Este documento presenta las normas y preguntas de un examen de álgebra. El examen consta de 6 preguntas de selección múltiple y 5 problemas. Las normas establecen que la puntuación máxima es de 9 puntos y que se penalizarán las respuestas incorrectas. Los problemas cubren temas como aplicaciones lineales, matrices, formas cuadráticas y movimientos en R2.

1. Departamento de Matem´atica Aplicada
Universidad de M´alaga
Escuela T´ecnica Superior de Ingenier´ıa Industrial
Examen de ‘´Algebra’ -1 de febrero de 2010 - Curso 09/10
Apellidos: Nombre:
Grupo: DNI:
Firma:
Normas del examen:
1. El examen est´a estructurado en dos partes: cuestiones y problemas. La puntuaci´on m´axima de las cuestiones
es de 1.5 puntos as´ı como la m´axima de cada uno de los problemas.
2. La respuesta de cada cuesti´on deber´a marcarse en la casilla correspondiente que figura junto a cada pregunta.
3. Cada dos cuestiones contestadas incorrectamente anular´an una respuesta correcta, pero no penalizar´an la pun-
tuaci´on de los problemas. De este modo, la puntuaci´on de las cuestiones es (Correctas-Incorrectas/2)·0.25puntos.
No penalizar´an las cuestiones sin responder.
4. Cada cuesti´on con respuesta m´ultiple anular´a una correcta.
5. No est´a permitido ning´un tipo de tach´on o rectificaci´on en las respuestas a las cuestiones.
6. No est´a permitido el uso de ning´un tipo de calculadora.
7. El alumno deber´a escribir su Nombre, Apellidos y DNI en cada uno de los folios que entregue.
8. El alumno deber´a colocar el DNI o pasaporte en un lugar visible del pupitre.
9. La puntuaci´on m´axima del examen es de 9 puntos. Se podr´a optar al punto restante en el examen de pr´acticas
con Mathematica, si se entregaron previamente las pr´acticas resueltas.

2. 2 ´Algebra
Cuestiones
1. La siguiente relaci´on en el conjunto de habitantes del planeta es de orden:
a) Ser hermano de.
b) Ser padre de.
c) Ser hijo de.
d) Ninguna de las anteriores.
2. El conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineal
a) Posee estructura de espacio vectorial. b) Posee estructura de espacio af´ın.
c) Es un espacio vectorial eucl´ıdeo. d) Es infinito.
3. Sea f: U → V una aplicaci´on lineal entre dos subespacios vectoriales de Rn
.
a) dim Ker f + dim Im f = dim V.
b) dim Ker f + dim Im f = dim U.
c) dim Ker f + dim Im f = n.
d) dim Ker f + dim Im f es igual al rango de la matriz asociada a f.
4. Sea ∼ una relaci´on binaria de equivalencia en un conjunto A y [a] la clase del elemento a.
Entonces
a) [a] ∩ [b] = ∅ ⇔ a = b.
b) [a] ∩ [b] = ∅ ⇔ a ∼ b.
c) [a] ∩ [b] = ∅ ⇔ a = b.
d) [a] ∩ [b] = ∅ ⇔ a ∼ b.
5. En un espacio vectorial eucl´ıdeo
a) Siempre hay vectores isotr´opicos, con respecto al producto escalar, no nulos.
b) El 0 es el ´unico vector isotr´opico, con respecto al producto escalar.
c) La forma bilineal sim´etrica es indefinida.
d) Toda base es ortonormal.
6. Sea (G, ∗) un grupo. Entonces, para cualesquiera a, b ∈ G,
a) (a ∗ b)−1
= a−1
∗ b−1
.
b) (a ∗ b)2
= a2
∗ b2
.
c) (a ∗ b)2
= a ∗ b2
∗ a.
d) Ninguna de las anteriores igualdades tiene validez general.
Examen de ´Algebra - 1 de febrero de 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Curso 09/10

3. 3
Problemas
Problema 1 Sea f: R2
→ R4
dada por f(x, y) = (4x + y, 3x − y, 2x, −2y).
a. Pruebe que f es una aplicaci´on lineal.
b. Compruebe si es monomorfismo, epimorfismo, isomorfismo o ninguna de las anteriores.
c. Obtenga la matriz A asociada a f en las bases can´onicas de R2
y R4
. ¿C´omo se obtienen las
coordenadas de f(u) a partir de A y de las coordenadas de u?
d. Compruebe que B = {(2, 1), (1, 1)} y B = {(1, 0, 0, 1), (1, 0, 0, −1), (0, 1, 1, 0), (0, 1, −1, 0)} son
bases de R2
y R4
respectivamente.
e. Obtenga la matriz de f respecto de las bases B y B y explicar con precisi´on la relaci´on entre
dicha matriz y A. No es necesario determinar P−1
.
Problema 2 Dada la matriz
A =



4 1 0 0
1 3 −1 1
1 1 2 0
−1 −1 0 3


 ,
a. Determine, con todo rigor, la forma can´onica de Jordan J de la matriz.
b. Determine una matriz de paso asociada y la relaci´on existente entre ambas.
c. Calcule eJ
.
Problema 3 Sea la forma cuadr´atica de R3
dada por
q(x, y, z) = x2
+ y2
− z2
+ 2xy − 4xz
respecto a la base can´onica de R3
. Halle una nueva base respecto a la cual
q(x , y , z ) = a(x )2
+ b(y )2
+ c(z )2
(para (x , y , z ) las coordenadas en dicha base) de modo que a, b, c ∈ {±1, 0}.
Problema 4 Considere la matriz A =
1
4


2 1 1
1 2 1
1 1 2

 .
a. Si A representa un endomorfismo, ¿sus autovalores son reales? Calc´ulelos. Determine el l´ımite
de Ak
cuando k → ∞.
b. Determine n´umeros positivos r, s y t tales que las matrices A − rI3, A − sI3 y A − tI3,
representando a formas cuadr´aticas reales, sean, respectivamente, definida positiva, indefinida
y definida negativa.
Problema 5 Considere los movimientos M1 y M2 en R2
dados por las ecuaciones y1 = 1 − x2,
y2 = 1 − x1, para M1, e y1 = 2 + x1, y2 = 5 + x2, para M2, en el sistema de referencia can´onico.
Clasifique M1, M2 y M1 ◦ M2.
Examen de ´Algebra - 1 de febrero de 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Curso 09/10