Estadistica_CONCEPTOS- DE- ESTADISTICA- PROYECTOS

Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz. Docente de
Estadistica
INTSIPP
Instituto Tecnologico Superior
“ISMAEL PEREZ PAZMIÑO”
ESTADISTICA
6to Semestre
Docente.
ING. RAFAEL SANDINO

Ing- Rafael Sandino Salcedo Muñoz. Docente de Estadistica Página 1
ESTADISTICA
La "estadística es el estudio de los métodos y procedimientos para recoger,
clasificar, resumir y analizar datos y para hacer inferencias científicas partiendo de
tales datos".
IMPORTANCIA
La estadística es muy importante en casi cualquier área profesional, esto incluye
las áreas de Informática, matemáticas y economía.
Esta te permite:
1) Determinar los futuros problemas antes que ocurran, al establecer límites
tolerables en los procesos productivos.
2) Determinar si un lote de producción cumples los requisitos mínimos de calidad
con solo tomar una muestra significativa.
3) Conocer el estado actual de la producción al hacer cambios comparándolo con
los procesos sin cambios.
4) Evaluar probables nuevos procedimientos, y su impacto en la producción
y muchas otras cosas más dependiendo de tu imaginación y en lo que lo vas a
aplicar.
CLASIFICACIÓN
Se agrupa en 2 grandes áreas: estadística descriptiva y estadística inferencial, que
desempeñan funciones distintivas, pero complementarias en el análisis.
Es importante que todo profesional que utilice la estadística como herramienta
auxiliar de trabajo, posea un mínimo de conocimientos y habilidades prácticas en
aquellas técnicas que le facilitarán el buen desarrollo de esta actividad.
 Estadística Descriptiva.
La estadística descriptiva comprende las técnicas que se emplean para resumir y
describir datos numéricos. Son sencillas desde el punto de vista matemático y su
análisis se limita a los datos coleccionados sin inferir en un grupo mayor. El
estudio de los datos se realiza con representaciones gráficas, tablas, medidas de
posición y dispersión.
 Estadística Inferencial.
El problema crucial de la estadística inferencial es llegar a proposición es acerca de
la población a partir de la observación efectuada en muestras bajo condiciones de
incertidumbre. Ésta comprende las técnicas que aplicadas en una muestra
sometida a observación, permiten la toman de decisiones sobre una población o
proceso estadístico. En otras palabras, es el proceso de hacer predicciones acerca
de un todo basado en la información de una muestra.

La inferencia se preocupa de la precisión de los estadígrafos descriptivos ya que
estos se vinculan inductivamente con el valor poblacional.
USOS MÁS FRECUENTES
 Conocer el porcentaje de la población que necesita agua.
 Conocer el porcentaje de población que tiene diabetes
 Conocer el porcentaje de personas que utilizan tomate para preparar sus
comidas
 Conocer el porcentaje de personas que consumen tortilla.
 Conocer el porcentaje de protección social que se asigna en áfrica.
 Conocer e interpretar el porcentaje de personas que tienen microempresas
en el Ecuador.
 Conocer el porcentaje de niños desnutridos en el país.
 Conocer el porcentaje de estudiantes que tienen conocimiento de ingles
VARIABLES
Una variable es una característica que al ser medida en diferentes individuos es
susceptible de adoptar diferentes valores.
TIPOS DE VARIABLES
 Variables cualitativas
Son las variables que expresan distintas cualidades, características o modalidad.
Cada modalidad que se presenta se denomina atributo o categoría y la medición
consiste en una clasificación de dichos atributos. Las variables cualitativas pueden
ser dicotómicas cuando sólo pueden tomar dos valores posibles como sí y no,
hombre y mujer o son politómicas cuando pueden adquirir tres o más valores.
Dentro de ellas podemos distinguir:
Variable cualitativa ordinal o variable cuasicuantitativa: La variable puede
tomar distintos valores ordenados siguiendo una escala establecida, aunque no es
necesario que el intervalo entre mediciones sea uniforme, por ejemplo: leve,
moderado, grave.
Variable cualitativa nominal: En esta variable los valores no pueden ser
sometidos a un criterio de orden como por ejemplo los colores.
 Variables cuantitativas

