Este documento describe los métodos variacionales y formulaciones integrales comúnmente usados para resolver ecuaciones diferenciales. Explica que existen dos pasos básicos: 1) poner la ecuación diferencial en forma variacional y 2) determinar la solución aproximada usando métodos como Ritz, Galerkin u otros. También define conceptos clave como funcionales, formulación variacional débil, y clasificación de condiciones de frontera en naturales y esenciales. El objetivo final es simplificar los problemas a una forma que pueda resolverse numéricamente us

1. Formulaciones variacionales y
métodos variacionales
FCC BUAP
Luis Alfredo Moctezuma
10/3/2016 1Formulaciones|métodos
variacionales

2. Introducción
• Formulaciones integrales y métodos variacionales
comunmente usados
– Ritz
– Galerkin
– Colocación
– Mínimos cuadrados
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3. Introducción
Hay dos pasos básicos en la solución variacional de una
ecuación diferencial:
1. Poner la ecuación diferencial en forma variacional
2. Determinar la solución aproximada usando un método
variacional como Ritz, Galerkin u otros métodos
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4. Introducción
• Forma débil o formulación variacional:
– Es una forma alternativa en que las ecuaciones diferenciales se
escriben en forma integral
– Dan lugar a ecuaciones tratables mediante los métodos de
álgebra lineal sobre un espacio vectorial de dimensión infinita o
espacio funcional
Disminuir r(r=y"- f ) al mínimo forzandola a ser ortogonal a las funciones de base
ó
para cada 0 ≤ i≤ n+1
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5. Introducción
En un método variacional, la variable dependiente de un
problema, es aproximada mediante una combinación lineal
de funciones apropiadamente escogidas:
• Los parámetros cj son determinados de manera tal que
la función u minimice un funcional I(u)( o que u satisfaga
la formulación débil)
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6. Introducción
• Estudio de la flexión elástica de vigas
– w denota la deflexión transversal de la viga(variable dependiente )
– L, denota la longitud total
– b(x) > 0 es la rigidez flexural (módulo de elasticidad y momento de
inercia) de la viga
– f(x) es la distribución de la carga transversal
– M0 el momento de flexión.
• Consideremos el problema de encontrar la solución w de la
ecuación diferencial
2.1
sujeto a las condiciones de frontera
2.2
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7. Introducción
• Cuando b(x) y f(x) son funciones continuas en (0, L),
se dice que los datos son suaves, entonces la solución
del problema, w, existe y satisface la ecuación
diferencial en cada punto x ∈ (0, L), así como las
condiciones de frontera
• El caso en que b y f son constantes distintas de cero.
Entonces, la solución exacta de (2.1) que satisface las
condiciones de frontera está dada por:
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8. Introducción
• La solución w y sus derivadas hasta de cuarto orden,
están bien definidas en cada punto del dominio (0, L)
• En la práctica, los datos dados de un problema no son
suaves (no son continuos en cualquier parte del
dominio)
– Por ejemplo, la rigidez flexural puede ser discontinua (en el caso
de una viga hecha de materiales disímiles, por ejemplo), o la
carga transversal f puede ser discontinua
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9. Introducción
• Supongamos que
f(x) = f0H(a − x)
y b(x) es continua. Aquí, H(a − x) denota la función de
Heaviside
En este caso, la cuarta derivada de la solución (w) no existe
en x = a
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10. Introducción
• La solución exacta w de la ecuación (2.1) no existe
en el sentido clásico (w debe satisfacer la ecuación
diferencial (2.1) en todos los puntos del dominio)
• Multiplicando (2.1) por una función v, llamada función
prueba, que sea dos veces diferenciable y que satisfaga
las condiciones
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11. Introducción
• Integrando el primer término por partes y usando las
condiciones de frontera (2.2), obtenemos la forma
variacional
Este funcional representa la energía potencial total de la
viga
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12. Notación
• Una función de varias variables se dice que es de clase
Cm(Ω) en un dominio Ω si todas sus derivadas parciales,
hasta las de orden m existen y son continuas en el
dominio Ω
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13. Problemas de valor de frontera
• Una ecuación diferencial se dice que describe un
problema de valor de frontera si la variable dependiente
y posiblemente sus derivadas requieran tomar valores
dados en la frontera
• Un problema de valor inicial es aquel en el cual la
variable dependiente y posiblemente sus derivadas son
dadas inicialmente (en t=0)
• Por lo general, los problemas de valores iniciales son
problemas dependientes del tiempo
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14. Problemas de valor de frontera
• Ejemplo de un problema con condiciones a la frontera
• Ejemplo de un problema con condiciones iniciales
• Ejemplo de un problema con condiciones iniciales y de
frontera
Las ecuaciones diferenciales en las cuales el lado derecho f es
cero son llamadas ecuaciones diferenciales homogéneas
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15. Problemas de valor de frontera
• El problema de determinar los valores de λ tales que
es un problema de valores propios o eigenvalores
asociado con la ecuación diferencial (2.10). Los valores
de λ son llamados valores propios
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16. Problemas de valor de frontera
• Solución exacta de una ecuación diferencial es la
función que satisface identicamente a la ecuación
diferencial y las condiciones de frontera
• Solución variacional de una ecuación diferencial es la
solución de un problema variacional asociado
– La solución variacional no es suficientemente diferenciable para
satisfacer la ecuación diferencial, pero es lo suficientemente
diferenciable para satisfacer la ecuación variacional equivalente
a la ecuación diferencial
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17. Teoremas de la divergencia y del gradiente
• La integración por partes es usada frecuentemente en la
formulación variacional de ecuaciones diferenciales
– En el caso bidimensional, la integración por partes es mejor
conocida como los teoremas de la divergencia y del gradiente
• Sean f, g funciones suficientemente diferenciables.
