Descripción detallada para obtención del operador destrucción radial de atomo hidrogenoide incluyendo el coeficiente de normalización

1. [1]
Radial Destruction Operator para átomos hidrogenoides
By Hector L.Cervantes C.
Operador destrucción radial para átomos
Hidrogenoides
Abstract.- Obtención detallada del operador creación para funciones normalizadas radiales, utilizando en
la obtención de dos recurrencias de Laguerre.
Introducción.- El operador destrucción se utiliza para obtener la función radial normalizada, inmediata al
nivel inferior, los operadores escalera (que son los de destrucción y creación) se pueden utilizar también
para obtener el eigenvalor entre dos niveles consecutivos de energía, como es el caso del observable
para vibración armónica simple entre dos núcleos (es decir para moléculas diatomicas)
OPERADOR DESTRUCCIÓN
operador
{𝝃
𝒅
𝒅𝝃
+
𝝃
𝟐
− 𝒏 + 𝟏} 𝑅 𝑛,𝑙(𝜉) =
= −
(𝑛 − 1)2
𝑛2
[(𝑛 + 𝑙)(𝑛 − 𝑙 − 1)]1/2
𝑅 𝑛−1,𝑙(𝜉)
RECURRENCIAS DE LAGUERRE
𝜉
𝑑
𝑑𝜉
{ 𝐿 𝑛
𝑚( 𝜉)} = ( 𝜉 − 𝑚) 𝐿 𝑛
𝑚( 𝜉) + ( 𝑚 − 𝑛 − 1) 𝐿 𝑛
𝑚−1( 𝜉) (1)
( 𝑛 + 1) 𝐿 𝑛
(𝑚−1)
( 𝜉) = ( 𝑛 + 1) 𝐿 𝑛
𝑚( 𝜉) − 𝐿 𝑛+1
𝑚 ( 𝜉) (2)
(𝑛+1)𝑛2
𝑛−𝑚+1
𝐿 𝑛−1
𝑚 ( 𝜉) +
(𝑛+1)(𝜉+𝑚−2𝑛−1)
𝑛−𝑚+1
𝐿 𝑛
𝑚( 𝜉) + 𝐿 𝑛+1
𝑚 ( 𝜉) = 0 (3)
Cristo con estas tres recurrencias se obtiene el operador destrucción que es un operador
escalera hacia nivel inferior.
De (2)
𝐿 𝑛
(𝑚−1)
( 𝜉) =
(𝑛+1)𝐿 𝑛
𝑚(𝜉)−𝐿 𝑛+1
𝑚 (𝜉)
𝑛+1
(4)
Sustituyendo (3) en (1)
𝜉
𝑑
𝑑𝜉
{𝐿 𝑛
𝑚(𝜉)} = (𝜉 − 𝑚)𝐿 𝑛
𝑚(𝜉) + (𝑚 − 𝑛 − 1) {
(𝑛 + 1)𝐿 𝑛
𝑚(𝜉) − 𝐿 𝑛+1
𝑚 (𝜉)
𝑛 + 1
}
𝜉
𝑑
𝑑𝜉
{ 𝐿 𝑛
𝑚( 𝜉)} = ( 𝜉 − 𝑚 + 𝑚 − 𝑛 − 1) 𝐿 𝑛
𝑚( 𝜉) −
(𝑚−𝑛−1)
(𝑛+1)
𝐿 𝑛+1
𝑚 ( 𝜉)
𝜉
𝑑
𝑑𝜉
{ 𝐿 𝑛
𝑚( 𝜉)} = ( 𝜉 − 𝑛 − 1) 𝐿 𝑛
𝑚( 𝜉) −
(𝑚−𝑛−1)
(𝑛+1)
𝐿 𝑛+1
𝑚 ( 𝜉) (5)

2. [2]
Radial Destruction Operator para átomos hidrogenoides
Despejando en (4)
𝐿 𝑛+1
𝑚 ( 𝜉) = −
(𝑛+1)𝑛2
𝑛−𝑚+1
𝐿 𝑛−1
𝑚 ( 𝜉) −
(𝑛+1)(𝜉+𝑚−2𝑛−1)
𝑛−𝑚+1