Son las variables que se expresan mediante cantidades numéricas. Las variables
cuantitativas además pueden ser:
 Variable discreta : Es la variable que presenta separaciones o
interrupciones en la escala de valores que puede tomar. Estas separaciones
o interrupciones indican la ausencia de valores entre los distintos valores
específicos que la variable pueda asumir. Ejemplo: El número de hijos (1, 2,
3, 4, 5).
 Variable continua: Es la variable que puede adquirir cualquier valor
dentro de un intervalo especificado de valores. Por ejemplo la masa (2,3 kg,
2,4 kg, 2,5 kg,...) o la altura (1,64 m, 1,65 m, 1,66 m,...), o el salario.
Solamente se está limitado por la precisión del aparato medidor, en teoría
permiten que siempre exista un valor entre dos variables.
MUESTRA
La mayoría de los estudios estadísticos, se realizan no sobre la población, sino
sobre un subconjunto o una parte de ella, llamado muestra, partiendo del supuesto
de que este subconjunto presenta el mismo comportamiento y características que
la población. En general el tamaño de la muestra es mucho menor al tamaño de la
población. Los valores o índices que se concluyen de una muestra se llaman
estadígrafos y estos mediante métodos inferenciales o probabilísticos, se
aproximan a los parámetros poblacionales.
POBLACION
Es el conjunto de todos los elementos que presentan una característica común
determinada, observable y medible. Por ejemplo, si el elemento es una persona, se
puede estudiar las características edad, peso, nacionalidad, sexo, etc. Los
elementos que integran una población pueden corresponder a personas, objetos o
grupos (por ejemplo, familias, fábricas, empresas, etc). Las características de la
población se resumen en valores llamados parámetros
NIVELES DE MEDICIÓN
 Nivel Nominal: Es el nivel más bajo de medición en cuanto a suministro de
ecuaciones, las observaciones solo se pueden contar o clasificar (no hay un
orden lógico de las categorías). Las categorías son mutuamente excluyentes
y exhaustivas.
 Nivel Ordinal: Las observaciones mantienen un orden, las categorías de
datos están ordenadas de acuerdo a las características.
 Nivel de Intervalo: Tiene todas las características del nivel ordinal, pero
además la diferencial entre dos valores tienen un tamaño constante, el cero
es solo un número en escala, es decir, no representa la ausencia de la
condición.

 Nivel de Proporción o Razón: Es el nivel más alto, tiene todas las
características del nivel de intervalo, pero además el cero tiene significado y
la relación entre dos números tiene sentido.
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
Una distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en
forma de tabla de los datos estadísticos, asignando a cada datosu frecuencia
correspondiente.
Tipos de frecuencia
 Frecuencia absoluta
La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un determinado valor
en un estudio estadístico.
Se representa por fi.
𝒇𝟏 + 𝒇𝟐 + 𝒇𝟑 + ⋯ … … 𝒇𝒏 = 𝑵
La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se
representa por N.
Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega Σ (sigma
mayúscula) que se lee suma o sumatoria.
 Frecuencia relativa
La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un
determinado valor y el número total de datos.
Se puede expresar en tantos por ciento y se representa por ni.

La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.
 Frecuencia acumulada
La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos los
valores inferiores o iguales al valor considerado.
Se representa por Fi.
 Frecuencia relativa acumulada
La frecuencia relativa acumulada es el cociente entre la frecuencia acumulada de
un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por
ciento.
DIAGRAMA DE TALLOS Y HOJAS
El diagrama "tallo y hojas" permite obtener simultáneamente una distribución de
frecuencias de la variable y su representación gráfica. Para construirlo basta
separar en cada dato el último dígito de la derecha (que constituye la hoja) del
bloque de cifras restantes (que formará el tallo).
TALLO HOJA
1 3,6,7,4,4,3,9,1,8,6,8,3,9,4,7
0 8,9
2 5,2,6,5,4,7,1,8
3 1,0,2,0
TALLO HOJA
0 8,9
1 1,3,3,3,4,4,4,6,6,6,7,7,8,8,9,0
2 1,2,4,5,5,6,7,8
3 0,0,1,2
POLÍGONO DE FRECUENCIAS

Es un gráfico de líneas que se usa para presentar las frecuencias absolutas de los
valores de una distribución en el cual la altura del punto asociado a un valor de las
variables es proporcional a la frecuencia de dicho valor.
POLÍGONO DE FRECUENCIAS ACUMULADA U OJIVA.
Es un gráfico acumulativo, el cual es muy útil cuando se quiere representar el
rango porcentual de cada valor en una distribución de frecuencias.

