
Después de un largo camino, nos queda este sistema equivalente al que no ha sufrido alteración alguna: 푥− 5푦 2+2푧=− 12 0푥−5푦+ 4푧 3=− 53 0푥+0푦− 58푧 15= 6815
Como podemos observar, de la tercera ecuación se puede despejar la variable (z) requerida: − 58푧 15= 6815 58푧=− (15)(68) 15 푧=− 6858 푧=− 3429
Con este valor, escalamos hacia la segunda ecuación y sustituimos obteniendo:

17. 0푥−5푦+ 4푧 3=− 53 −5푦+ 4(− 3429) 3=− 53 −5푦− 136293=− 53 −5푦− 1362931=− 53 −5푦− (1)(136) (3)(29) =− 53 −5푦=− 53+ 13687 −5푦= −145+13687 −5푦=− 987=− 329 푦= 3145
Seguimos escalando hasta llegar a la primera ecuación y sustituimos las variables encontradas:
푥− 5푦 2+2푧=− 12 푥− 5( 3145) 2+2(− 3429)=− 12
Resuelve: 풙= ퟓퟓ ퟐퟗ
Luego, dando respuesta al sistema concluimos que la solución ocurre en el punto de intersección (5529 , 3145 ,− 3429).