Entonces, integrando por partes se tiene:
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18. Teoremas de la divergencia y del gradiente
• Donde c(x) es una función de clase C2(a, b)
• Sea ∇ y ∇2 el operador gradiente y laplaciano en el
espacio tridimensional
• Si F(x,y,z) y G(x,y,z) son funciones de clase C1(Ω) los
siguientes se cumplen:
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19. Teoremas de la divergencia y del gradiente
• Teorema del gradiente
Teorema de la Divergencia
El · denota el producto escalar de vectores, n es el vector
unitario normal a la superficie Γ del dominio Ω, nx, ny, nz(Gx, Gy,
Gz) son las componentes rectangulares de n(G).
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20. Teoremas de la divergencia y del gradiente
• Además nx = cos(x, ñ), , ny = cos(y, ñ), nz = cos(z, ñ),
donde cos(x, ñ) es el coseno del ángulo entre la
dirección positiva del eje x y el vector unitario ñ.
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21. Funcionales
Funcionales
• Es una función de funciones
• Es un operador I que mapea u a un escalar I(u)
• Consideraremos expresiones de la forma
El valor I(u) de la integral depende de u
Para un u dado, I(u) representa un valor escalar
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22. Funcionales
• El conjunto de todas las funciones u(x) para las cuales
I(u) tiene sentido, es el espacio dominio del funcional
• El conjunto de imágenes de todas las funciones u bajo el
mapeo l es el rango del funcional I(u)
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23. Funcionales
• Un funcional I(u) se dice que es lineal en u sí y sólo sí,
satisface la relación
Para cualesquiera escalares α, β y variables dependientes u, v
• Un funcional B(u, v) se dice bilineal si es lineal en cada
uno de sus argumentos u, v
– Un ejemplo de forma lineal está dado por:
– Un ejemplo de forma bilineal es:
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24. Formulación variacional de problemas
con valores a la frontera
• Los métodos varicionales de aproximación están
basados en la formulación variacional o débil de
problemas físicos
• Las formulaciones variacionales facilitan, la clasificación
de las condiciones de frontera
– Naturales
– Esenciales
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25. Formulación variacional de problemas
con valores a la frontera
• Supongamos que se necesita encontrar la forma
variacional o débil de la siguiente ecuación diferencial en
dos dimensiones
sujeta a las siguientes condiciones de frontera
Donde F=F(x, y, u, ux, uy), Γ1, Γ2 porciones disjuntas, con
Γ= Γ1 + Γ2, nx, ny son los cosenos direccionales del vector
unitario normal a la frontera
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26. Formulación variacional de problemas
con valores a la frontera
Pasos para la formulación
• El primer paso consiste en multiplicar la ecuación (con todos los
términos de un lado de la igualdad) por una función prueba v e
integrar el producto sobre el dominio del problema:
– La función de prueba v, que puede pensarse como una variación
en u, se supone debe satisfacer la forma homogénea de la
segunda condición de frontera de la ecuación
– v es una función continua arbitraria
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27. Formulación variacional de problemas
con valores a la frontera
• El segundo paso consiste en transferir la diferenciación
de la variable dependiente u a la función prueba v, e
identificar el tipo de condiciones de frontera que pueda
admitir la forma variacional
– Es deseable transferir la diferenciación parcial con respecto a x
y a y a v de manera que la expresión resultante contenga
derivadas sólo de primer orden en u y v
– El propósito de transferir la diferenciación de u a v es igualar
los requerimientos de continuidad de u y v
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28. Formulación variacional de problemas
con valores a la frontera
• contiene uy y posiblemente productos de u, ux, y uy
• En el proceso de transferir la diferenciación se obtienen
términos de frontera que determinan la naturaleza de las
condiciones de frontera de la solución
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29. Formulación variacional de problemas
con valores a la frontera
• Como regla general, especificar coeficientes de v y sus
derivadas en la integral de frontera constituye la
condición de frontera natural. Entonces,
es la condición de frontera natural para nuestra ecuación
• La especificación de la variable dependiente u en la
misma forma que la función arbitraria v en la integral de
frontera constituyen las condiciones de frontera
esenciales
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30. Formulación variacional de problemas
con valores a la frontera
• En vista de la clasificación anterior de las condiciones de