𝐿 𝑛
𝑚( 𝜉) (6)
Introduciendo (6) en (5)
𝜉
𝑑
𝑑𝜉
{ 𝐿 𝑛
𝑚( 𝜉)} = ( 𝜉 − 𝑛 − 1) 𝐿 𝑛
𝑚( 𝜉)
−
(𝑚−𝑛−1)
(𝑛+1)
{−
(𝑛+1)𝑛2
𝑛−𝑚+1
𝐿 𝑛−1
𝑚 ( 𝜉) −
(𝑛+1)(𝜉+𝑚−2𝑛−1)
𝑛−𝑚+1
𝐿 𝑛
𝑚( 𝜉)}
Como 𝑛 − 𝑚 + 1 = −( 𝑚 − 𝑛 − 1) entonces
𝜉
𝑑
𝑑𝜉
{ 𝐿 𝑛
𝑚( 𝜉)} = ( 𝜉 − 𝑛 − 1) 𝐿 𝑛
𝑚( 𝜉)
−
(𝑚−𝑛−1)
(𝑛+1)
{
(𝑛+1)𝑛2
𝑚−𝑛−1
𝐿 𝑛−1
𝑚 ( 𝜉) +
(𝑛+1)(𝜉+𝑚−2𝑛−1)
𝑚−𝑛−1
𝐿 𝑛
𝑚( 𝜉)}
Simplificando
𝜉
𝑑
𝑑𝜉
{ 𝐿 𝑛
𝑚( 𝜉)} = ( 𝜉 − 𝑛 − 1) 𝐿 𝑛
𝑚( 𝜉) + (−𝜉 − 𝑚 + 2𝑛 + 1) 𝐿 𝑛
𝑚( 𝜉)
−𝑛2
𝐿 𝑛−1
𝑚 ( 𝜉)
Ahora simplificando
𝜉
𝑑
𝑑𝜉
{ 𝐿 𝑛
𝑚( 𝜉)} = ( 𝑛 − 𝑚) 𝐿 𝑛
𝑚( 𝜉)−𝑛2
𝐿 𝑛−1
𝑚 ( 𝜉) (7)
Cristo esta relación es potencial para un operador destrucción
Para acondicionar la entrada de funciones radiales se hace 𝒏 = 𝒏 + 𝒍 y 𝒎 = 𝟐𝒍 + 𝟏
𝜉
𝑑
𝑑𝜉
{𝐿 𝑛+𝑙
2𝑙+1( 𝜉)} = ( 𝑛 + 𝑙 − 2𝑙 − 1) 𝐿 𝑛+𝑙
2𝑙+1( 𝜉)−( 𝑛 + 𝑙)2
𝐿 𝑛+𝑙−1
2𝑙+1 ( 𝜉)
Simplificando
𝜉
𝑑
𝑑𝜉
{𝐿 𝑛+𝑙
2𝑙+1( 𝜉)} = ( 𝑛 − 𝑙 − 1) 𝐿 𝑛+𝑙
2𝑙+1( 𝜉)−( 𝑛 + 𝑙)2
𝐿 𝑛+𝑙−1
2𝑙+1 ( 𝜉) (8)
Cristo con la ec.(8) ya se tienen todos los términos para obtener el operador destrucción
DEFINICIÓN DE FUNCIONES RADIALES EN TÉRMINOS DE LAGUERRE
𝑅 𝒏,𝒍( 𝜉) = 𝑁𝑛,𝑙 𝑒−𝜉/2
𝜉 𝑙
𝐿 𝑛+𝑙
2𝑙+1( 𝜉) (9)

3. [3]
Radial Destruction Operator para átomos hidrogenoides
ACOMODO DE FUNCION RADIAL EN RESULTADO (8)
Cristo el acomodo requiere dos procedimientos: La multiplicación de (8) por: 𝑁𝑛,𝑙 𝑒−𝜉/2
𝜉 𝑙
y además la derivación de (9) respecto de 𝜉 acompañada de la multiplicación (de esa
derivación) multiplicarla por ξ
Multiplicando (8) por 𝑁𝑛,𝑙 𝑒−𝜉/2
𝜉 𝑙
𝑁𝑛,𝑙 𝑒−𝜉/2
𝜉 𝑙
∙ 𝜉
𝑑
𝑑𝜉
{𝐿 𝑛+𝑙
2𝑙+1
(𝜉)} =
(𝑛 − 𝑙 − 1) ∙ 𝑁𝑛,𝑙 𝑒−𝜉/2
𝜉 𝑙
𝐿 𝑛+𝑙
2𝑙+1
(𝜉) − ( 𝑛 + 𝑙)2 𝑁𝑛,𝑙 𝑒−𝜉/2
𝜉 𝑙
𝐿 𝑛+𝑙−1
2𝑙+1 ( 𝜉)
(10) 𝑅 𝑛,𝑙(𝜉)
Cristo ahora se requiere derivar la definición de 𝑅 𝑛,𝑙(𝜉) y luego multiplicar todo el resultado
de la derivación para que guarde semejanza uno de los términos resultantes con el lado
izquierdo de (10) y poder sustituir el lado izquierdo de (10).
