Detallada obtención del operador creación radial para atomo hidrogenoide

1. [1]
Operador creación radial para átomos Hidrogenoides
by Hector L. Cervantes C.
Operador creación radial para átomos Hidrogenoides
Abstract.- Obtención detallada del operador creación para funciones normalizadas radiales, utilizando en
la obtención de dos recurrencias de Laguerre.
Introducción.- El operador creación se utiliza para obtener la función radial normalizada, inmediata al nivel
superior, los operadores escalera (que son los de destrucción y creación) se pueden utilizar también para
obtener el eigenvalor entre dos niveles consecutivos de energía, como es el caso del observable para
vibración armónica simple entre dos núcleos (es decir para moléculas diatomicas)
OPERADOR CREACIÓN
operador
{𝝃
𝒅
𝒅𝝃
−
𝝃
𝟐
+ 𝒏 + 𝟏} 𝑅 𝑛,𝑙(𝜉) =
(𝑛 + 1)2
𝑛2
[(𝑛 − 𝑙)(𝑛 + 𝑙 + 1)]1/2
𝑅 𝑛+1,𝑙(𝜉)
RECURRENCIAS DE LAGUERRE
𝜉
𝑑
𝑑𝜉
{ 𝐿 𝑛
𝑚( 𝜉)} = ( 𝜉 − 𝑚) 𝐿 𝑛
𝑚( 𝜉) + ( 𝑚 − 𝑛 − 1) 𝐿 𝑛
𝑚−1( 𝜉) (1)
( 𝑛 + 1) 𝐿 𝑛
(𝑚−1)
( 𝜉) = ( 𝑛 + 1) 𝐿 𝑛
𝑚( 𝜉) − 𝐿 𝑛+1
𝑚 ( 𝜉) (2)
Cristo con estas dos recurrencias se obtiene el operador creación que es un operador escalera
hacia nivel superior.
De (2)
𝐿 𝑛
(𝑚−1)
( 𝜉) =
(𝑛+1)𝐿 𝑛
𝑚(𝜉)−𝐿 𝑛+1
𝑚 (𝜉)
𝑛+1
(3)
Sustituyendo (3) en (1)
𝜉
𝑑
𝑑𝜉
{𝐿 𝑛
𝑚(𝜉)} = (𝜉 − 𝑚)𝐿 𝑛
𝑚(𝜉) + (𝑚 − 𝑛 − 1) {
(𝑛 + 1)𝐿 𝑛
𝑚(𝜉) − 𝐿 𝑛+1
𝑚 (𝜉)
𝑛 + 1
}
𝜉
𝑑
𝑑𝜉
{ 𝐿 𝑛
𝑚( 𝜉)} = ( 𝜉 − 𝑚 + 𝑚 − 𝑛 − 1) 𝐿 𝑛
𝑚( 𝜉) −
(𝑚−𝑛−1)
(𝑛+1)
𝐿 𝑛+1
𝑚 ( 𝜉)
Simplificando
𝜉
𝑑
𝑑𝜉
{ 𝐿 𝑛
𝑚( 𝜉)} = ( 𝜉 − 𝑛 − 1) 𝐿 𝑛
𝑚( 𝜉) −
(𝑚−𝑛−1)
(𝑛+1)
𝐿 𝑛+1
𝑚 ( 𝜉) (4)
Para acondicionar la entrada de funciones radiales se hace 𝒏 = 𝒏 + 𝒍 y 𝒎 = 𝟐𝒍 + 𝟏
𝜉
𝑑
𝑑𝜉
{𝐿 𝑛+𝑙
2𝑙+1
(𝜉)} = (𝜉 − 𝑛 − 𝑙 − 1)𝐿 𝑛+𝑙
2𝑙+1
(𝜉) −
(2𝑙+1−𝑛−𝑙−1)
(𝑛+𝑙+1)
𝐿 𝑛+𝑙+1
2𝑙+1
(𝜉)