En los gráficos las barras se encuentran juntas y en la tabla los números poseen en
el primer miembro un corchete y en el segundo un paréntesis
HISTOGRAMA
es una representación gráfica de una variable en forma de barras, donde la
superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores
representados. En el eje vertical se representan las frecuencias, y en el eje
horizontal los valores de las variables, normalmente señalando las marcas de clase,
es decir, la mitad del intervalo en el que están agrupados los datos.
Se utiliza cuando se estudia una variable continua, como franjas de edades o altura
de la muestra, y, por comodidad, sus valores se agrupan en clases, es decir, valores
continuos. En los casos en los que los datos son cualitativos (no-numéricos), como
sexto grado de acuerdo o nivel de estudios, es preferible un diagrama de sectores.
Los histogramas son más frecuentes en ciencias sociales, humanas y económicas
que en ciencias naturales y exactas. Y permite la comparación de los resultados de
un proceso.

Diagrama de barras
Un diagrama de barras, también conocido como diagrama de columnas, es una
forma de representar gráficamente un conjunto de datos o valores y está
conformado por barras rectangulares de longitudes proporcionales a los valores
representados. Los gráficos de barras son usados para comparar dos o más
valores. Las barras pueden orientarse vertical u horizontalmente.
Gráfico circular
Los gráficos circulares, también llamados gráficos de pastel o gráficas de 360
grados, son recursos estadísticos que se utilizan para representar porcentajes y
proporciones. El número de elementos comparados dentro de un gráfico circular

puede ser de más de 5, y los segmentos se ordenan de mayor a menor, iniciando
con el más amplio a partir de las 12, como en un reloj.
Una manera fácil de identificar los segmentos es sombreando de claro a oscuro,
donde el de mayor tamaño es el más claro y el de menor tamaño, el más oscuro.
MEDIA ARITMÉTICA
Es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número
total de datos X es el símbolo de la media aritmética.
Mientras que la media aritmética a menudo se utiliza para informar de tendencias
centrales , no es una estadística robusta , lo que significa que está muy influido por
los valores atípicos . Cabe destacar que para distribuciones asimétricas , la media
aritmética no puede concordar con la propia noción de "medio", y las estadísticas
robustas, tales como la mediana puede ser una mejor descripción de la tendencia
central.
Ejemplo:
Los pesos de 6 niños son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg
Hallar el peso medio.
𝒙
̅ =
𝟖𝟒+𝟗𝟏+𝟕𝟐+𝟔𝟖+𝟖𝟕+𝟕𝟖
𝟔
= 80 kg.
MEDIANA
La mediana, representa el valor de la variable de posición central en un conjunto
de datos ordenados.
En teoría de la probabilidad y estadísticas , una mediana de un conjunto de
valores ( borrador , población , distribución de probabilidad ) es un valor tal que
el número m de los valores del conjunto mayor que o igual que m es el número de

valores m o menos. Intuitivamente, podemos decir que la mediana es el punto
medio de la serie , se divide en dos mitades. Esta es una característica posición de
la serie.
Ejemplo:
Encontrar la mediana para los siguientes datos
3 – 4 – 1 – 2 – 3 – 4 – 3 – 3 – 1 – 5 - 5
 Ordenar los datos
1 – 1 – 2 – 2 – 2 – 3 – 3 – 4 – 4 – 5 - 5
 Localizar el valor que divide en 2 partes iguales el número de datos.
1 – 1 – 2 – 2 – 2 – 3 – 3 – 4 – 4 – 5 - 5
La mediana es 3, dejando 5 datos a cada lado.
MODA
La moda es el valor con una mayor frecuencia en una distribución de datos.
Hablaremos de una distribución bimodal de los datos adquiridos en una columna
cuando encontremos dos modas, es decir, dos datos que tengan la misma
frecuencia tres modas. Si todas las variables tienen la misma frecuencia diremos
que no hay moda.
Ejemplo:
0 – 2 – 5 – 7 – 15 – 0 – 2 – 5 – 7 - 15
4 – 6 – 8 – 15 – 1 – 4 – 6 – 12 – 19 - 3
Calcular la moda:
Moda: 15 por ser el número más frecuente de errores.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
MEDIA ARITMETICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Medida de tendencia central usualmente llamada promedio, se define como la
división de la suma de todos los valores entre el número de datos. Su fórmula es:

Propiedades
Las principales propiedades de la media aritmética son:
 Su cálculo es muy sencillo y en él intervienen todos los datos.
 Su valor es único para una serie de datos dada.
 Se usa con frecuencia para comparar poblaciones, aunque es más apropiado
acompañarla de una medida de dispersión.
La media aritmética( muestral) Esencialmente, la media muestral es el
mismo parámetro que el anterior, aunque el adjetivo "muestral" se aplica a
aquellas situaciones en las que la media aritmética se calcula para un subconjunto
de la población objeto de estudio.
X= simboliza la media aritmética calculada para una muestra.
n= es el número de valores que toma la variable, en estudio, en la muestra.
∑= Sumatoria
Xi= es cada uno de los valores que toma la variable en la muestra o en la
población.Z
·Primero, se suman las notas:
6,0 + 5,4 + 3,1 + 7,0 + 6,1 = 27,6
 Luego el total se divide entre la cantidad de alumnos:
27,6 ÷ 5 = 5,52
MEDIA POBLACIONAL
∑ 𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂 𝑷𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍 = 𝝁 =
∑ 𝑿
𝑵
= sumatoria
µ = media
N = número de elementos
X = valores o datos
MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA
NIÑO NOTA
1 6.0
2 5.4
3 3.1
4 7.0
5 6.1

A veces puede ser útil otorgar pesos o valores a los datos dependiendo de su
relevancia para determinado estudio. En esos casos se puede utilizar una media
ponderada. Si es un conjunto de datos o media muestral
y son números reales positivos, llamados "pesos" o factores de
ponderación, se define la media ponderada relativa a esos pesos como:
 Es un caso especial de la media aritmética.
 Se presenta cuando hay varias observaciones del mismo valor que pueden
ocurrir si los datos se han agrupado en una distribución de frecuencias.
 Consiste en multiplicar cada observación por el número de veces que
aparece
MEDIA GEOMETRICA (datos no agrupados)
La media geométrica siempre va a ser menor o igual que la media aritmética, jamás
la media geométrica es mayor que la media aritmética.
 No se consideran valores negativos.
 Sirve para encontrar el promedio de porcentajes, la razón,índices,o tasas de
crecimiento.
Ejemplo:
 Las ganancias obtenidas por una constructora en 4 proyectos recientes
fueron : 3% ; 4%; 2%; 6%. ¿Cuál es la media geométrica de la ganacia?
𝑀𝐺 = √3.4.2.6
4
𝑀𝐺 = √144
4
𝑀𝐺 = 3.46%
AUMENTO PORCENTUAL PROMEDIO EN UN PERIODO DETERMINADO
Esta fórmula sirve para ver el aumento porcentual en un determinado período.
MG = √
𝑉𝐴𝐿𝑂𝑅 𝐴𝐿 𝐹𝐼𝑁𝐴𝐿 𝐷𝐸𝐿 𝑃𝐸𝑅𝐼𝑂𝐷𝑂
𝑉𝐴𝐿𝑂𝑅 𝐴𝐿 𝐼𝑁𝐼𝐶𝐼𝑂 𝐷𝐸𝐿 𝑃𝐸𝑅𝐼𝑂𝐷𝑂
𝑛
− 1

MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
LA MEDIANA
 Suponga que una población de Alaska en 1990, era de 2 personas y en el
2010 de 56 personas. ¿cuál fue la tasa de interés de incremento porcentual
anual promedio para el periodo.
𝑀𝐺 = √
56
2
20
- 1
MG= √28
20
- 1
MG = 1,18-1=0,18×100= 18%
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS AGRUPADOS
Al calcular la media para datos agrupados, se supone que las observaciones en
cada clase son iguales al punto medio de clase
La extensión para el cálculo de la mediana en el caso de datos agrupados es realiza
a continuación:
L= límite inferior de la clase donde está ubicada la mediana.
n=numero de términos.
FA= frecuencia absoluta acumulada ( del intervalo anterior a la clase donde está la
mediana)
f= frecuencia absoluta del intervalo donde se ubica la mediana.
i= amplitud del intervalo.

LA MODA
MEDIDAS DE DISPERSION
 Una muestra de la producción diaria de transmisores del receptor de
comunicación marca Scott electronics se organizó en la distribución que
sigue. Calcule la mediana de la producción diaria.
Producción
diaria
f Xm f.x f.A
80-90 2 85 425 5
90-100 9 95 855 14
100-110 20 105 2100 34
110-120 8 115 920 42
120-130 6 125 750 48
130-140 2 135 270 50
50 660 5320
𝑀𝑒 = 100 +
50
2
−14
20
∗ 10 𝑀𝑒 = 100 +
25−14
20
∗ 10
𝑀𝑒 = 100 +
11
20
∗ 10 𝑀𝑒 = 100 + 5.5
𝑀𝑒 = 105.5
es la observación que ocurre con mayor frecuencia, por lo que es necesario
identificar la clase modal, esta se localiza encontrando la clase que tenga
más frecuencia
Las medidas de dispersión, también llamadas medidas de variabilidad, muestran
la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las
diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la mediana media.
Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más
homogénea será a la mediana media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o
varían mucho entre ellos.