𝑑
𝑑𝜉
{𝑅 𝒏,𝒍( 𝜉)} = 𝑁𝑛,𝑙
𝑑
𝑑𝜉
{𝑒−𝜉/2
𝜉 𝑙
𝐿 𝑛+𝑙
2𝑙+1
( 𝜉)} =
𝑁𝑛,𝑙 {𝐿 𝑛+𝑙
2𝑙+1( 𝜉)
𝑑
𝑑𝜉
[𝑒−𝜉/2
𝜉 𝑙
] + 𝑒−𝜉/2
𝜉 𝑙 𝑑
𝑑𝜉
𝐿 𝑛+𝑙
2𝑙+1( 𝜉)} (11)
Ahora como
𝑑
𝑑𝜉
[𝑒−𝜉/2
𝜉 𝑙
] = −
1
2
𝑒−𝜉/2
𝜉 𝑙
+ 𝑙𝜉 𝑙−1
𝑒−𝜉/2
(12)
Cristo ahora introduzco (12) en (11)
𝑑
𝑑𝜉
{𝑅 𝒏,𝒍( 𝜉)} = 𝑁𝑛,𝑙 {𝐿 𝑛+𝑙
2𝑙+1( 𝜉) [−
1
2
𝑒−𝜉/2
𝜉 𝑙
+ 𝑙𝜉 𝑙−1
𝑒−𝜉/2
]} +
𝑁𝑛,𝑙 {𝑒−𝜉/2
𝜉 𝑙 𝑑
𝑑𝜉
𝐿 𝑛+𝑙
2𝑙+1
(𝜉)} (13)
Cristo ahora multiplico (13) por ξ 𝑅 𝒏,𝒍(𝜉) 𝑅 𝒏,𝒍(𝜉)
𝝃
𝑑
𝑑𝜉
{𝑅 𝒏,𝒍(𝜉)} = −
𝜉
2
𝑁𝑛,𝑙 𝑒−𝜉/2
𝜉 𝑙
𝐿 𝑛+𝑙
2𝑙+1
(𝜉) + 𝑙𝑁𝑛,𝑙 𝜉 𝑙
𝑒−𝜉/2
𝐿 𝑛+𝑙
2𝑙+1
(𝜉) +
𝑁𝑛,𝑙 {𝑒−𝜉/2
𝜉 𝑙
𝑑
𝑑𝜉
𝐿 𝑛+𝑙
2𝑙+1
(𝜉)} ∙ 𝜉
Simplificando con la notación de radiales en lado derecho

4. [4]
Radial Destruction Operator para átomos hidrogenoides
𝝃
𝑑
𝑑𝜉
{𝑅 𝒏,𝒍(𝜉)} = −
𝜉
2
𝑅 𝒏,𝒍(𝜉) + 𝑙𝑅 𝒏,𝒍(𝜉) + 𝑁𝑛,𝑙 {𝑒−𝜉/2
𝜉 𝑙
𝑑
𝑑𝜉
𝐿 𝑛+𝑙
2𝑙+1
(𝜉)} ∙ 𝜉
Cristo ahora acomodo términos de radiales al lado izquierdo y factorizo por la derecha:
{ 𝝃
𝑑
𝑑𝜉
+
𝜉
2
− 𝑙} 𝑅 𝒏,𝒍( 𝜉) = 𝑁 𝑛,𝑙 { 𝑒−𝜉/2
𝜉𝑙 𝑑
𝑑𝜉
𝐿 𝑛+𝑙
2𝑙+1
( 𝜉)} ∙ 𝜉 (14)
Cristo ahora introduzco (14) en lado izquierdo de (10)
{ 𝝃
𝑑
𝑑𝜉
+
𝜉
2
− 𝑙} 𝑅 𝒏,𝒍( 𝜉) =
= (𝑛 − 𝑙 − 1)𝑅 𝒏,𝒍(𝜉) − (𝑛 + 𝑙)2
𝑁𝑛,𝑙 𝑒−𝜉/2
𝜉 𝑙
𝐿 𝑛+𝑙−1
2𝑙+1
(𝜉)
Simplificando
{𝝃
𝑑
𝑑𝜉
+
𝜉
2
− 𝑛 + 1} 𝑅 𝒏,𝒍( 𝜉) = −( 𝑛 + 𝑙)2