frontera, podemos reformular las condiciones para la
función prueba
– La función prueba debe ser diferenciable, como lo requiere y
satisfacer la forma homogénea de las condiciones de frontera
esenciales dadas
• Las variables involucradas en las condiciones de
frontera
– Esenciales: se identificarán como variables primarias
– Naturales: se identificarán como variables secundarias
– Las variables primarias son continuas, mientras que las
secundarias pueden ser discontinuas en un problema
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31. Formulación variacional de problemas
con valores a la frontera
• El tercer paso consiste en simplificar los términos de
frontera con ayuda de las condiciones de frontera
especificadas e identificar el funcional cuadrático
asociado, si existe:
• Se obtiene de (2.9) separando los términos de frontera
en dos términos, uno sobre Γ1 y otro sobre Γ2, y
sustituyendo la condición de frontera natural en el primer
término
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32. Formulación variacional de problemas
con valores a la frontera
• El segundo término desaparece por el hecho de que v=0
en Γ2. Tenemos entonces
Las formas lineal y bilineal asociadas con la foma débil
están dada por expresiones que involucran u y v y v sóla,
respectivamente
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33. Formulación variacional de problemas
con valores a la frontera
Resumen:
1. Multiplicar la ecuación por una función prueba v e integrar sobre el
dominio del problema
2. Transferir la diferenciación de la variable dependiente u a la
función prueba v, e identificar el tipo de condiciones de frontera
que pueda admitir la forma variacional
3. Simplificar los términos de frontera con ayuda de las condiciones
de frontera especificadas e identificar el funcional cuadrático
asociado
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34. Formulación variacional de problemas
con valores a la frontera
• El nombre de forma débil es apropiado puesto que los
requerimientos de continuidad se reducen de C2 en la
ecuación original, a C1 en la ecuación variacional
• Ecuaciones de la forma anterior forman la base de
métodos variacionales de aproximación y por lo tanto,
del método de elemento finito
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35. Formulación variacional de problemas
con valores a la frontera
• Siempre que el funcional B(·, ·) es bilineal y simétrico,
B(u, v) = B(v, u), y l(v) es lineal, la forma cuadrática
asociada con la forma variacional se obtiene de
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36. Formulación variacional de problemas
con valores a la frontera
• Ejemplos representativos de ecuaciones diferenciales en
una y dos dimensiones formulación de ecuaciones
variacionales asociadas
• Ejemplo: Consideremos la ecuación diferencial
sujeta a condiciones de frontera
En este caso, los datos son f=−x2 , q=1 y Ũ=0
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37. Formulación variacional de problemas
con valores a la frontera
• Siguiendo los pasos descritos para la construcción de la
forma variacional, obtenemos, para una función de
prueba v
• Del término de frontera, la especificación de u es una
condición de frontera esencial, y la especificación de
es una condición de frontera natural
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38. Formulación variacional de problemas
con valores a la frontera
• Puesto que en x = 1 y v = 0 en x = 0, puesto
que u está especificada ahí, obtenemos la forma
variacional
donde
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39. Formulación variacional de problemas
con valores a la frontera
• Consideremos la ecuación diferencial de cuarto orden:
sujeto a las condiciones de frontera
Puesto que esta ecuación es de cuarto orden,
integraremos por partes dos veces para distribuir las
derivadas de manera igual entre w y la función prueba v:
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40. Formulación variacional de problemas
con valores a la frontera
• De la última línea se sigue que la especificación de w y
dw/dx constituye la condición de frontera esencial y la
especificación de son las condiciones de
frontera naturales
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41. Formulación variacional de problemas
con valores a la frontera
• En este caso , las condiciones de frontera especificadas
son:
• Entonces requerimos que
• Las condiciones de frontera naturales son
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42. Formulación variacional de problemas
con valores a la frontera
• Obtenemos entonces
o
donde
La forma cuadrática, comunmente conocida como energía
potencial total de la viga, está dada por:
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43. Métodos de aproximación variacionales
• Métodos variacionales de aproximación
– Método de Ritz, método de Petrov-Galerkin, método de mínimos