AMPLITUD DE LA VARIANZA
DESVIACION MEDIA POBLACIONAL
Para calcular la variabilidad que una distribución tiene respecto de su media, se
calcula la media de las desviaciones de las puntuaciones respecto a la media
aritmética. Pero la suma de las desviaciones es siempre cero, así que se adoptan
dos clases de estrategias para salvar este problema. Una es tomando las
desviaciones en valor absoluto (Desviación media) y otra es tomando las
desviaciones al cuadrado (Varianza).
El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una
distribución estadística.
La desviación respecto a la media es la diferencia entre cada valor de la
variable estadística y la media aritmética.
La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de
las desviaciones respecto a la media.
VARIANZA POBLACIONAL
La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones
respecto a la media de una distribución estadística.
La varianza se representa por .
PROPIEDADES DE LA VARIANZA
1 La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que
las puntuaciones sean iguales.
2 Si a todos los valores de la variable se
les suma un número la varianza no varía.
AV = VM - Vm

3 Si todos los valores de la variable se multiplican por
un número la varianza queda multiplicada por el cuadrado de
dicho número.
4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos
sus respectivas varianzas se puede calcular la varianza total.
Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:
Si las muestras tienen distinto tamaño:
DESVIACIÓN ESTÁNDAR POBLACIONAL
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza.
Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviación.
La desviación típica se representa por σ.

PROPIEDADES DE DESVIACIÓN ESTÁNDAR
1 La desviación típica será siempre un valor positivo o cero, en el caso de
que las puntuaciones sean iguales.
2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación
típica no varía.
3 Si todos los valores de la variable se multiplican por
un número la desviación típica queda multiplicada por dicho número.
4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus
respectivas desviaciones típicas se puede calcular la desviación típica
total.
LA VARIANZA MUESTRAL
Se puede definir como el "casi promedio" de los cuadrados de las desviaciones de
los datos con respecto a la media muestral. Su fórmula matemática para el caso de
datos referentes a una muestra es:
 El almacén JML de la ciudad de Machala contrato s pasantes de contabilidad
el año pasado, sus sueldos mensuales fueron $253,60; $244,80;
$252,60;$219,70 y $274,30.
a) Calcule la media de la población.
b) Determine la varianza.
c) Obtenga la desviación estándar poblacional.
d) La oficina de JML en piñas contrato 6 pasantes. Su sueldo mensual
promedio fue de $262,30 y la desviación estándar $25 compare
ambos grupos.
Sueldos mensuales x-u (x-u) (x-u)2
253,60 8,60 8,60 73,96
224,80 -20,20 20,20 408,04
252,60 7,60 7,60 57,76
219,70 -25,30 25,30 640,09
274,30 29,30 29,30 858,49
0 91 2038,34
Av= VM- Vm= 274,30 – 219,70= 54,6

a) 𝝁 =
∑ 𝑿
𝑵
𝝁 =
𝟏𝟐𝟐𝟓
𝟓
= 𝟐𝟒𝟓
5
b)
𝜎2
=
∑(𝑋− 𝜇)2
𝑁
𝜎2
=
2038,34
5
𝜎2
= 407,67
c) 𝝈 = √𝟒𝟎𝟕, 𝟔𝟕
𝝈 = 𝟐𝟎, 𝟏𝟗
DESVIACION ESTANDAR MUESTRAL
FORMULA DIRECTA
S2
=
∑ 𝑋
2−
(∑ 𝑋)2
𝑛
𝑛−1
DESVIACION ESTANDAR PARA DATOS AGRUPADOS
S=
√∑ 𝑓𝑥
2−
(∑ 𝑓𝑥)2
𝑛
𝑛−1
AMPLITUD DE LA VARIANZA PARA DATOS AGRUPADOS
Av= Ls – Li

Limite Límite
Superior Inferior
 Los tiempos de uso de una muestra de roca de un cuarto de pulgada por
alquiler disponible en CollRental, INC.
e) Calcule la amplitud de varianza
f) Evalue la desviación estándar muestral
g) Determine
Tiempo frecuencia Xm Fx X2 Fx2
2-4 2 3 6 9 18
4-6 5 5 25 29 125
6-8 10 7 70 49 490
8-10 4 9 36 81 324
10-12 2 11 22 121 242
35 159 285 1199
Av= Ls-Li
Av= 12 – 2
Av= 10
S=
√∑ 𝑓𝑥
2−
(∑ 𝑓𝑥)2
𝑛
𝑛−1
1199_ (159)2
S= 23
23-1
1199-1099,17
S= 22
S=√4,54
S=2,13
S2= 4,54