2. [2]
Operador creación radial para átomos Hidrogenoides
Simplificando
𝜉
𝑑
𝑑𝜉
{𝐿 𝑛+𝑙
2𝑙+1( 𝜉)} = ( 𝜉 − 𝑛 − 𝑙 − 1) 𝐿 𝑛+𝑙
2𝑙+1( 𝜉) +
(𝑛−𝑙)
(𝑛+𝑙+1)
𝐿 𝑛+𝑙+1
2𝑙+1 ( 𝜉)
(5)
Cristo con la ec.(5) ya se tienen todos los términos para obtener el operador creación
DEFINICIÓN DE FUNCIONES RADIALES EN TÉRMINOS DE LAGUERRE
𝑅 𝒏,𝒍( 𝜉) = 𝑁𝑛,𝑙 𝑒−𝜉/2
𝜉 𝑙
𝐿 𝑛+𝑙
2𝑙+1
( 𝜉) (6)
ACOMODO FUNCION RADIAL EN RESULTADO (5)
Cristo el acomodo requiere dos procedimientos: La multiplicación de (5) por: 𝑁𝑛,𝑙 𝑒−𝜉/2
𝜉 𝑙
y además la derivación de (6) respecto de 𝜉 acompañada de la multiplicación (de esa
derivación) multiplicarla por ξ
Multiplicando (5) por 𝑁𝑛,𝑙 𝑒−𝜉/2
𝜉 𝑙
𝑁𝑛,𝑙 𝑒−𝜉/2
𝜉 𝑙
∙ 𝜉
𝑑
𝑑𝜉
{𝐿 𝑛+𝑙
2𝑙+1
(𝜉)} =
(𝜉 − 𝑛 − 𝑙 − 1) ∙ 𝑁𝑛,𝑙 𝑒−𝜉/2
𝜉 𝑙
𝐿 𝑛+𝑙
2𝑙+1
(𝜉) +
( 𝑛−𝑙)
( 𝑛+𝑙+1)
𝑁𝑛,𝑙 𝑒−𝜉/2
𝜉 𝑙
𝐿 𝑛+𝑙+1
2𝑙+1 ( 𝜉)
(7) 𝑅 𝑛,𝑙(𝜉)
Cristo ahora se requiere derivar la definición de 𝑅 𝑛,𝑙(𝜉) y luego multiplicar todo el resultado
de la derivación para que guarde semejanza uno de los términos resultantes con el lado
izquierdo de (7) y poder sustituir el lado izquierdo de (7).
𝑑
𝑑𝜉
{𝑅 𝒏,𝒍( 𝜉)} = 𝑁𝑛,𝑙
𝑑
𝑑𝜉
{𝑒−𝜉/2
𝜉 𝑙
𝐿 𝑛+𝑙
2𝑙+1
( 𝜉)} =
𝑁𝑛,𝑙 {𝐿 𝑛+𝑙
2𝑙+1( 𝜉)
𝑑
𝑑𝜉
[𝑒−𝜉/2
𝜉 𝑙
] + 𝑒−𝜉/2
𝜉 𝑙 𝑑
𝑑𝜉
𝐿 𝑛+𝑙
2𝑙+1( 𝜉)} (8)
Ahora como
𝑑
𝑑𝜉
[𝑒−𝜉/2
𝜉 𝑙
] = −
1
2
𝑒−𝜉/2
𝜉 𝑙
+ 𝑙𝜉 𝑙−1
𝑒−𝜉/2
(9)
Cristo ahora introduzco (9) en (8)
𝑑
𝑑𝜉
{𝑅 𝒏,𝒍( 𝜉)} = 𝑁𝑛,𝑙 {𝐿 𝑛+𝑙
2𝑙+1( 𝜉) [−
1
2
𝑒−𝜉/2
𝜉 𝑙
+ 𝑙𝜉 𝑙−1
𝑒−𝜉/2
]} +
𝑁𝑛,𝑙 {𝑒−𝜉/2
𝜉 𝑙 𝑑
𝑑𝜉
𝐿 𝑛+𝑙
2𝑙+1
(𝜉)} (10)

