Este documento trata sobre estadísticos de orden. Explica que los estadísticos de orden son valores de muestra colocados en orden ascendente. Define los estadísticos básicos como la media, la mediana y la moda. También cubre el rango y funciones de densidad de probabilidad de estadísticos de orden. Proporciona ejemplos para ilustrar los conceptos.

1. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN
FACULTAD CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS
ESTADISTICOS DE ORDEN
Monterrey, Nuevo León, México, a 25 de noviembre de 2014

2. Estadísticos de orden [Año]
Estadísticos de orden
 Sea X1, X2,….,Xn son valores muestra colocados en orden ascendente y se
denota por
푥1, 푥2, ……, 푥푛
푥(1)= El menor de 푥1, 푥2, … , 푥푛
푥(2)= El segundo menor de 푥1, 푥2, … , 푥푛
.
.
푥(푗)= El j-esimo menor de 푥1, 푥2, … , 푥푛
.
.푥(푛)= El mayor de 푥1, 푥2, … , 푥푛
Cuando se utiliza la teoría de probabilidad para analizar estadísticos de orden de
muestras aleatorias a partir de una distribución continúa la función de distribución
acumulativa se usa para reducir el análisis para el caso de estadísticas de orden
de la distribución uniforme.
Cuando los estadísticos de orden se construyen mediante la medida de interés de
la muestra:
푋 (푛+1)
2
, si n es impar
푋̃
(푋(푛
2
) + 푋(푛
2
+1) )/ 2, si n es par
Nota: 푥1 ≠ 푥(1)
El primero denota el primer valor
tomado.
El segundo el valor más chico.
Existen 3 estadísticos básicos.
 푥̅ = 푀푒푑푖푎 , 푝푟표푚푒푑푖표 표 푣푎푙표푟 푒푠푝푒푟푎푑표 .
 푥̂ = 푀표푑푎, 푒푠 푒푙 푣푎푙표푟 푞푢푒 푚á푠 푠푒 푟푒푝푖푡푒 .
 푥̃ = 푀푒푑푖푎푛푎 , 푑푎푡표 푚푒푑푖표 .

3. Estadísticos de orden [Año]
Rango
El rango de la muestra es la diferencia entre el máximo y el mínimo. Está claro que
es una función de las estadísticas de orden.
El rango de una muestra aleatoria se encuentra de la siguiente forma
 Rango { 푥1, 푥2, … , 푥푛} = 푥푛- 푥1
La función de densidad conjunta de los estadísticos de orden está dada por:
푓푥1, 푓푥2 , ……, 푓푥푛 (푥1, 푥2, ……, 푥푛)= n! 푓푥1, 푓푥2 , ……, 푓푥푛
푥1< 푥2 < ……< 푥푛
EJEMPLO
Ahora la función de densidad acumulada de cualquier conjunta de j-1 nos da 푥푗 ˂
X, el complemento de la acumulada de n-j variables son de valores mayores que
X, así el valor restante de X lo obtenemos con la f.p.m o densidad.
(⌈퐹(푥) ⌉ 푗− 1 ) (⌈퐹(푥) ⌉ 푛−푗 ) f(x)
Entonces ya que existen combinaciones
( 푛
(푗−1) !(푛−푗)!
)=
푛!
(푗−1) ! (푛−푗) !
que son diferentes formas de participar las n-variables 푥1, 푥2, … , 푥푛 en los tres
grupos procedentes, se sigue que la función de densidad a masa de 푥푗 esta dada
por
푓푋(푗)=
푛!
(푗−1) ! (푛−푗) !
(⌈퐹(푥) ⌉ 푗−1 ) (⌈퐹(푥) ⌉ 푛−푗 ) f(x)

4. Estadísticos de orden [Año]
EJEMPLO
Cuando una muestra de 2n + 1 variables aleatorias (es decir, cuando 2n + 1 variables
aleatorias independientes e idénticamente distribuidas) se observa, el (n+1) más pequeño
se llama la mediana de la muestra. Si una muestra de tamaño 3 de una distribución
uniforme en (0, 1) es observado, encuentra la probabilidad de que la mediana de la
muestra está entre
1
4
y
3
4
.
Solución. De la ecuación (6.2), la densidad de X(2) está dada por:
푓푥(2)(푥) =
3!
1! 1!
푥(1 − 푥) 0 < 푥 < 1
Por lo tanto,
1
4
푃 {
< 푋(2) <
3
4
3/4
1/4 = 6 {
} = 6 ∫ 푥(1 − 푥)푑푥
푥2
2
−
푥3
3
} 푥=3/4
푥=1/4 =
11
16
La función de distribución acumulada de X(j) se puede encontrar mediante la integración
de la ecuación (6.2). Es decir,
Fx(J) (y)=
푛!
(푛−푗)!(푗−1)!
푦
−∞ (6.3)
∫ [퐹(푥)]푗−1[1 − 퐹(푥)]푛−푗푓(푥)푑푥
Sin embargo, Fx(j)(y) también podría haber sido derivado directamente al señalar que el j-esimo
orden estadístico es menor o igual a y si y sólo si hay j o más de los Xi’s que son
menor o igual a y. Por lo tanto, debido a que el número de Xi’s que son menor o igual a y
es una variable aleatoria binomial con parámetros n, p = F (y), se deduce que
′ 푠표푛 ≤ 푦} = Σ (
퐹푥(푗) (푦) = 푃{푋푗 ≤ 푦} = 푃{푗 표 푚푎푠 푑푒 푙푎푠 푋푖
푛
푘
)[퐹(푦)]푘[1− 퐹(푦)]푛−푘 푛푘
=푗 (6.4)
Si, en las ecuaciones (6.3) y (6.4), tomamos F para ser una distribución uniforme (0,1)
[푞푢푒 푒푠. 푓(푥) = 1,0 < 푥 < 1], entonces obtenemos la interesante identidad analítica
푛
푘
Σ(
) 푦푘 (1 − 푦)푛−푘 =
푛 !
(푛 − 푗)! (푗 − 1)!
푦
∫ 푥푗−1(1 − 푥)푛−푗푑푥
0
0 ≤ 푦 ≤ 1 (6.5)
푛
푘=푗