NIVEL DE MEDICION
Los datos que hemos tomado de la gasolinera EL AGUADOR son de nivel nominal,
porque solo clasifica los datos.
DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS

1623 1569 1655 1641 1770 1629 1619 1563 1563 1694 1568 1477
1578 1553 1734 1639 1621 1590 1670 1464 1664 1589 1646 1528
1603 1594 1681 1574 1640 1533 1570 1490 1545 1735 1640 1495
1510 1610 1805 1795 1630 1640 1680 1795 1830 1665 1715 1635
1728 1750 1725 1737 1793 1857 1955 1887 1895 1750 1630 1821
CALCULO DEL NÚMERO DE INTERVALOS
2k≥ #
26
= 60
64 > 60
K=6
AMPLITUD DEL INTERVALO
i≥
𝐻−𝐿
𝐾
i≥
1895−1464
6
i≥
431
6
i≥71.83
i = 72
CUADRO DE FRECUENCIAS
DETALLE Xm f F f% F% fr Fr
1464 1536 1500 7 7 11.67 11.66 0.16 0.16
1536 1608 1572 13 20 21.66 33.33 0.22 0.33
1608 1680 1644 18 38 30 63.33 0.30 0.63
1680 1752 1716 11 49 18.33 81.66 0.18 0.81
1752 1824 1788 6 55 10 91.66 0.10 0.91
1824 1896 1860 5 60 8.34 100 0.08 1.00
60 100 1.00
DIAGRAMA DE TALLO Y HOJA

TALLO HOJA
162 3 9 1
156 9 3 3 8
165 5
164 1 6 0 0 0
177 0
161 9 0
169 4
147 7
157 0 8 4
155 3
173 4 5 7
163 9 0 5 0
159 0 4
167 0
146 4
166 4 5
158 9
152 8
160 3
168 1 0
153 3
149 0 5
154 5
151 0
180 5
179 5 5 3
183 0
171 5
172 8 5
175 0 0
185 7
195 5
188 7
189 5
182 1
FORMA ORDENADA DEL DIAGRAMA DE TALLO Y HOJA

TALLO HOJA
146 4
147 7
149 0 5
151 0
152 8
153 3
154 5
155 3
156 3 3 8 9
157 0 4 8
158 9
159 0 4
160 3
161 0 9
162 1 3 9
163 0 0 5 9
164 0 0 0 1 6
165 5
166 4 5
167 0
168 0 1
169 4
171 5
172 5 8
173 4 5 7
175 0 0
177 0
179 3 5 5
180 5
182 1
183 0
185 7
188 7
189 5
195 5
POLÍGONO DE FRECUENCIA

HISTOGRAMA
POLÍGONO DE FRECUENCIA ACUMULADA U OJIVA
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
1500 1572 1644 1716 1788 1860
FRECUENCIA
POLIGONO DE FRECUENCIA
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
FRECUENCIAS
CLASES
HISTOGRAMA

DIAGRAMA DE BARRAS
DIAGRAMA CIRCULAR
0
10
20
30
40
50
60
70
1464 1536 1608 1680 1752 1824
POLIGONO DE FRECUENCIA ACUMULADA U
OJIVA
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
1464 1536 1608 1680 1752 1824
DIAGRAMA DE BARRAS

MEDIA ARITMETICA
X̅=
∑ 𝑥
𝑛
X̅=
1623+1569+1655+1641+1770+1629+1619+1563+1563+1694+1568+1477……………..
60
X̅=
99585
60
X̅= 1659.75
LA MEDIANA
1464 1477 1490 1495 1510 1528 1533 1545 1553 1563 1563 1568
1569 1570 1574 1578 1589 1590 1594 1603 1610 1619 1621 1623
1629 1630 1630 1635 1639 1640 1640 1640 1641 1646 1655 1664
1665 1670 1680 1681 1694 1715 1725 1728 1734 1735 1737 1750
7
13
18
11
6
5
Ventas de Gasolina Extra

1750 1770 1793 1795 1795 1805 1821 1830 1857 1887 1895 1955
Mediana =
1640+1640
2
Mediana = 1640
LA MODA
La moda es 1640
MEDIA GEOMETRICA
MG=√𝐱𝟏. 𝐱𝟐. 𝐱𝟑 … … … … .
𝒏
MG=√1623 ∗ 1569 ∗ 1655
3
MG=√4214,435.985
3
MG=161.53
PARA DATOS AGRUPADOS
DATOS f Xm fx FA
1464 1536 7 1500 10500 7
1536 1608 13 1572 20436 20
1608 1680 18 1644 29592 38
1680 1752 11 1716 18876 49
1752 1834 6 1788 10728 55
1834 1896 5 1860 9300 60
60 99.432
MEDIA ARITMATICAPARA DATOS AGRUPADO
Escriba aquí la ecuación.