𝑁 𝑛,𝑙 𝑒−𝜉/2
𝜉𝑙
𝐿 𝑛+𝑙−1
2𝑙+1
( 𝜉) (15)
Cristo este es el resultado del operador deseado, solamente resta darle presentación de
radiales al lado derecho. Para lo que se requiere que 𝑁𝑛,𝑙 este como 𝑁𝑛−1,𝑙 y se requiere de
la definición del coeficiente normalizador de las radiales.
DEFINICIÓN DE COEFICIENTE NORMALIZADOR
𝑁𝑛,𝑙 = −√(
2𝑍
𝑛𝑎0
)
3
(𝑛 − 𝑙 − 1)!
2𝑛[(𝑛 + 𝑙)!]3
De donde entonces
𝑁𝑛−1,𝑙 = −
1
(𝑛−1)2
√(
2𝑍
𝑎0
)
3 (𝑛−𝑙−2)!
2[(𝑛−1+𝑙)!]3
=
𝑛2
(𝑛−1)2 {−
1
𝑛2
√(
2𝑍
𝑎0
)
3 (𝑛−𝑙−1)!
2[(𝑛+𝑙)!]3}
(𝑛+𝑙)√ 𝑛+𝑙
√ 𝑛−𝑙−1
𝑁𝑛,𝑙
Entonces:
𝑁𝑛−1,𝑙 =
𝑛2
(𝑛−1)2
(𝑛+𝑙)√ 𝑛+𝑙
√ 𝑛−𝑙−1
𝑁𝑛,𝑙
Despejando

5. [5]
Radial Destruction Operator para átomos hidrogenoides
𝑁𝑛,𝑙 =
(𝑛−1)2
𝑛2(𝑛+𝑙)
√
𝑛−𝑙−1
𝑛+𝑙
𝑁𝑛−1,𝑙 (16)
Introduciendo (16) en (12)
{𝝃
𝑑
𝑑𝜉
+
𝜉
2
− 𝑛 + 1} 𝑅 𝒏,𝒍( 𝜉) =
= −( 𝑛 + 𝑙)2 (𝑛−1)2
𝑛2(𝑛+𝑙)
√
𝑛−𝑙−1
𝑛+𝑙
𝑁𝑛−1,𝑙 𝑒−𝜉/2
𝜉𝑙
𝐿 𝑛+𝑙−1
2𝑙+1
( 𝜉)
Simplificando
{𝝃
𝑑
𝑑𝜉
+
𝜉
2
− 𝑛 + 1} 𝑅 𝒏,𝒍( 𝜉) =
−
(𝑛−1)2
𝑛2 √(𝑛 − 𝑙 − 1)( 𝑛 + 𝑙) 𝑁𝑛−1,𝑙 𝑒−𝜉/2
𝜉𝑙
𝐿 𝑛+𝑙−1
2𝑙+1
( 𝜉)
𝑅 𝑛−1,𝑙
Finalmente queda:
{𝝃
𝑑
𝑑𝜉
+
𝜉
2
− 𝑛 + 1} 𝑅 𝒏,𝒍( 𝜉) = −
(𝑛−1)2
𝑛2 √(𝑛 − 𝑙 − 1)( 𝑛 + 𝑙) 𝑅 𝑛−1,𝑙
Cristo esta es la relación buscada para operador destrucción de radiales hidrogenoides