cuadrados, método de colocación
– Estos métodos buscan una solución aproximada en forma de
una combinación lineal de funciones de aproximación
adecuadas
• Los parámetros en la combinación lineal se determinan
de manera que la solución aproximada satisfaga la
forma débil o que minimice el funcional cuadrático de la
ecuación
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44. Métodos de aproximación variacionales
• Considérese el problema variacional de encontrar la
solución u tal que B(v,u)=l(v) (2.59) para todo v
suficientemente diferenciable que satisfaga la forma
homogénea de condiciones de frontera esenciales en u
• Cuando el funcional B es bilineal y simétrico y l es lineal,
la ecuación anterior es equivalente a minimizar el
funcional cuadrático
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45. El Método de Ritz
• El método de Ritz busca una solución aproximada en
forma de una serie finita
• Donde las constantes cj son llamadas coeficientes de
Ritz y se escogen de manera que (2.59) se satisfaga
para v=ϕi(i =1, ...,N), o sea
B(v,u)=l(v)
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46. El Método de Ritz
• Si B es bilineal, tenemos
• Lo cual representa un sistema de N ecuaciones lineales
con N incógnitas, los cj.
• Las columnas y filas de la matriz de coeficientes
Aij=B(ϕi,ϕj) deben ser linealmente independientes de
manera que esta matriz sea invertible
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47. El Método de Ritz
• Propiedades requeridas para las funciones de
aproximación ϕi(i = 1, ....,N) y ϕ0
– La función ϕ0 se selecciona de manera que satisfaga las
condiciones de frontera esenciales del problema
– Si todas las condiciones de frontera esenciales especificadas
son homogéneas, entonces ϕ0 = 0
– Puesto que ϕ0 satisface las condiciones de frontera, se requiere
que ϕi, i=1,...,N satisfagan la forma homogénea de las
condiciones de frontera de forma que uN = ϕ0 en los puntos de
las condiciones de frontera
– Puesto que ϕi satisface las condiciones de frontera esenciales
homogéneas, la elección v = ϕi es consistente con los
requerimientos de una función de prueba
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48. El Método de Ritz
• Además requerimos que ϕi satisfaga las siguientes
condiciones
– Debe ser tal que B(ϕi, ϕj) esté bien definida y sea distinta de cero,
o sea, suficientemente diferenciable como lo requiere la forma
bilineal B(·, ·)
– ϕi debe satisfacer al menos la forma homogénea de las
condiciones de frontera esenciales del problema
– Para cualquier N, el conjunto de (ϕi)N
i=1 junto con las columnas
(y filas) de B(ϕi,ϕj) deben ser linealmente independientes
– {ϕi} es completo
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49. El Método de Ritz
• Los requerimientos garantizan, para problemas lineales,
la convergencia de la solución de Ritz a la solución
exacta a medida que N crece.
• La convergencia se entiende en el siguiente sentido:
(uN) ≥ I(uM), para N ≤ M
Para cualquier valor de n, los elementos previamente calculados
de la matriz de coeficientes Aij y el vector columna Fi=l(ϕi)−B(ϕi,ϕ0)
permanecen sin cambio, y uno debe agregar a los coeficientes
existentes nuevos renglones y columnas calculados
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50. El Método de Ritz: ejemplo
• Consideremos la ecuación:
• Conjuntos de condiciones de frontera:
– Conjunto 1: u(0) = 0, u(1) = 0
– Conjunto 2: u(0) = 0, u′(1) = 1
• Para el primer conjunto, el funcional bilineal y el
funcional lineal son
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51. El Método de Ritz: ejemplo
• Como ambas condiciones de frontera son del tipo
esencial, debemos seleccionar ϕi en la aproximación de
Ritz con N parámetros de manera que satisfaga las
condiciones ϕi(0) = ϕi(1) = 0
• Seleccionamos las siguientes funciones: ϕ0 = 0, y
– Si uno selecciona las funciones ϕ1=x2(1 − x), ϕ2=x3(1−x), etc, {ϕi}
no sería completo, porque el conjunto no puede ser usado para
generar el término lineal x en la solución exacta. Se debe
empezar con las funciones admisibles de más bajo orden
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52. El Método de Ritz: ejemplo
• La solución de Ritz con N parámetros para el problema
anterior está dada por
• Sustituyendo esta expresión en el problema variacional
• B(v, u) = l(v), obtenemos:
o
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53. El Método de Ritz: ejemplo
• Calculando los coeficientes bij = B(ϕi,ϕj) y li= l(ϕi), se
obtiene:
• La solución exacta está dada por
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54. El Método de Ritz: ejemplo
Los coeficientes de Ritz son,
para N = 1, C1 = −0.1667
para N = 2, C1 = −0.0813
C2 = −0.1707
para N = 3, C1 = −0.0952
C2 = −0.1005
C3 = −0.0702
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x N=1 N=2 N=3 Sol.