X
X
X= 1.657,2
MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
MODA
Moda=
1808+1680
2
Moda = 1644

DESVIACION ESTANDAR POBLACIONAL
CLIENTES x-u l x-u l l x- u l 2
1464 -195,75 195,75 38318,06
1477 -182,75 182,75 33397,56
1490 -169,75 169,75 28815,06
1495 -164,75 164,75 27142,56
1510 -149,75 149,75 22425,06
1528 -131,75 131,75 17358,06
1533 -126,75 126,75 16065,56
1545 -114,75 114,75 13167,56
1553 -106,75 106,75 11395,56
1563 -96,75 96,75 9360,56
1563 -96,75 96,75 9360,56
1568 -91,75 91,75 8418,06
1569 -90,75 90,75 8235,56
1570 -89,75 89,75 8055,06
1574 -85,75 85,75 7353,06
1578 -81,75 81,75 6683,06
1589 -70,75 70,75 5005,56
1590 -69,75 69,75 4865,06
1594 -65,75 65,75 4323,06
1603 -56,75 56,75 3220,56
1610 -49,75 49,75 2475,06
1619 -40,75 40,75 1660,56
1621 -38,75 38,75 1501,56

1623 -36,75 36,75 1350,56
1629 -30,75 30,75 945,56
1630 -29,75 29,75 885,06
1630 -29,75 29,75 885,06
1635 -24,75 24,75 612,56
1639 -20,75 20,75 430,56
1640 -19,75 19,75 390,06
1640 -19,75 19,75 390,06
1640 -19,75 19,75 390,06
1641 -18,75 18,75 351,56
1646 -13,75 13,75 189,06
1655 -4,75 4,75 22,56
1664 4,25 4,25 18,06
1665 5,25 5,25 27,56
1670 10,25 10,25 105,06
1680 20,25 20,25 410,06
1681 21,25 21,25 451,56
1694 34,25 34,25 1173,06
1715 55,25 55,25 3052,56
1725 65,25 65,25 4257,56
1728 68,25 68,25 4658,06
1734 74,25 74,25 5513,06
1735 75,25 75,25 5662,56
1737 77,25 77,25 5967,56
1750 90,25 90,25 8145,06
1750 90,25 90,25 8145,06
1770 110,25 110,25 12155,06
1793 133,25 133,25 17755,56
1795 135,25 135,25 18292,56
1795 135,25 135,25 18292,56
1805 145,25 145,25 21097,56
1821 161,25 161,25 26001,56
1830 170,25 170,25 28985,06
1857 197,25 197,25 38907,56
1887 227,25 227,25 51642,56
1895 235,25 235,25 55342,56
1955 295,25 295,25 87172,56
99585 0,00 5274,5 718677,25
AMPLITUD DE VARIACION: MEDIA POBLACIONAL:

Av= VM-Vm u=
∑ 𝑿
𝑼
AV =1955-1464 u=99585/60
AV= 491 u= 1659,75
VARIANZA POBLACIONAL
σ2
=
∑( 𝑿−𝑼)𝟐
𝑵
σ2
=
718677,25
60
σ2
= 11977,95
σ= √11977,95
σ= 109,44
DESVIACION ESTANDAR POBLACIONAL
σ= √
𝚺 ( 𝐗−𝑼)𝟐
𝑵
σ=√
718677,25
60
σ=√11977,95
σ= 109,44

CUADRO PARA SACAR LAS VARIANZA MUESTRAL
CLIENTES X- (X- )2
X2
1464 -195,75 38318,06 2143296
1477 -182,75 33397,56 2181529
1490 -169,75 28815,06 2220100
1495 -164,75 27142,56 2235025
1510 -149,75 22425,06 2280100
1528 -131,75 17358,06 2334784
1533 -126,75 16065,56 2350089
1545 -114,75 13167,56 2387025
1553 -106,75 11395,56 2411809
1563 -96,75 9360,56 2442969
1563 -96,75 9360,56 2442969
1568 -91,75 8418,06 2458624
1569 -90,75 8235,56 2461761
1570 -89,75 8055,06 2464900
1574 -85,75 7353,06 2477476
1578 -81,75 6683,06 2490084
1589 -70,75 5005,56 2524921
1590 -69,75 4865,06 2528100
1594 -65,75 4323,06 2540836
1603 -56,75 3220,56 2569609
1610 -49,75 2475,06 2592100
1619 -40,75 1660,56 2621161
1621 -38,75 1501,56 2627641
1623 -36,75 1350,56 2634129
1629 -30,75 945,56 2653641
1630 -29,75 885,06 2656900
1630 -29,75 885,06 2656900
1635 -24,75 612,56 2673225
1639 -20,75 430,56 2686321
1640 -19,75 390,06 2689600
1640 -19,75 390,06 2689600
1640 -19,75 390,06 2689600