5. Estadísticos de orden [Año]
Al emplear el mismo tipo de argumento que se utilizó en el establecimiento, la ecuación
(6.2), podemos demostrar que la función de densidad conjunta de las estadísticas de
orden X(i) y X(j) cuando i <j es:
푓푥(푖), 푥(푗)(푥푖 ,푥푗)
=
푛 !
(푖 − 1)! (푗 − 푖 − 1)! (푛 − 푗)!
[퐹(푥푖 )]푖−1
푗−푖−1
× [퐹(푥푗) − 퐹(푥푖 )]
푛−푗
[1 − 퐹(푥푗)]
푓(푥푖 )푓(푥푗) 푝푎푟푎 푡표푑표푠 푙표푠 푥푖 < 푥푗 (6.6
EJEMPLO
A lo largo de una carretera de 1 milla de largo son 3 personas distribuidas al azar.
Encuentre la posibilidad de que no hay 2 personas que estén a menos de una distancia
de milla d aparte cuando d < ½.
Solución. Supongamos que “distribuido al azar” significa que las posiciones de las 3
personas son independientes y están distribuidos uniformemente a lo largo del camino. Si
X denota la posición de la persona ITH, entonces la probabilidad deseada es 푃{푋푖 >
푋(푖−1) + 푑, 푖 = 2,3}. Porque
푓푥(1), 푥(2), 푥(3)(푥1, 푥2, 푥3) = 3! 0 < 푥1 < 푥2 < 푥3 < 1
푃{푋푖 > 푋(푖−1) + 푑, 푖 = 2,3} = ∭ 푓푥(1), 푥(2), 푥 푥(3)(푥1,푥2,푥3) 푑푥1 푖>푥푗−1+푑 푑푥2푑푥3
1−2푑
0 푑푥2푑푥1
1
푥2+푑
1−푑
푥1+푑
= 3! ∫ ∫ ∫ 푑푥3
1−2푑
0 푑푥2푑푥1
1−푑
푥1+푑
= 6 ∫ ∫ (1 − 푑 − 푥2)
1−2푑
1−2푑−푥1
푑푦2푑푥0 0
1
= 6 ∫ ∫ 푦2
Donde 푦2 = 1 − 푑 − 푥2
= 3 ∫ (1−2푑 − 푥1)2 1−2푑
0 푑푥1
1−2푑 2
0 푑푦1
= 3 ∫ 푦1
= (1 − 2푑)3

6. Estadísticos de orden [Año]
Por lo tanto, la probabilidad deseada de que 2 personas no están a una distancia d uno al
otro cuando 3 personas están uniformemente distribuidos e independientemente al
intervalo de medida 1 es (1 − 2푑)3. De hecho, el mismo método puede ser utilizado para
probar cuando n personas se distribuyen al azar en la unidad i la probabilidad deseada es
[1 − (푛 − 1)푑]푛 푑표푛푑푒 푑 ≤
1
푛 − 1
La función de densidad estadística 푋푗 puede obtenerse al integrar la función de densidad
conjunta o por un razonamiento directo de la siguiente manera: Para que 푋푗 a la igualdad
de x, es necesario para 푗 − 1 de los n valores 푥1 … 푥푛 sea menor que x, 푛 − 푗 de ellos que
sea menor que x, y uno de ellos para igualar x. Ahora, la densidad de probabilidad de que
cualquier conjunto dado de 푗 − 1 de las x son menos de x, otro conjunto dado de 푛 − 푗 son
todas mayores que r, y el valor restante es igual que x.
[퐹(푥)]푗−1[1 − 퐹(푥)]푛−푗푓(푥)
Por lo tanto
(
푛
푗 − 1, 푛 − 푗, 1) =
푛!
(푛 − 푗)! (푗 − 1)!
La función de densidad de 푋푗 esta dada por
푓푥(푗)(푥) =
푛!
(푛 − 푗)! (푗 − 1)!
[퐹(푥)]푗−1[1 − 퐹(푥)]푛−푗푓(푥)