3. [3]
Operador creación radial para átomos Hidrogenoides
Cristo ahora multiplico (10) por ξ 𝑅 𝒏,𝒍(𝜉) 𝑅 𝒏,𝒍(𝜉)
𝝃
𝑑
𝑑𝜉
{𝑅 𝒏,𝒍(𝜉)} = −
𝜉
2
𝑁𝑛,𝑙 𝑒−𝜉/2
𝜉 𝑙
𝐿 𝑛+𝑙
2𝑙+1
(𝜉) + 𝑙𝑁𝑛,𝑙 𝜉 𝑙
𝑒−𝜉/2
𝐿 𝑛+𝑙
2𝑙+1
(𝜉) +
𝑁𝑛,𝑙 {𝑒−𝜉/2
𝜉 𝑙
𝑑
𝑑𝜉
𝐿 𝑛+𝑙
2𝑙+1
(𝜉)} ∙ 𝜉
Simplificando con la notación de radiales en lado derecho
𝝃
𝑑
𝑑𝜉
{𝑅 𝒏,𝒍(𝜉)} = −
𝜉
2
𝑅 𝒏,𝒍(𝜉) + 𝑙𝑅 𝒏,𝒍(𝜉) + 𝑁𝑛,𝑙 {𝑒−𝜉/2
𝜉 𝑙
𝑑
𝑑𝜉
𝐿 𝑛+𝑙
2𝑙+1
(𝜉)} ∙ 𝜉
Cristo ahora acomodo términos de radiales al lado izquierdo y factorizo:
{ 𝝃
𝑑
𝑑𝜉
+
𝜉
2
− 𝑙} 𝑅 𝒏,𝒍( 𝜉) = 𝑁 𝑛,𝑙 { 𝑒−𝜉/2
𝜉𝑙 𝑑
𝑑𝜉
𝐿 𝑛+𝑙
2𝑙+1
( 𝜉)} ∙ 𝜉 (11)
Cristo ahora introduzco (11) en lado izquierdo de (7)
{ 𝝃
𝑑
𝑑𝜉
+
𝜉
2
− 𝑙} 𝑅 𝒏,𝒍( 𝜉) =
= (𝜉 − 𝑛 − 𝑙 − 1)𝑅 𝒏,𝒍(𝜉) +
( 𝑛−𝑙)
( 𝑛+𝑙+1)
𝑁𝑛,𝑙 𝑒−𝜉/2
𝜉 𝑙
𝐿 𝑛+𝑙+1
2𝑙+1
(𝜉)
Simplificando
{𝝃
𝑑
𝑑𝜉
−
𝜉
2
+ 𝑙 + 𝑛} 𝑅 𝒏,𝒍( 𝜉) =
(𝑛−𝑙)
(𝑛+𝑙+1)
𝑁 𝑛,𝑙 𝑒−𝜉/2
𝜉𝑙
𝐿 𝑛+𝑙+1
2𝑙+1
( 𝜉) (12)
Cristo este es el resultado del operador deseado, solamente resta darle presentación de
radiales al lado derecho. Para lo que se requiere que 𝑁𝑛,𝑙 este como 𝑁𝑛+1,𝑙 y se requiere de
la definición del coeficiente normalizador de las radiales.
DEFINICIÓN DE COEFICIENTE NORMALIZADOR
𝑁𝑛,𝑙 = −√(
2𝑍
𝑛𝑎0
)
3
(𝑛 − 𝑙 − 1)!
2𝑛[(𝑛 + 𝑙)!]3
De donde entonces
𝑁𝑛+1,𝑙 = −
1
(𝑛+1)2
√(
2𝑍
𝑎0
)
3 (𝑛−𝑙)!
2[(𝑛+1+𝑙)!]3

4. [4]
Operador creación radial para átomos Hidrogenoides
=
𝑛2
(𝑛+1)2 {−
1
𝑛2
√(
2𝑍
𝑛𝑎0
)
3 (𝑛−𝑙−1)!
2𝑛[(𝑛+𝑙)!]3}
√ 𝑛−𝑙
(𝑛+𝑙++1)√ 𝑛+𝑙+1
𝑁𝑛,𝑙
Entonces:
𝑁𝑛+1,𝑙 =
𝑛2
(𝑛+1)2
√ 𝑛−𝑙
(𝑛+𝑙++1)√ 𝑛+𝑙+1
𝑁𝑛,𝑙
Despejando
𝑁𝑛,𝑙 =
(𝑛+1)2(𝑛+𝑙+1)
𝑛2
√
𝑛+𝑙+1
𝑛−𝑙
𝑁𝑛+1,𝑙 (13)
Introduciendo (13) en (12)
{𝝃
𝑑
𝑑𝜉
−
𝜉
2
+ 𝑙 + 𝑛} 𝑅 𝒏,𝒍( 𝜉) =
=
(𝑛−𝑙)
(𝑛+𝑙+1)
(𝑛+1)2(𝑛+𝑙+1)
𝑛2
√
𝑛+𝑙+1
𝑛−𝑙
𝑁 𝑛+1,𝑙 𝑒−𝜉/2
𝜉𝑙
𝐿 𝑛+𝑙+1
2𝑙+1
( 𝜉)
Simplificando
{𝝃
𝑑
𝑑𝜉
−
𝜉
2
+ 𝑙 + 𝑛} 𝑅 𝒏,𝒍( 𝜉) =
(𝑛+1)2
𝑛2 √(𝑛 + 𝑙 + 1)( 𝑛 − 𝑙) 𝑁𝑛+1,𝑙 𝑒−𝜉/2
𝜉𝑙
𝐿 𝑛+𝑙+1
2𝑙+1
( 𝜉)
𝑅 𝑛+1,𝑙
Finalmente queda:
{𝝃
𝑑
𝑑𝜉
−
𝜉
2
+ 𝑙 + 𝑛} 𝑅 𝒏,𝒍( 𝜉) =
(𝑛+1)2
𝑛2 √(𝑛 + 𝑙 + 1)( 𝑛 − 𝑙) 𝑅 𝑛+1,𝑙
Cristo esta es la relación buscada para operador creación de radiales hidrogenoides

5. [5]
Operador creación radial para átomos Hidrogenoides