1641 -18,75 351,56 2692881
1646 -13,75 189,06 2709316
1655 -4,75 22,56 2739025
1664 4,25 18,06 2768896
1665 5,25 27,56 2772225
1670 10,25 105,06 2788900
1680 20,25 410,06 2822400
1681 21,25 451,56 2825761
1694 34,25 1173,06 2869636
1715 55,25 3052,56 2941225
1725 65,25 4257,56 2975625
1728 68,25 4658,06 2985984
1734 74,25 5513,06 3006756
1735 75,25 5662,56 3010225
1737 77,25 5967,56 3017169
1750 90,25 8145,06 3062500
1750 90,25 8145,06 3062500
1770 110,25 12155,06 3132900
1793 133,25 17755,56 3214849
1795 135,25 18292,56 3222025
1795 135,25 18292,56 3222025
1805 145,25 21097,56 3258025
1821 161,25 26001,56 3316041
1830 170,25 28985,06 3348900
1857 197,25 38907,56 3448449
1887 227,25 51642,56 3560769
1895 235,25 55342,56 3591025
1955 295,25 87172,56 3822025
99585 0,00 718677,25 166004881,00
VALOR DE LA MEDIA ARITMETICA:
= 1659,75
VARIANZA MUESTRAL (DESVIACIONES)
S2=
∑( 𝑿−)𝟐
𝒏−𝟏
S2
=
718677.25
59
S2
= 12180,97

DESVIACION ESTANDAR MUESTRAL
S= √∑( 𝑿−)
𝟐
𝒏−𝟏
S= √
718677.25
60−1
S= √
718677.25
59
S= √12180,97
S= 110,37
FÓRMULA DIRECTA
S2
=
∑ 𝑿𝟐−
(∑ 𝑿)𝟐
𝒏
𝒏−𝟏
S2=
166004881−
(99585)2
60
59
S2=
166004881−165286203,7
59
S2=
718677,25
59
S2= 12180.97
DESVIACION ESTANDAR PARA DATOS AGRUPADOS

DETALLE Xm f X2 fx F.x2
1464 1536 1500 7 2250.000 10.500 15.750
1536 1608 1572 13 2471.184 20.436 32125.392
1608 1680 1644 18 2702.736 29.592 48649.248
1680 1752 1716 11 2944.656 18.876 32391.216
1752 1824 1788 6 3196.944 10.728 19181.664
1824 1896 1860 5 3459.600 9.300 17.298
10.080 60 17.025,12 99.432 132.380,568
AMPLITUD DE VARIACION
AV= ls – li
AV = 1896 - 1464
AV = 432
FORMULA DE DESVIACION ESTÁNDAR
𝑺 = √∑ 𝒇𝒙𝟐−
(∑ 𝒇𝒙)
𝟐
𝒏
𝒏−𝟏
𝑺 = √𝟏𝟑𝟐. 𝟑𝟖𝟎, 𝟓𝟔𝟖 −
(𝟗𝟗.𝟒𝟑𝟐)𝟐
𝟔𝟎
𝟔𝟎 − 𝟏
𝑺 = √
𝟏𝟑𝟐. 𝟑𝟖𝟎, 𝟓𝟔𝟖 −
𝟗´𝟖𝟖𝟔.𝟕𝟐𝟐,𝟔𝟐𝟒
𝟔𝟎
𝟓𝟗
𝑺 = √
𝟏𝟑𝟐. 𝟑𝟖𝟎, 𝟓𝟔𝟖 − 𝟏𝟔𝟒. 𝟕𝟕𝟖, 𝟕𝟏𝟎𝟒
𝟓𝟗
𝑺 = √𝟏𝟑𝟐. 𝟑𝟖𝟎, 𝟓𝟔𝟖 −
(𝟗𝟗.𝟒𝟑𝟐)𝟐
𝟔𝟎
𝟓𝟗

S= 132.380,568 - 164.7787104
59
S= 132.215,7893
59
S= 2,240.945581
S= 47.33862674
S2 = (47.33862674)2
S2 = 2.240945582 Varianza muestral

UBICACION DE LA GASOLINERA EL AGUADOR

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