Exacta
0 0 0 0 0
0.1 0.1500 0.0885 0.0954 0.0955
0.2 0.2667 0.1847 0.1890 0.1890
0.3 0.3500 0.2783 0.2766 0.2763
0.4 0.4000 0.3590 0.3520 0.3518
0.5 0.4167 0.4167 0.4076 0.4076
0.6 0.4000 0.4410 0.4340 0.4342
0.7 0.3500 0.4217 0.4200 0.4203
0.8 0.2667 0.3486 0.3529 0.3530
0.9 0.1500 0.2115 0.2183 0.2182
1 0 0 0 0

55. El Método de Ritz: ejemplo;
segundo conjunto
• Para el segundo conjunto de condiciones de frontera, la
forma bilineal es la misma, pero la forma lineal está
dada por:
• En este caso, los ϕi deben satisfacer la condición de
frontera esencial ϕi(0) = 0. La siguiente elección
satisface dichos requerimientos:
ϕi =xi
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56. El Método de Ritz: ejemplo;
segundo conjunto
• Los coeficientes bij y li están dados por:
• Las sol. exacta es
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57. El Método de Ritz: ejemplo;
segundo conjunto
Los coeficientes de Ritz son
para N = 1, C1 = 1.125
para N = 2, C1 = 1.295
C2 = −0.1511
para N = 3,C1 = 1.2583
C2 = −0.1142
C3 = −0.02462
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x N=1 N=2 N=3 Sol.
Exacta
0 0 0 0 0
0.1 0.1125 0.1280 0.1271 0.1262
0.2 0.2250 0.2529 0.2518 0.2513
0.3 0.3375 0.3749 0.3740 0.3742
0.4 0.4500 0.4938 0.4934 0.4943
0.5 0.5625 0.6097 0.6099 0.6112
0.6 0.6750 0.7226 0.7234 0.7244
0.7 0.7875 0.8324 0.8337 0.8340
0.8 0.9000 0.9393 0.9407 0.9402
0.9 1.0120 1.043 1.044 1.043
1 1.125 1.144 1.144 1.144

58. Apéndice
• Completez
La completez de un espacio, es el hecho de que toda sucesión de
Cauchy sea convergente
– Sucesión de Cauchy:
Es una sucesión tal que para cualquier distancia dada, por muy
pequeña que sea, siempre se puede encontrar un término de la
sucesión tal que la distancia entre dos términos cualesquiera
posteriores es menor que la dada.
Sea { Xn } n ϵ N una sucesión. Diremos que { { Xn } n ϵ N } es de
Cauchy, si para todo número real ε > 0 existe un entero positivo N
tal que para todos los números naturales m,n > N
| Xm - Xn | < ε
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59. Apéndice
• Operador laplaciano
– Es un operador diferencial elíptico de segundo orden, denotado
como Δ, relacionado con ciertos problemas de minimización de
ciertas magnitudes sobre un cierto dominio
– Expresado en coordenadas cartesianas es igual a la suma de
todas las segundas derivadas parciales no mixtas dependientes
de una variable. Corresponde a div (grad φ), de donde el uso del
símbolo delta (Δ) o nabla cuadrado ( ∇2 ) para representarlo. Si
ϕ , A s o n u n c a m p o e s c a l a r y u n c a m p o v e c t o r i a l
respectivamente, el laplaciano de ambos puede escribirse en
términos del operador nabla como:
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60. Apéndice
• Gradiente
– denotado ∇f de un campo escalar f es un campo vectorial. El
vector gradiente de f evaluado en un punto genérico x del
dominio de f, ∇f(x), indica la dirección en la cual el campo f varía
más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación
de f en la dirección de dicho vector gradiente.
– El gradiente se representa con el operador diferencial nabla ∇
seguido de la función (cuidado de no confundir el gradiente con
la divergencia, ésta última se denota con un punto de producto
escalar entre el operador nabla y el campo)
– La generalización del concepto de gradiente a campos f
vectoriales es el concepto de matriz Jacobiana
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61. Bibliografía
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